Theorem pgp0 19116

Description: The identity subgroup is a 𝑃-group for every prime 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgp0.1	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgp0	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 }))

Proof of Theorem pgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16307	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 11919	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
4	3	exp0d 13786	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑0) = 1)
5		pgp0.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7		hashsng 14012	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
9	5	0subg 18695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s { 0 }) = (𝐺 ↾s { 0 })
12	11	subgbas 18674	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })))
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })))
14	13	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))))
15	8, 14	eqtr3id 2793	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))))
16	4, 15	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0))
17	11	subggrp 18673	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp)
18	10, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp)
19		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
20		0nn0 12178	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℕ0)
22		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s { 0 })) = (Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))
23	22	pgpfi1 19115	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾s { 0 }) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 })))
24	18, 19, 21, 23	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((♯‘(Base‘(𝐺 ↾s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 })))
25	16, 24	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710  ♯chash 13972  ℙcprime 16304  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664   pGrp cpgp 19049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-pc 16466  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-eqg 18669  df-od 19051  df-pgp 19053

This theorem is referenced by:  slwn0  19135