Theorem pgp0 19577

Description: The identity subgroup is a 𝑃-group for every prime 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgp0.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgp0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 }))

Proof of Theorem pgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16693	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12256	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
4	3	exp0d 14158	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑0) = 1)
5		pgp0.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	fvexi 6890	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7		hashsng 14387	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
9	5	0subg 19134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s { 0 }) = (𝐺 ↾s { 0 })
12	11	subgbas 19113	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })))
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })))
14	13	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))))
15	8, 14	eqtr3id 2784	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))))
16	4, 15	eqtr2d 2771	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0))
17	11	subggrp 19112	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp)
18	10, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp)
19		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
20		0nn0 12516	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℕ0)
22		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })) = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))
23	22	pgpfi1 19576	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 })))
24	18, 19, 21, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 })))
25	16, 24	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ↑cexp 14079  ♯chash 14348  ℙcprime 16690  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453  Grpcgrp 18916  SubGrpcsubg 19103   pGrp cpgp 19507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-pc 16857  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-eqg 19108  df-od 19509  df-pgp 19511

This theorem is referenced by:  slwn0  19596