Theorem ablfacrplem 20132

Description: Lemma for ablfacrp2 20134. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrplem	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem

Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvds1 16760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
2	1	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3		ablfacrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
5	4	breq2d 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
6	2, 5	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7		ablfacrp.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
8		ablfacrp.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
9		ablfacrp.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		ablfacrp.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12		ablfacrp.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
13	11, 12	oddvdssubg 19920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	8, 10, 13	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	7, 14	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐾) = (𝐺 ↾s 𝐾)
18	17	subggrp 19190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp)
19	16, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp)
20	17	subgbas 19191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))
21	16, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))
22		ablfacrp.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
23	9	nnnn0d 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24		ablfacrp.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	23, 25	nn0mulcld 12565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
27	22, 26	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
28	12	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ∈ V
29		hashclb 14390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
31	27, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
32	7	ssrab3 4036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
33		ssfi 9153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
34	31, 32, 33	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
35	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
36	21, 35	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) ∈ Fin)
37		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
38		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝐾))
39	21	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (♯‘𝐾) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))))
40	38, 39	breqtrd 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))))
41		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))
42		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝐾)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝐾))
43	41, 42	odcau 19669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ↾s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
44	19, 36, 37, 40, 43	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝐾))((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
45	44, 21	rexeqtrrdv 3328	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ 𝐾 ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
46	17, 11, 42	subgod 19635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔))
47	16, 46	sylan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔))
48		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑔))
49	48	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀))
50	49, 7	elrab2 3654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐾 ↔ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀))
51	50	simprbi 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐾 → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀)
52	51	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑀)
53	47, 52	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
54		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀 ↔ 𝑝 ∥ 𝑀))
55	53, 54	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐾) → (((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → 𝑝 ∥ 𝑀))
56	55	rexlimdva 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → (∃𝑔 ∈ 𝐾 ((od‘(𝐺 ↾s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → 𝑝 ∥ 𝑀))
57	45, 56	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝐾)) → 𝑝 ∥ 𝑀)
58	57	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝐾) → 𝑝 ∥ 𝑀))
59	58	anim1d 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
60		prmz 16728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
61	60	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
62		hashcl 14388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
63	34, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
64	63	nn0zd 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
65	64	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
66	24	nnzd 12612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
67	66	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
68		dvdsgcdb 16598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
69	61, 65, 67, 68	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (♯‘𝐾) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁)))
70	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
71		dvdsgcdb 16598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
72	61, 70, 67, 71	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑀 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
73	59, 69, 72	3imtr3d 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
74	6, 73	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
75	74	nrexdv 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
76		exprmfct 16758	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁))
77	75, 76	nsyl 141	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))
78	24	nnne0d 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
79		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
80	79	necon3ai 2983	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
81	78, 80	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82		gcdn0cl 16555	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((♯‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
83	64, 66, 81, 82	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
84		elnn1uz2 12944	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
85	83, 84	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
86	85	ord 877	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2)))
87	77, 86	mt3d 149	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ♯chash 14362   ∥ cdvds 16305   gcd cgcd 16547  ℙcprime 16724  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  Grpcgrp 18995  SubGrpcsubg 19181  odcod 19589  Abelcabl 19846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-pc 16892  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-eqg 19186  df-ga 19355  df-od 19593  df-cmn 19847  df-abl 19848

This theorem is referenced by:  ablfacrp2  20134