Theorem ablfacrplem 19180

Description: Lemma for ablfacrp2 19182. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrplem	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem

Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvds1 16040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
2	1	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3		ablfacrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
5	4	breq2d 5042	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
6	2, 5	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7		ablfacrp.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
8		ablfacrp.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
9		ablfacrp.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		ablfacrp.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12		ablfacrp.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
13	11, 12	oddvdssubg 18968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	8, 10, 13	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	7, 14	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐾) = (𝐺 ↾s 𝐾)
18	17	subggrp 18274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp)
19	16, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp)
20	17	subgbas 18275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))
21	16, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))
22		ablfacrp.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
23	9	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24		ablfacrp.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	23, 25	nn0mulcld 11948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
27	22, 26	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
28	12	fvexi 6659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ∈ V
29		hashclb 13715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
31	27, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
32	7	ssrab3 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
33		ssfi 8722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
34	31, 32, 33	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
35	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
36	21, 35	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) ∈ Fin)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
38		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝐾))
39	21	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (♯‘𝐾) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))))
40	38, 39	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))))
41		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))
42		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝐾)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝐾))
43	41, 42	odcau 18721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
44	19, 36, 37, 40, 43	syl31anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
45	21	rexeqdv 3365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (∃𝑔 ∈ 𝐾 ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝))
46	44, 45	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ 𝐾 ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
47	17, 11, 42	subgod 18687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔))
48	16, 47	sylan 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔))
49		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑔))
50	49	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀))
51	50, 7	elrab2 3631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐾 ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀))
52	51	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐾 → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀)
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀)
54	48, 53	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
55		breq1 5033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀 ↔ 𝑝 ∥ 𝑀))
56	54, 55	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → 𝑝 ∥ 𝑀))
57	56	rexlimdva 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (∃𝑔 ∈ 𝐾 ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → 𝑝 ∥ 𝑀))
58	46, 57	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
59	58	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝐾) → 𝑝 ∥ 𝑀))
60	59	anim1d 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
61		prmz 16009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
62	61	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
63		hashcl 13713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
64	34, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
65	64	nn0zd 12073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
66	65	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
67	24	nnzd 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
69		dvdsgcdb 15883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
70	62, 66, 68, 69	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
71	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
72		dvdsgcdb 15883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
73	62, 71, 68, 72	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
74	60, 70, 73	3imtr3d 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
75	6, 74	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
76	75	nrexdv 3229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
77		exprmfct 16038	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
78	76, 77	nsyl 142	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))
79	24	nnne0d 11675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
80		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
81	80	necon3ai 3012	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82	79, 81	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
83		gcdn0cl 15841	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
84	65, 67, 82, 83	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
85		elnn1uz2 12313	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
86	84, 85	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
87	86	ord 861	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
88	78, 87	mt3d 150	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ♯chash 13686   ∥ cdvds 15599   gcd cgcd 15833  ℙcprime 16005  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Grpcgrp 18095  SubGrpcsubg 18265  odcod 18644  Abelcabl 18899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-eqg 18270  df-ga 18412  df-od 18648  df-cmn 18900  df-abl 18901

This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19182