Theorem ressply1sub 33769

Description: A restricted polynomial algebra has the same subtraction operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
ressply1sub.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ressply1sub.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1sub	⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(-g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ressply1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
7		ressply1sub.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ressply1invg 33768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑌) = ((invg‘𝑃)‘𝑌))
9	8	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
10		ressply1sub.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4	subrgply1 22301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
12		subrgsubg 20637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
13	6	subggrp 19181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝑃 ∈ Grp)
14	5, 11, 12, 13	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1bas 22297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
16	7, 15	eleqtrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
17		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
19	17, 18	grpinvcl 19039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
20	14, 16, 19	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
21	20, 15	eleqtrrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵)
22	10, 21	jca 519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1add 22298	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
24	22, 23	mpdan 697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
25	9, 24	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
26		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
27		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
28		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
29	4, 26, 27, 28	grpsubval 19037	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
30	10, 7, 29	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
31	10, 15	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
32		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
33		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
34	17, 32, 18, 33	grpsubval 19037	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
35	31, 16, 34	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
36	25, 30, 35	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(-g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17255   ↾_s cress 17276  +_gcplusg 17296  Grpcgrp 18985  inv_gcminusg 18986  -_gcsg 18987  SubGrpcsubg 19172  SubRingcsubrg 20629  Poly₁cpl1 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-sup 9386  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-prds 17486  df-pws 17488  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-ascl 21914  df-psr 21968  df-mpl 21970  df-opsr 21972  df-psr1 22249  df-ply1 22251

This theorem is referenced by:  evls1subd  33771  irngss  33986