Theorem subg0cl 19206

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19201	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 19038	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19204	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19202	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2877	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  0_gc0g 17498  Grpcgrp 19006  SubGrpcsubg 19192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-subg 19195

This theorem is used by:  subgmulgcl  19212  issubg3  19217  issubg4  19218  subgint  19223  trivsubgd  19225  eqger  19252  ghmpreima  19314  subgga  19376  gasubg  19378  sylow1lem5  19678  sylow2blem2  19697  sylow2blem3  19698  fislw  19701  sylow3lem3  19705  sylow3lem4  19706  lsm01  19747  lsm02  19748  lsmdisj  19757  lsmdisj2  19758  pj1lid  19777  pj1rid  19778  dmdprdd  20077  dprdfid  20095  dprdfeq0  20100  dprdsubg  20102  dprdres  20106  dprdz  20108  dprdsn  20114  dmdprdsplitlem  20115  dprddisj2  20117  dprd2da  20120  dmdprdsplit2lem  20123  ablfacrp  20144  ablfacrp2  20145  ablfac1c  20149  ablfac1eu  20151  pgpfac1lem3a  20154  pgpfac1lem3  20155  pgpfac1lem5  20157  pgpfaclem2  20160  pgpfaclem3  20161  prmgrpsimpgd  20192  primefld0cl  20920  abvres  20945  islss4  21094  dflidl2rng  21354  rnglidlrng  21392  rng2idl0  21417  rng2idlsubg0  21420  2idlcpblrng  21421  rng2idl1cntr  21456  subrgpsr  22138  mpllsslem  22160  0elcpmat  22890  opnsubg  24276  clssubg  24277  tgpconncompss  24282  plypf1  26380  dvply2g  26457  efsubm  26727  dchrptlem3  27441  gsumsubg  33375  elrgspnlem4  33574  subrdom  33614  nsgqus0  33728  nsgqusf1olem1  33731  ressply1evls1  33864  ressply10g  33866  ressply1invg  33868  vr1nz  33892  drgext0gsca  33991  fedgmullem2  34029  fldextrspunlsplem  34072  fldextrspunlsp  34073  extdgfialglem1  34091  extdgfialglem2  34092  algextdeglem4  34119  algextdeglem5  34120  rtelextdg2lem  34125  fsumcnsrcl  43921  cnsrplycl  43922  rngunsnply  43924