MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgp0 18650
Description: The identity subgroup is a 𝑃-group for every prime 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgp0.1 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgp0 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))

Proof of Theorem pgp0
StepHypRef Expression
1 prmnn 16006 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
32nncnd 11642 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
43exp0d 13492 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑0) = 1)
5 pgp0.1 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
65fvexi 6677 . . . . 5 0 ∈ V
7 hashsng 13718 . . . . 5 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{ 0 }) = 1
950subg 18242 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝐺s { 0 }) = (𝐺s { 0 })
1211subgbas 18221 . . . . . 6 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1413fveq2d 6667 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
158, 14syl5eqr 2867 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 = (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
164, 15eqtr2d 2854 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0))
1711subggrp 18220 . . . 4 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
1810, 17syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
19 simpr 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
20 0nn0 11900 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℕ0)
22 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(𝐺s { 0 })) = (Base‘(𝐺s { 0 }))
2322pgpfi1 18649 . . 3 (((𝐺s { 0 }) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2418, 19, 21, 23syl3anc 1363 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2516, 24mpd 15 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  cn 11626  0cn0 11885  cexp 13417  chash 13678  cprime 16003  Basecbs 16471  s cress 16472  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211   pGrp cpgp 18583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-eqg 18216  df-od 18585  df-pgp 18587
This theorem is referenced by:  slwn0  18669
  Copyright terms: Public domain W3C validator