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Theorem ablfacrplem 18851
 Description: Lemma for ablfacrp2 18853. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrplem (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem
Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 15822 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
21adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3 ablfacrp.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
43adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
54breq2d 4898 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
62, 5mtbird 317 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7 ablfacrp.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
8 ablfacrp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
9 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 11833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐺)
1311, 12oddvdssubg 18644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
148, 10, 13syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
157, 14syl5eqel 2863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1615ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1817subggrp 17981 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
2017subgbas 17982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
22 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
239nnnn0d 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
24 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2623, 25nn0mulcld 11707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
2722, 26eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2812fvexi 6460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 ∈ V
29 hashclb 13464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
3127, 30sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
32 ssrab2 3908 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
337, 32eqsstri 3854 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾𝐵
34 ssfi 8468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
3531, 33, 34sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
3635ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
3721, 36eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
38 simplr 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
39 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝐾))
4021fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (♯‘𝐾) = (♯‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
4139, 40breqtrd 4912 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
42 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
43 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (od‘(𝐺s 𝐾)) = (od‘(𝐺s 𝐾))
4442, 43odcau 18403 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4519, 37, 38, 41, 44syl31anc 1441 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4621rexeqdv 3341 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝))
4745, 46mpbird 249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4817, 11, 43subgod 18369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
4916, 48sylan 575 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
50 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑔 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑔))
5150breq1d 4896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5251, 7elrab2 3576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔𝐾 ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5352simprbi 492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝐾 → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5453adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5549, 54eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
56 breq1 4889 . . . . . . . . . . 11 (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀𝑝𝑀))
5755, 56syl5ibcom 237 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
5857rexlimdva 3213 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
5947, 58mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝𝑀)
6059ex 403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝐾) → 𝑝𝑀))
6160anim1d 604 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝𝑀𝑝𝑁)))
62 prmz 15794 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6362adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
64 hashcl 13462 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
6535, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
6665nn0zd 11832 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
6766adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
6824nnzd 11833 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6968adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 dvdsgcdb 15668 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
7163, 67, 69, 70syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
7210adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
73 dvdsgcdb 15668 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7463, 72, 69, 73syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7561, 71, 743imtr3d 285 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
766, 75mtod 190 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
7776nrexdv 3182 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
78 exprmfct 15820 . . 3 (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
7977, 78nsyl 138 . 2 (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
8024nnne0d 11425 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
81 simpr 479 . . . . . . 7 (((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
8281necon3ai 2994 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
8380, 82syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
84 gcdn0cl 15630 . . . . 5 ((((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8566, 68, 83, 84syl21anc 828 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
86 elnn1uz2 12072 . . . 4 (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8785, 86sylib 210 . . 3 (𝜑 → (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8887ord 853 . 2 (𝜑 → (¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8979, 88mt3d 143 1 (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091  {crab 3094  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  ℕcn 11374  2c2 11430  ℕ0cn0 11642  ℤcz 11728  ℤ≥cuz 11992  ♯chash 13435   ∥ cdvds 15387   gcd cgcd 15622  ℙcprime 15790  Basecbs 16255   ↾s cress 16256  Grpcgrp 17809  SubGrpcsubg 17972  odcod 18328  Abelcabl 18580 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-pc 15946  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-eqg 17977  df-ga 18106  df-od 18332  df-cmn 18581  df-abl 18582 This theorem is referenced by:  ablfacrp2  18853
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