Theorem subgcl 19051

Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19044	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3	2	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
4		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	1	subgbas 19045	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7	4, 6	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
9	8, 6	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
11		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
12	10, 11	grpcl 18856	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
13	3, 7, 9, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
14		subgcl.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
15	1, 14	ressplusg 17197	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
16	15	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
17	16	oveqd 7369	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑌))
18	13, 17, 6	3eltr4d 2848	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  +_gcplusg 17163  Grpcgrp 18848  SubGrpcsubg 19035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-subg 19038

This theorem is referenced by:  subgsubcl  19052  subgmulgcl  19054  issubg2  19056  subgint  19065  ssnmz  19080  eqger  19092  eqgcpbl  19096  resghm  19146  ghmpreima  19152  subgga  19214  gasubg  19216  sylow2blem2  19535  lsmmod  19589  pj1ghm  19617  dprdfadd  19936  pgpfac1lem3  19993  subrngacl  20473  subrgacl  20500  islss4  20897  dflidl2rng  21157  mpllsslem  21938  subgntr  24023  taylply2  26303  taylply2OLD  26304  efgh  26478  subgcld  33029  grplsmid  33376  nsgmgclem  33383  nsgqusf1olem1  33385  nsgqusf1olem3  33387  algextdeglem8  33758