Theorem subgcl 19378

Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19371	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3	2	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
4		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	1	subgbas 19372	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7	4, 6	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
8		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
9	8, 6	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
12	10, 11	grpcl 19184	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
13	3, 7, 9, 12	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
14		subgcl.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
15	1, 14	ressplusg 17494	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
16	15	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
17	16	oveqd 7463	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌))
18	13, 17, 6	3eltr4d 2879	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  +_gcplusg 17460  Grpcgrp 19176  SubGrpcsubg 19362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-subg 19365

This theorem is used by:  subgcld  19379  subgsubcl  19380  subgmulgcl  19382  issubg2  19384  subgint  19393  ssnmz  19408  eqger  19422  eqgcpbl  19426  resghm  19478  ghmpreima  19484  subgga  19547  gasubg  19549  sylow2blem2  19868  lsmmod  19922  pj1ghm  19950  dprdfadd  20269  pgpfac1lem3  20326  subrngacl  20841  subrgacl  20868  islss4  21270  dflidl2rng  21530  mpllsslem  22340  subgntr  24459  taylply2  26728  efgh  26902  grplsmid  34039  nsgmgclem  34046  nsgqusf1olem1  34048  nsgqusf1olem3  34050  algextdeglem8  34439