Theorem subg0cl 19099

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19094	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 18930	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19097	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19095	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2850	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  0_gc0g 17391  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-subg 19088

This theorem is referenced by:  subgmulgcl  19104  issubg3  19109  issubg4  19110  subgint  19115  trivsubgd  19117  eqger  19142  ghmpreima  19202  subgga  19264  gasubg  19266  sylow1lem5  19566  sylow2blem2  19585  sylow2blem3  19586  fislw  19589  sylow3lem3  19593  sylow3lem4  19594  lsm01  19635  lsm02  19636  lsmdisj  19645  lsmdisj2  19646  pj1lid  19665  pj1rid  19666  dmdprdd  19965  dprdfid  19983  dprdfeq0  19988  dprdsubg  19990  dprdres  19994  dprdz  19996  dprdsn  20002  dmdprdsplitlem  20003  dprddisj2  20005  dprd2da  20008  dmdprdsplit2lem  20011  ablfacrp  20032  ablfacrp2  20033  ablfac1c  20037  ablfac1eu  20039  pgpfac1lem3a  20042  pgpfac1lem3  20043  pgpfac1lem5  20045  pgpfaclem2  20048  pgpfaclem3  20049  prmgrpsimpgd  20080  primefld0cl  20772  abvres  20797  islss4  20946  dflidl2rng  21205  rnglidlrng  21234  rng2idl0  21254  rng2idlsubg0  21257  2idlcpblrng  21258  rng2idl1cntr  21292  subrgpsr  21945  mpllsslem  21967  0elcpmat  22675  opnsubg  24061  clssubg  24062  tgpconncompss  24067  plypf1  26165  dvply2g  26239  efsubm  26503  dchrptlem3  27217  gsumsubg  33095  elrgspnlem4  33294  subrdom  33334  nsgqus0  33458  nsgqusf1olem1  33461  ressply1evls1  33613  ressply10g  33615  ressply1invg  33617  vr1nz  33641  drgext0gsca  33724  fedgmullem2  33762  fldextrspunlsplem  33805  fldextrspunlsp  33806  extdgfialglem1  33824  extdgfialglem2  33825  algextdeglem4  33852  algextdeglem5  33853  rtelextdg2lem  33858  fsumcnsrcl  43582  cnsrplycl  43583  rngunsnply  43585