Theorem ressply1sub 33168

Description: A restricted polynomial algebra has the same subtraction operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
ressply1sub.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ressply1sub.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1sub	⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(-g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ressply1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
7		ressply1sub.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ressply1invg 33167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑌) = ((invg‘𝑃)‘𝑌))
9	8	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
10		ressply1sub.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4	subrgply1 22125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
12		subrgsubg 20498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
13	5, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
14	6	subggrp 19068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝑃 ∈ Grp)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1bas 22121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
17	7, 16	eleqtrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
19		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
20	18, 19	grpinvcl 18929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
21	15, 17, 20	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
22	21, 16	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵)
23	10, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1add 22122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑃)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
25	23, 24	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑃)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
26	9, 25	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
27		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
28		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
29		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
30	4, 27, 28, 29	grpsubval 18927	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
31	10, 7, 30	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
32	10, 16	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
34		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
35	18, 33, 19, 34	grpsubval 18927	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
36	32, 17, 35	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘𝑌)))
37	26, 31, 36	3eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(-g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165   ↾_s cress 17194  +_gcplusg 17218  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876  -_gcsg 18877  SubGrpcsubg 19059  SubRingcsubrg 20488  Poly₁cpl1 22070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-ascl 21769  df-psr 21822  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-ply1 22075

This theorem is referenced by:  evls1subd  33172  irngss  33284