Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressply1sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressply1sub 33311
Description: A restricted polynomial algebra has the same subtraction operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply.1 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
ressply.2 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
ressply.3 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
ressply.4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
ressply.5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
ressply1.1 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
ressply1sub.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ressply1sub.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ressply1sub (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(-gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))

Proof of Theorem ressply1sub
StepHypRef Expression
1 ressply.1 . . . . 5 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
2 ressply.2 . . . . 5 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
3 ressply.3 . . . . 5 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
4 ressply.4 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 ressply.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
6 ressply1.1 . . . . 5 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
7 ressply1sub.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ressply1invg 33310 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘Œ) = ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ))
98oveq2d 7431 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)((invgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ)))
10 ressply1sub.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
111, 2, 3, 4subrgply1 22158 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
12 subrgsubg 20518 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
135, 11, 123syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
146subggrp 19086 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
161, 2, 3, 4, 5, 6ressply1bas 22154 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
177, 16eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
18 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
19 eqid 2725 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘ƒ) = (invgβ€˜π‘ƒ)
2018, 19grpinvcl 18946 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2115, 17, 20syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2221, 16eleqtrrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
2310, 22jca 510 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡))
241, 2, 3, 4, 5, 6ressply1add 22155 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ)))
2523, 24mpdan 685 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ)))
269, 25eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)((invgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘Œ)) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ)))
27 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
28 eqid 2725 . . . 4 (invgβ€˜π‘ˆ) = (invgβ€˜π‘ˆ)
29 eqid 2725 . . . 4 (-gβ€˜π‘ˆ) = (-gβ€˜π‘ˆ)
304, 27, 28, 29grpsubval 18944 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)((invgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘Œ)))
3110, 7, 30syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)((invgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘Œ)))
3210, 16eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
33 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
34 eqid 2725 . . . 4 (-gβ€˜π‘ƒ) = (-gβ€˜π‘ƒ)
3518, 33, 19, 34grpsubval 18944 . . 3 ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ)))
3632, 17, 35syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘Œ)))
3726, 31, 363eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(-gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  +gcplusg 17230  Grpcgrp 18892  invgcminusg 18893  -gcsg 18894  SubGrpcsubg 19077  SubRingcsubrg 20508  Poly1cpl1 22102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-ascl 21791  df-psr 21844  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-psr1 22105  df-ply1 22107
This theorem is referenced by:  evls1subd  33312  irngss  33421
  Copyright terms: Public domain W3C validator