Theorem pgp0 19861

Description: The identity subgroup is a 𝑃-group for every prime 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgp0.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgp0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 }))

Proof of Theorem pgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16893	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12391	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
4	3	exp0d 14323	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑0) = 1)
5		pgp0.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	fvexi 6930	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7		hashsng 14554	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
9	5	0subg 19412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s { 0 }) = (𝐺 ↾s { 0 })
12	11	subgbas 19390	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })))
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })))
14	13	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))))
15	8, 14	eqtr3id 2812	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))))
16	4, 15	eqtr2d 2799	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0))
17	11	subggrp 19389	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp)
18	10, 17	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp)
19		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
20		0nn0 12661	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℕ0)
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })) = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))
23	22	pgpfi1 19860	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 })))
24	18, 19, 21, 23	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 })))
25	16, 24	mpd 16	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244  ♯chash 14515  ℙcprime 16890  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194  SubGrpcsubg 19380   pGrp cpgp 19791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-pc 17059  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-eqg 19385  df-od 19793  df-pgp 19795

This theorem is used by:  slwn0  19880