Theorem issubgrpd 17962

Description: Prove a subgroup by closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubgrpd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubgrpd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubgrpd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubgrpd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubgrpd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubgrpd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubgrpd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
2		issubgrpd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
3		issubgrpd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
4		issubgrpd.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5		issubgrpd.zcl	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
6		issubgrpd.acl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7		issubgrpd.ncl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8		issubgrpd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	issubgrpd2 17961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
10		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐷) = (𝐼 ↾s 𝐷)
11	10	subggrp 17948	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐷) ∈ Grp)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐷) ∈ Grp)
13	1, 12	eqeltrd 2906	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3798  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222   ↾_s cress 16223  +_gcplusg 16305  0_gc0g 16453  Grpcgrp 17776  inv_gcminusg 17777  SubGrpcsubg 17939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-subg 17942

This theorem is referenced by: (None)