Theorem pgp0 18362

Description: The identity subgroup is a 𝑃-group for every prime 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgp0.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgp0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 }))

Proof of Theorem pgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15760	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 11368	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
4	3	exp0d 13296	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑0) = 1)
5		pgp0.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	fvexi 6447	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7		hashsng 13449	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
9	5	0subg 17970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	9	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s { 0 }) = (𝐺 ↾s { 0 })
12	11	subgbas 17949	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })))
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })))
14	13	fveq2d 6437	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))))
15	8, 14	syl5eqr 2875	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))))
16	4, 15	eqtr2d 2862	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0))
17	11	subggrp 17948	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp)
18	10, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp)
19		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
20		0nn0 11635	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℕ0)
22		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })) = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))
23	22	pgpfi1 18361	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 })))
24	18, 19, 21, 23	syl3anc 1496	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 })))
25	16, 24	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414  {csn 4397   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253  ℕcn 11350  ℕ₀cn0 11618  ↑cexp 13154  ♯chash 13410  ℙcprime 15757  Basecbs 16222   ↾_s cress 16223  0_gc0g 16453  Grpcgrp 17776  SubGrpcsubg 17939   pGrp cpgp 18297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-omul 7831  df-er 8009  df-ec 8011  df-qs 8015  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-prm 15758  df-pc 15913  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-eqg 17944  df-od 18299  df-pgp 18301

This theorem is referenced by:  slwn0  18381