Theorem ablfacrplem 20281

Description: Lemma for ablfacrp2 20283. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrplem	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem

Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvds1 16882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3		ablfacrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
5	4	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
6	2, 5	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7		ablfacrp.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
8		ablfacrp.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
9		ablfacrp.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		ablfacrp.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12		ablfacrp.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
13	11, 12	oddvdssubg 20069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	8, 10, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	7, 14	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐾) = (𝐺 ↾s 𝐾)
18	17	subggrp 19339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp)
19	16, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp)
20	17	subgbas 19340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))
21	16, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))
22		ablfacrp.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
23	9	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24		ablfacrp.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	23, 25	nn0mulcld 12672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
27	22, 26	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
28	12	fvexi 6899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ∈ V
29		hashclb 14502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
31	27, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
32	7	ssrab3 4030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
33		ssfi 9188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
34	31, 32, 33	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
36	21, 35	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) ∈ Fin)
37		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝐾))
39	21	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (♯‘𝐾) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))))
40	38, 39	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))))
41		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))
42		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝐾)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝐾))
43	41, 42	odcau 19818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
44	19, 36, 37, 40, 43	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
45	44, 21	rexeqtrrdv 3325	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ 𝐾 ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
46	17, 11, 42	subgod 19784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔))
47	16, 46	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔))
48		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑔))
49	48	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀))
50	49, 7	elrab2 3649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐾 ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀))
51	50	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐾 → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀)
52	51	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀)
53	47, 52	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
54		breq1 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀 ↔ 𝑝 ∥ 𝑀))
55	53, 54	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → 𝑝 ∥ 𝑀))
56	55	rexlimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (∃𝑔 ∈ 𝐾 ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → 𝑝 ∥ 𝑀))
57	45, 56	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
58	57	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝐾) → 𝑝 ∥ 𝑀))
59	58	anim1d 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
60		prmz 16850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
61	60	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
62		hashcl 14500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
63	34, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
64	63	nn0zd 12718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
65	64	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
66	24	nnzd 12719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
67	66	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
68		dvdsgcdb 16718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
69	61, 65, 67, 68	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
70	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
71		dvdsgcdb 16718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
72	61, 70, 67, 71	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
73	59, 69, 72	3imtr3d 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
74	6, 73	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
75	74	nrexdv 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
76		exprmfct 16880	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
77	75, 76	nsyl 141	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))
78	24	nnne0d 12388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
79		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
80	79	necon3ai 2981	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
81	78, 80	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82		gcdn0cl 16672	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
83	64, 66, 81, 82	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
84		elnn1uz2 13052	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
85	83, 84	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
86	85	ord 878	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
87	77, 86	mt3d 149	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ♯chash 14474   ∥ cdvds 16422   gcd cgcd 16664  ℙcprime 16846  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  Grpcgrp 19144  SubGrpcsubg 19330  odcod 19738  Abelcabl 19995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-pc 17015  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-eqg 19335  df-ga 19504  df-od 19742  df-cmn 19996  df-abl 19997

This theorem is used by:  ablfacrp2  20283