Theorem ablfacrplem 20183

Description: Lemma for ablfacrp2 20185. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrplem	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem

Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvds1 16789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3		ablfacrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
5	4	breq2d 5123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
6	2, 5	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7		ablfacrp.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
8		ablfacrp.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
9		ablfacrp.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		ablfacrp.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12		ablfacrp.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
13	11, 12	oddvdssubg 19971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	8, 10, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	7, 14	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐾) = (𝐺 ↾s 𝐾)
18	17	subggrp 19241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp)
19	16, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp)
20	17	subgbas 19242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))
21	16, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))
22		ablfacrp.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
23	9	nnnn0d 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24		ablfacrp.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	23, 25	nn0mulcld 12587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
27	22, 26	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
28	12	fvexi 6899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ∈ V
29		hashclb 14414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
31	27, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
32	7	ssrab3 4037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
33		ssfi 9164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
34	31, 32, 33	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
36	21, 35	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) ∈ Fin)
37		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝐾))
39	21	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (♯‘𝐾) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))))
40	38, 39	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))))
41		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))
42		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝐾)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝐾))
43	41, 42	odcau 19720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
44	19, 36, 37, 40, 43	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
45	44, 21	rexeqtrrdv 3330	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ 𝐾 ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
46	17, 11, 42	subgod 19686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔))
47	16, 46	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔))
48		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑔))
49	48	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀))
50	49, 7	elrab2 3656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐾 ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀))
51	50	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐾 → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀)
52	51	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀)
53	47, 52	eqbrtrrd 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
54		breq1 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀 ↔ 𝑝 ∥ 𝑀))
55	53, 54	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → 𝑝 ∥ 𝑀))
56	55	rexlimdva 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (∃𝑔 ∈ 𝐾 ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → 𝑝 ∥ 𝑀))
57	45, 56	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
58	57	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝐾) → 𝑝 ∥ 𝑀))
59	58	anim1d 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
60		prmz 16757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
61	60	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
62		hashcl 14412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
63	34, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
64	63	nn0zd 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
65	64	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
66	24	nnzd 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
67	66	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
68		dvdsgcdb 16627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
69	61, 65, 67, 68	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
70	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
71		dvdsgcdb 16627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
72	61, 70, 67, 71	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
73	59, 69, 72	3imtr3d 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
74	6, 73	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
75	74	nrexdv 3162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
76		exprmfct 16787	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
77	75, 76	nsyl 141	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))
78	24	nnne0d 12303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
79		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
80	79	necon3ai 2985	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
81	78, 80	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82		gcdn0cl 16584	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
83	64, 66, 81, 82	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
84		elnn1uz2 12967	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
85	83, 84	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
86	85	ord 878	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
87	77, 86	mt3d 149	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  0cc0 11117  1c1 11118   · cmul 11122  ℕcn 12250  2c2 12312  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ♯chash 14386   ∥ cdvds 16334   gcd cgcd 16576  ℙcprime 16753  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  Grpcgrp 19046  SubGrpcsubg 19232  odcod 19640  Abelcabl 19897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-prm 16754  df-pc 16921  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-eqg 19237  df-ga 19406  df-od 19644  df-cmn 19898  df-abl 19899

This theorem is used by:  ablfacrp2  20185