MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgp0 19509
Description: The identity subgroup is a 𝑃-group for every prime 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgp0.1 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgp0 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))

Proof of Theorem pgp0
StepHypRef Expression
1 prmnn 16618 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
32nncnd 12235 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
43exp0d 14112 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑0) = 1)
5 pgp0.1 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
65fvexi 6905 . . . . 5 0 ∈ V
7 hashsng 14336 . . . . 5 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{ 0 }) = 1
950subg 19071 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝐺s { 0 }) = (𝐺s { 0 })
1211subgbas 19050 . . . . . 6 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1413fveq2d 6895 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
158, 14eqtr3id 2785 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 = (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
164, 15eqtr2d 2772 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0))
1711subggrp 19049 . . . 4 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
1810, 17syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
19 simpr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
20 0nn0 12494 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℕ0)
22 eqid 2731 . . . 4 (Base‘(𝐺s { 0 })) = (Base‘(𝐺s { 0 }))
2322pgpfi1 19508 . . 3 (((𝐺s { 0 }) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2418, 19, 21, 23syl3anc 1370 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2516, 24mpd 15 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  {csn 4628   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117  cn 12219  0cn0 12479  cexp 14034  chash 14297  cprime 16615  Basecbs 17151  s cress 17180  0gc0g 17392  Grpcgrp 18858  SubGrpcsubg 19040   pGrp cpgp 19439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16777  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-mulg 18991  df-subg 19043  df-eqg 19045  df-od 19441  df-pgp 19443
This theorem is referenced by:  slwn0  19528
  Copyright terms: Public domain W3C validator