MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgp0 19463
Description: The identity subgroup is a 𝑃-group for every prime 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgp0.1 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgp0 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))

Proof of Theorem pgp0
StepHypRef Expression
1 prmnn 16610 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
32nncnd 12227 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
43exp0d 14104 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑0) = 1)
5 pgp0.1 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
65fvexi 6905 . . . . 5 0 ∈ V
7 hashsng 14328 . . . . 5 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{ 0 }) = 1
950subg 19030 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐺s { 0 }) = (𝐺s { 0 })
1211subgbas 19009 . . . . . 6 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1413fveq2d 6895 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
158, 14eqtr3id 2786 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 = (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
164, 15eqtr2d 2773 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0))
1711subggrp 19008 . . . 4 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
1810, 17syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
19 simpr 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
20 0nn0 12486 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℕ0)
22 eqid 2732 . . . 4 (Base‘(𝐺s { 0 })) = (Base‘(𝐺s { 0 }))
2322pgpfi1 19462 . . 3 (((𝐺s { 0 }) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2418, 19, 21, 23syl3anc 1371 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2516, 24mpd 15 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110  cn 12211  0cn0 12471  cexp 14026  chash 14289  cprime 16607  Basecbs 17143  s cress 17172  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  SubGrpcsubg 18999   pGrp cpgp 19393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-eqg 19004  df-od 19395  df-pgp 19397
This theorem is referenced by:  slwn0  19482
  Copyright terms: Public domain W3C validator