Theorem odsubdvds 19512

Description: The order of an element of a subgroup divides the order of the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odsubdvds.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odsubdvds	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑂‘𝐴) ∥ (♯‘𝑆))

Proof of Theorem odsubdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19071	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3	2	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
4	1	subgbas 19072	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
5	4	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ Fin)
7	5, 6	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ Fin)
8		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
9	8, 5	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝑆))
12	10, 11	oddvds2 19507	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝐴) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
13	3, 7, 9, 12	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝐴) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
14		odsubdvds.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15	1, 14, 11	subgod 19511	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑂‘𝐴) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝐴))
16	15	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑂‘𝐴) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝐴))
17	5	fveq2d 6846	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
18	13, 16, 17	3brtr4d 5132	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑂‘𝐴) ∥ (♯‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ♯chash 14265   ∥ cdvds 16191  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  Grpcgrp 18875  SubGrpcsubg 19062  odcod 19465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-dvds 16192  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-eqg 19067  df-od 19469

This theorem is referenced by:  odcau  19545  ablfac1eu  20016  idomsubgmo  43539