MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgp0 18699
Description: The identity subgroup is a 𝑃-group for every prime 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgp0.1 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgp0 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))

Proof of Theorem pgp0
StepHypRef Expression
1 prmnn 15995 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantl 485 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
32nncnd 11631 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
43exp0d 13488 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑0) = 1)
5 pgp0.1 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
65fvexi 6657 . . . . 5 0 ∈ V
7 hashsng 13714 . . . . 5 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{ 0 }) = 1
950subg 18282 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 eqid 2821 . . . . . . 7 (𝐺s { 0 }) = (𝐺s { 0 })
1211subgbas 18261 . . . . . 6 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1413fveq2d 6647 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
158, 14syl5eqr 2870 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 = (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
164, 15eqtr2d 2857 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0))
1711subggrp 18260 . . . 4 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
1810, 17syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
19 simpr 488 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
20 0nn0 11890 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℕ0)
22 eqid 2821 . . . 4 (Base‘(𝐺s { 0 })) = (Base‘(𝐺s { 0 }))
2322pgpfi1 18698 . . 3 (((𝐺s { 0 }) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2418, 19, 21, 23syl3anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2516, 24mpd 15 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3471  {csn 4540   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  0cc0 10514  1c1 10515  cn 11615  0cn0 11875  cexp 13413  chash 13674  cprime 15992  Basecbs 16461  s cress 16462  0gc0g 16691  Grpcgrp 18081  SubGrpcsubg 18251   pGrp cpgp 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-disj 5005  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-omul 8082  df-er 8264  df-ec 8266  df-qs 8270  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-dvds 15587  df-gcd 15821  df-prm 15993  df-pc 16151  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-eqg 18256  df-od 18634  df-pgp 18636
This theorem is referenced by:  slwn0  18718
  Copyright terms: Public domain W3C validator