Theorem odsubdvds 19507

Description: The order of an element of a subgroup divides the order of the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odsubdvds.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odsubdvds	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑂‘𝐴) ∥ (♯‘𝑆))

Proof of Theorem odsubdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19067	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3	2	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
4	1	subgbas 19068	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
5	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ Fin)
7	5, 6	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ Fin)
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
9	8, 5	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
11		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝑆))
12	10, 11	oddvds2 19502	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝐴) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
13	3, 7, 9, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝐴) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
14		odsubdvds.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15	1, 14, 11	subgod 19506	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑂‘𝐴) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝐴))
16	15	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑂‘𝐴) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝐴))
17	5	fveq2d 6864	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (♯‘𝑆) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
18	13, 16, 17	3brtr4d 5141	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑂‘𝐴) ∥ (♯‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Fincfn 8920  ♯chash 14301   ∥ cdvds 16228  Basecbs 17185   ↾_s cress 17206  Grpcgrp 18871  SubGrpcsubg 19058  odcod 19460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-omul 8441  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-acn 9901  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-clim 15460  df-sum 15659  df-dvds 16229  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-eqg 19063  df-od 19464

This theorem is referenced by:  odcau  19540  ablfac1eu  20011  idomsubgmo  43175