Theorem subg0cl 19105

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19100	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 18936	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19103	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19101	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2856	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  SubGrpcsubg 19091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-subg 19094

This theorem is referenced by:  subgmulgcl  19110  issubg3  19115  issubg4  19116  subgint  19121  trivsubgd  19123  eqger  19148  ghmpreima  19208  subgga  19270  gasubg  19272  sylow1lem5  19572  sylow2blem2  19591  sylow2blem3  19592  fislw  19595  sylow3lem3  19599  sylow3lem4  19600  lsm01  19641  lsm02  19642  lsmdisj  19651  lsmdisj2  19652  pj1lid  19671  pj1rid  19672  dmdprdd  19971  dprdfid  19989  dprdfeq0  19994  dprdsubg  19996  dprdres  20000  dprdz  20002  dprdsn  20008  dmdprdsplitlem  20009  dprddisj2  20011  dprd2da  20014  dmdprdsplit2lem  20017  ablfacrp  20038  ablfacrp2  20039  ablfac1c  20043  ablfac1eu  20045  pgpfac1lem3a  20048  pgpfac1lem3  20049  pgpfac1lem5  20051  pgpfaclem2  20054  pgpfaclem3  20055  prmgrpsimpgd  20086  primefld0cl  20782  abvres  20807  islss4  20956  dflidl2rng  21215  rnglidlrng  21244  rng2idl0  21264  rng2idlsubg0  21267  2idlcpblrng  21268  rng2idl1cntr  21302  subrgpsr  21956  mpllsslem  21978  0elcpmat  22709  opnsubg  24095  clssubg  24096  tgpconncompss  24101  plypf1  26199  dvply2g  26273  efsubm  26537  dchrptlem3  27251  gsumsubg  33131  elrgspnlem4  33330  subrdom  33370  nsgqus0  33497  nsgqusf1olem1  33500  ressply1evls1  33660  ressply10g  33662  ressply1invg  33664  vr1nz  33688  drgext0gsca  33788  fedgmullem2  33826  fldextrspunlsplem  33869  fldextrspunlsp  33870  extdgfialglem1  33888  extdgfialglem2  33889  algextdeglem4  33916  algextdeglem5  33917  rtelextdg2lem  33922  fsumcnsrcl  43626  cnsrplycl  43627  rngunsnply  43629