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Theorem ablfacrplem 19987
Description: Lemma for ablfacrp2 19989. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrplem (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem
Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 16650 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3 ablfacrp.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
54breq2d 5153 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
62, 5mtbird 325 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7 ablfacrp.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
8 ablfacrp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
9 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐺)
1311, 12oddvdssubg 19775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
148, 10, 13syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
157, 14eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1817subggrp 19056 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
2017subgbas 19057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
22 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
239nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
24 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2623, 25nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
2722, 26eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2812fvexi 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 ∈ V
29 hashclb 14323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
3127, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
327ssrab3 4075 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾𝐵
33 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
3431, 32, 33sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
3534ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
3621, 35eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
37 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝐾))
3921fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (♯‘𝐾) = (♯‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
4038, 39breqtrd 5167 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
41 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
42 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (od‘(𝐺s 𝐾)) = (od‘(𝐺s 𝐾))
4341, 42odcau 19524 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4419, 36, 37, 40, 43syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4521rexeqdv 3320 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝))
4644, 45mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4717, 11, 42subgod 19490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
4816, 47sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
49 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑔 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑔))
5049breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5150, 7elrab2 3681 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔𝐾 ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5251simprbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝐾 → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5448, 53eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
55 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀𝑝𝑀))
5654, 55syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
5756rexlimdva 3149 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
5846, 57mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝𝑀)
5958ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝐾) → 𝑝𝑀))
6059anim1d 610 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝𝑀𝑝𝑁)))
61 prmz 16619 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6261adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
63 hashcl 14321 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
6434, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
6564nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
6724nnzd 12589 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6867adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
69 dvdsgcdb 16494 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
7062, 66, 68, 69syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
7110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
72 dvdsgcdb 16494 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7362, 71, 68, 72syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7460, 70, 733imtr3d 293 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
756, 74mtod 197 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
7675nrexdv 3143 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
77 exprmfct 16648 . . 3 (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
7876, 77nsyl 140 . 2 (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
7924nnne0d 12266 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
80 simpr 484 . . . . . . 7 (((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
8180necon3ai 2959 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
8279, 81syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
83 gcdn0cl 16450 . . . . 5 ((((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8465, 67, 82, 83syl21anc 835 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
85 elnn1uz2 12913 . . . 4 (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8684, 85sylib 217 . . 3 (𝜑 → (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8786ord 861 . 2 (𝜑 → (¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8878, 87mt3d 148 1 (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468  wss 3943   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117  cn 12216  2c2 12271  0cn0 12476  cz 12562  cuz 12826  chash 14295  cdvds 16204   gcd cgcd 16442  cprime 16615  Basecbs 17153  s cress 17182  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19047  odcod 19444  Abelcabl 19701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-eqg 19052  df-ga 19206  df-od 19448  df-cmn 19702  df-abl 19703
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19989
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