Theorem ressply1sub 33129

Description: A restricted polynomial algebra has the same subtraction operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
ressply1sub.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ressply1sub.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1sub	⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(-g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ressply1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
7		ressply1sub.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ressply1invg 33128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑌) = ((invg‘𝑃)‘𝑌))
9	8	oveq2d 7418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
10		ressply1sub.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4	subrgply1 22076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
12		subrgsubg 20471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
13	5, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
14	6	subggrp 19048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝑃 ∈ Grp)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1bas 22072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
17	7, 16	eleqtrd 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
19		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
20	18, 19	grpinvcl 18909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
21	15, 17, 20	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
22	21, 16	eleqtrrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵)
23	10, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1add 22073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
25	23, 24	mpdan 684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
26	9, 25	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
27		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
28		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
29		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
30	4, 27, 28, 29	grpsubval 18907	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
31	10, 7, 30	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
32	10, 16	eleqtrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
34		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
35	18, 33, 19, 34	grpsubval 18907	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
36	32, 17, 35	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
37	26, 31, 36	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(-g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145   ↾_s cress 17174  +_gcplusg 17198  Grpcgrp 18855  inv_gcminusg 18856  -_gcsg 18857  SubGrpcsubg 19039  SubRingcsubrg 20461  Poly₁cpl1 22021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-prds 17394  df-pws 17396  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-ascl 21720  df-psr 21773  df-mpl 21775  df-opsr 21777  df-psr1 22024  df-ply1 22026

This theorem is referenced by:  irngss  33234