Theorem subg0cl 19186

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19181	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 19017	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19184	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19182	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2878	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17255   ↾_s cress 17276  0_gc0g 17478  Grpcgrp 18985  SubGrpcsubg 19172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-0g 17480  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-grp 18988  df-subg 19175

This theorem is referenced by:  subgmulgcl  19191  issubg3  19196  issubg4  19197  subgint  19202  trivsubgd  19204  eqger  19229  ghmpreima  19288  subgga  19350  gasubg  19352  sylow1lem5  19652  sylow2blem2  19671  sylow2blem3  19672  fislw  19675  sylow3lem3  19679  sylow3lem4  19680  lsm01  19721  lsm02  19722  lsmdisj  19731  lsmdisj2  19732  pj1lid  19751  pj1rid  19752  dmdprdd  20051  dprdfid  20069  dprdfeq0  20074  dprdsubg  20076  dprdres  20080  dprdz  20082  dprdsn  20088  dmdprdsplitlem  20089  dprddisj2  20091  dprd2da  20094  dmdprdsplit2lem  20097  ablfacrp  20118  ablfacrp2  20119  ablfac1c  20123  ablfac1eu  20125  pgpfac1lem3a  20128  pgpfac1lem3  20129  pgpfac1lem5  20131  pgpfaclem2  20134  pgpfaclem3  20135  prmgrpsimpgd  20166  primefld0cl  20862  abvres  20887  islss4  21036  dflidl2rng  21295  rnglidlrng  21324  rng2idl0  21344  rng2idlsubg0  21347  2idlcpblrng  21348  rng2idl1cntr  21382  subrgpsr  22036  mpllsslem  22058  0elcpmat  22789  opnsubg  24175  clssubg  24176  tgpconncompss  24181  plypf1  26279  dvply2g  26356  efsubm  26623  dchrptlem3  27337  gsumsubg  33232  elrgspnlem4  33432  subrdom  33472  nsgqus0  33599  nsgqusf1olem1  33602  ressply1evls1  33764  ressply10g  33766  ressply1invg  33768  vr1nz  33792  drgext0gsca  33891  fedgmullem2  33929  fldextrspunlsplem  33972  fldextrspunlsp  33973  extdgfialglem1  33991  extdgfialglem2  33992  algextdeglem4  34019  algextdeglem5  34020  rtelextdg2lem  34025  fsumcnsrcl  43748  cnsrplycl  43749  rngunsnply  43751