MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrplem 19987
Description: Lemma for ablfacrp2 19989. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfacrp.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfacrp.k ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
ablfacrp.l ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
ablfacrp.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfacrp.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
ablfacrp.2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
Assertion
Ref Expression
ablfacrplem (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘‚   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐พ(๐‘ฅ)   ๐ฟ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ablfacrplem
Dummy variables ๐‘” ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 16650 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ 1)
21adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ 1)
3 ablfacrp.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
54breq2d 5153 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ 1))
62, 5mtbird 325 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))
7 ablfacrp.k . . . . . . . . . . . . . 14 ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
8 ablfacrp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
9 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
109nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
12 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
1311, 12oddvdssubg 19775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
148, 10, 13syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
157, 14eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
17 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ โ†พs ๐พ) = (๐บ โ†พs ๐พ)
1817subggrp 19056 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ โ†พs ๐พ) โˆˆ Grp)
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (๐บ โ†พs ๐พ) โˆˆ Grp)
2017subgbas 19057 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)))
22 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
239nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
24 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2623, 25nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2722, 26eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
2812fvexi 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐ต โˆˆ V
29 hashclb 14323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
3127, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
327ssrab3 4075 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐พ โІ ๐ต
33 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐พ โІ ๐ต) โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
3431, 32, 33sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
3534ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
3621, 35eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) โˆˆ Fin)
37 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ))
3921fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))))
4038, 39breqtrd 5167 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))))
41 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))
42 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) = (odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))
4341, 42odcau 19524 . . . . . . . . . . 11 ((((๐บ โ†พs ๐พ) โˆˆ Grp โˆง (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)))) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘)
4419, 36, 37, 40, 43syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘)
4521rexeqdv 3320 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐พ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘))
4644, 45mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐พ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘)
4717, 11, 42subgod 19490 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) = ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”))
4816, 47sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) = ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”))
49 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘” โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‚โ€˜๐‘”))
5049breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€))
5150, 7elrab2 3681 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘” โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€))
5251simprbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” โˆˆ ๐พ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€)
5448, 53eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€)
55 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†’ (((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
5654, 55syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
5756rexlimdva 3149 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐พ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
5846, 57mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€)
5958ex 412 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
6059anim1d 610 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘)))
61 prmz 16619 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6261adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
63 hashcl 14321 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
6434, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
6564nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
6724nnzd 12589 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6867adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
69 dvdsgcdb 16494 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘)))
7062, 66, 68, 69syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘)))
7110adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
72 dvdsgcdb 16494 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
7362, 71, 68, 72syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
7460, 70, 733imtr3d 293 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
756, 74mtod 197 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘))
7675nrexdv 3143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘))
77 exprmfct 16648 . . 3 (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘))
7876, 77nsyl 140 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
7924nnne0d 12266 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
80 simpr 484 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
8180necon3ai 2959 . . . . . 6 (๐‘ โ‰  0 โ†’ ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0))
8279, 81syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0))
83 gcdn0cl 16450 . . . . 5 ((((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
8465, 67, 82, 83syl21anc 835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
85 elnn1uz2 12913 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1 โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8684, 85sylib 217 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1 โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8786ord 861 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1 โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8878, 87mt3d 148 1 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ™ฏchash 14295   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442  โ„™cprime 16615  Basecbs 17153   โ†พs cress 17182  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19047  odcod 19444  Abelcabl 19701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-eqg 19052  df-ga 19206  df-od 19448  df-cmn 19702  df-abl 19703
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19989
  Copyright terms: Public domain W3C validator