Theorem ressply1sub 34148

Description: A restricted polynomial algebra has the same subtraction operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
ressply1sub.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ressply1sub.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1sub	⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(-g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ressply1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
7		ressply1sub.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ressply1invg 34147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑌) = ((invg‘𝑃)‘𝑌))
9	8	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
10		ressply1sub.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4	subrgply1 22555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
12		subrgsubg 20834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
13	6	subggrp 19344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝑃 ∈ Grp)
14	5, 11, 12, 13	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1bas 22551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
16	7, 15	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
17		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
19	17, 18	grpinvcl 19203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
20	14, 16, 19	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
21	20, 15	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵)
22	10, 21	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1add 22552	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
24	22, 23	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
25	9, 24	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
26		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
27		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
28		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
29	4, 26, 27, 28	grpsubval 19201	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
30	10, 7, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
31	10, 15	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
32		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
33		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
34	17, 32, 18, 33	grpsubval 19201	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
35	31, 16, 34	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
36	25, 30, 35	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(-g‘𝑃)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  +_gcplusg 17433  Grpcgrp 19149  inv_gcminusg 19150  -_gcsg 19151  SubGrpcsubg 19335  SubRingcsubrg 20826  Poly₁cpl1 22500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-ascl 22168  df-psr 22222  df-mpl 22224  df-opsr 22226  df-psr1 22503  df-ply1 22505

This theorem is used by:  evls1subd  34150  irngss  34365