Theorem subg0cl 19258

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19253	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 19090	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19256	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19254	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2877	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058  SubGrpcsubg 19244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-subg 19247

This theorem is used by:  subgmulgcl  19264  issubg3  19269  issubg4  19270  subgint  19275  trivsubgd  19277  eqger  19304  ghmpreima  19366  subgga  19428  gasubg  19430  sylow1lem5  19730  sylow2blem2  19749  sylow2blem3  19750  fislw  19753  sylow3lem3  19757  sylow3lem4  19758  lsm01  19799  lsm02  19800  lsmdisj  19809  lsmdisj2  19810  pj1lid  19829  pj1rid  19830  dmdprdd  20129  dprdfid  20147  dprdfeq0  20152  dprdsubg  20154  dprdres  20158  dprdz  20160  dprdsn  20166  dmdprdsplitlem  20167  dprddisj2  20169  dprd2da  20172  dmdprdsplit2lem  20175  ablfacrp  20196  ablfacrp2  20197  ablfac1c  20201  ablfac1eu  20203  pgpfac1lem3a  20206  pgpfac1lem3  20207  pgpfac1lem5  20209  pgpfaclem2  20212  pgpfaclem3  20213  prmgrpsimpgd  20244  primefld0cl  20973  abvres  20998  islss4  21147  dflidl2rng  21407  rnglidlrng  21445  rng2idl0  21470  rng2idlsubg0  21473  2idlcpblrng  21474  rng2idl1cntr  21509  subrgpsr  22193  mpllsslem  22215  0elcpmat  22948  opnsubg  24335  clssubg  24336  tgpconncompss  24341  plypf1  26439  dvply2g  26516  efsubm  26786  dchrptlem3  27500  gsumsubg  33473  elrgspnlem4  33672  subrdom  33712  nsgqus0  33826  nsgqusf1olem1  33829  ressply1evls1  33962  ressply10g  33964  ressply1invg  33966  vr1nz  33990  drgext0gsca  34089  fedgmullem2  34127  fldextrspunlsplem  34170  fldextrspunlsp  34171  extdgfialglem1  34189  extdgfialglem2  34190  algextdeglem4  34217  algextdeglem5  34218  rtelextdg2lem  34223  fsumcnsrcl  43994  cnsrplycl  43995  rngunsnply  43997