MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrplem 20024
Description: Lemma for ablfacrp2 20026. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfacrp.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfacrp.k ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
ablfacrp.l ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
ablfacrp.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfacrp.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
ablfacrp.2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
Assertion
Ref Expression
ablfacrplem (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘‚   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐พ(๐‘ฅ)   ๐ฟ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ablfacrplem
Dummy variables ๐‘” ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 16674 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ 1)
21adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ 1)
3 ablfacrp.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
54breq2d 5155 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ 1))
62, 5mtbird 324 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))
7 ablfacrp.k . . . . . . . . . . . . . 14 ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
8 ablfacrp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
9 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
109nnzd 12613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
12 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
1311, 12oddvdssubg 19812 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
148, 10, 13syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
157, 14eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
17 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ โ†พs ๐พ) = (๐บ โ†พs ๐พ)
1817subggrp 19086 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ โ†พs ๐พ) โˆˆ Grp)
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (๐บ โ†พs ๐พ) โˆˆ Grp)
2017subgbas 19087 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)))
22 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
239nnnn0d 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
24 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnnn0d 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2623, 25nn0mulcld 12565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2722, 26eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
2812fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐ต โˆˆ V
29 hashclb 14347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
3127, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
327ssrab3 4072 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐พ โІ ๐ต
33 ssfi 9194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐พ โІ ๐ต) โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
3431, 32, 33sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
3621, 35eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) โˆˆ Fin)
37 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
38 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ))
3921fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))))
4038, 39breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))))
41 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))
42 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) = (odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))
4341, 42odcau 19561 . . . . . . . . . . 11 ((((๐บ โ†พs ๐พ) โˆˆ Grp โˆง (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)))) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘)
4419, 36, 37, 40, 43syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘)
4521rexeqdv 3316 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐พ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘))
4644, 45mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐พ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘)
4717, 11, 42subgod 19527 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) = ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”))
4816, 47sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) = ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”))
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘” โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‚โ€˜๐‘”))
5049breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€))
5150, 7elrab2 3678 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘” โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€))
5251simprbi 495 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” โˆˆ ๐พ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€)
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€)
5448, 53eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€)
55 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†’ (((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
5654, 55syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
5756rexlimdva 3145 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐พ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
5846, 57mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€)
5958ex 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
6059anim1d 609 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘)))
61 prmz 16643 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6261adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
63 hashcl 14345 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
6434, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
6564nn0zd 12612 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
6665adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
6724nnzd 12613 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6867adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
69 dvdsgcdb 16518 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘)))
7062, 66, 68, 69syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘)))
7110adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
72 dvdsgcdb 16518 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
7362, 71, 68, 72syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
7460, 70, 733imtr3d 292 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
756, 74mtod 197 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘))
7675nrexdv 3139 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘))
77 exprmfct 16672 . . 3 (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘))
7876, 77nsyl 140 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
7924nnne0d 12290 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
80 simpr 483 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
8180necon3ai 2955 . . . . . 6 (๐‘ โ‰  0 โ†’ ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0))
8279, 81syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0))
83 gcdn0cl 16474 . . . . 5 ((((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
8465, 67, 82, 83syl21anc 836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
85 elnn1uz2 12937 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1 โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8684, 85sylib 217 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1 โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8786ord 862 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1 โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8878, 87mt3d 148 1 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   โІ wss 3940   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  0cc0 11136  1c1 11137   ยท cmul 11141  โ„•cn 12240  2c2 12295  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  โ„คโ‰ฅcuz 12850  โ™ฏchash 14319   โˆฅ cdvds 16228   gcd cgcd 16466  โ„™cprime 16639  Basecbs 17177   โ†พs cress 17206  Grpcgrp 18892  SubGrpcsubg 19077  odcod 19481  Abelcabl 19738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640  df-pc 16803  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-eqg 19082  df-ga 19243  df-od 19485  df-cmn 19739  df-abl 19740
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  20026
  Copyright terms: Public domain W3C validator