MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrplem 19852
Description: Lemma for ablfacrp2 19854. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfacrp.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfacrp.k ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
ablfacrp.l ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
ablfacrp.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfacrp.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
ablfacrp.2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
Assertion
Ref Expression
ablfacrplem (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘‚   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐พ(๐‘ฅ)   ๐ฟ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ablfacrplem
Dummy variables ๐‘” ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 16590 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ 1)
21adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ 1)
3 ablfacrp.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
43adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
54breq2d 5121 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ 1))
62, 5mtbird 325 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))
7 ablfacrp.k . . . . . . . . . . . . . 14 ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
8 ablfacrp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
9 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
109nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
12 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
1311, 12oddvdssubg 19641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
148, 10, 13syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
157, 14eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ โ†พs ๐พ) = (๐บ โ†พs ๐พ)
1817subggrp 18939 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ โ†พs ๐พ) โˆˆ Grp)
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (๐บ โ†พs ๐พ) โˆˆ Grp)
2017subgbas 18940 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)))
22 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
239nnnn0d 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
24 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnnn0d 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2623, 25nn0mulcld 12486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2722, 26eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
2812fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐ต โˆˆ V
29 hashclb 14267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
3127, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
327ssrab3 4044 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐พ โŠ† ๐ต
33 ssfi 9123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐พ โŠ† ๐ต) โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
3431, 32, 33sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
3621, 35eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) โˆˆ Fin)
37 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
38 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ))
3921fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))))
4038, 39breqtrd 5135 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))))
41 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))
42 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) = (odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))
4341, 42odcau 19394 . . . . . . . . . . 11 ((((๐บ โ†พs ๐พ) โˆˆ Grp โˆง (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)) โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ)))) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘)
4419, 36, 37, 40, 43syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘)
4521rexeqdv 3313 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐พ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘))
4644, 45mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐พ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘)
4717, 11, 42subgod 19360 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) = ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”))
4816, 47sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) = ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”))
49 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘” โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‚โ€˜๐‘”))
5049breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘” โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€))
5150, 7elrab2 3652 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘” โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€))
5251simprbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” โˆˆ ๐พ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€)
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€)
5448, 53eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€)
55 breq1 5112 . . . . . . . . . . 11 (((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†’ (((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
5654, 55syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐พ) โ†’ (((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
5756rexlimdva 3149 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐พ ((odโ€˜(๐บ โ†พs ๐พ))โ€˜๐‘”) = ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
5846, 57mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€)
5958ex 414 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
6059anim1d 612 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘)))
61 prmz 16559 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6261adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
63 hashcl 14265 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
6434, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•0)
6564nn0zd 12533 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
6665adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
6724nnzd 12534 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6867adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
69 dvdsgcdb 16434 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘)))
7062, 66, 68, 69syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘)))
7110adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
72 dvdsgcdb 16434 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
7362, 71, 68, 72syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
7460, 70, 733imtr3d 293 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
756, 74mtod 197 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘))
7675nrexdv 3143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘))
77 exprmfct 16588 . . 3 (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘))
7876, 77nsyl 140 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
7924nnne0d 12211 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
80 simpr 486 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
8180necon3ai 2965 . . . . . 6 (๐‘ โ‰  0 โ†’ ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0))
8279, 81syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0))
83 gcdn0cl 16390 . . . . 5 ((((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
8465, 67, 82, 83syl21anc 837 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
85 elnn1uz2 12858 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1 โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8684, 85sylib 217 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1 โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8786ord 863 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1 โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8878, 87mt3d 148 1 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) gcd ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   โŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ„คโ‰ฅcuz 12771  โ™ฏchash 14239   โˆฅ cdvds 16144   gcd cgcd 16382  โ„™cprime 16555  Basecbs 17091   โ†พs cress 17120  Grpcgrp 18756  SubGrpcsubg 18930  odcod 19314  Abelcabl 19571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-pc 16717  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-eqg 18935  df-ga 19078  df-od 19318  df-cmn 19572  df-abl 19573
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19854
  Copyright terms: Public domain W3C validator