Theorem subg0cl 19069

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19064	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 18900	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19067	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19065	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2852	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141   ↾_s cress 17162  0_gc0g 17364  Grpcgrp 18868  SubGrpcsubg 19055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-subg 19058

This theorem is referenced by:  subgmulgcl  19074  issubg3  19079  issubg4  19080  subgint  19085  trivsubgd  19087  eqger  19112  ghmpreima  19172  subgga  19234  gasubg  19236  sylow1lem5  19536  sylow2blem2  19555  sylow2blem3  19556  fislw  19559  sylow3lem3  19563  sylow3lem4  19564  lsm01  19605  lsm02  19606  lsmdisj  19615  lsmdisj2  19616  pj1lid  19635  pj1rid  19636  dmdprdd  19935  dprdfid  19953  dprdfeq0  19958  dprdsubg  19960  dprdres  19964  dprdz  19966  dprdsn  19972  dmdprdsplitlem  19973  dprddisj2  19975  dprd2da  19978  dmdprdsplit2lem  19981  ablfacrp  20002  ablfacrp2  20003  ablfac1c  20007  ablfac1eu  20009  pgpfac1lem3a  20012  pgpfac1lem3  20013  pgpfac1lem5  20015  pgpfaclem2  20018  pgpfaclem3  20019  prmgrpsimpgd  20050  primefld0cl  20744  abvres  20769  islss4  20918  dflidl2rng  21178  rnglidlrng  21207  rng2idl0  21227  rng2idlsubg0  21230  2idlcpblrng  21231  rng2idl1cntr  21265  subrgpsr  21938  mpllsslem  21960  0elcpmat  22671  opnsubg  24057  clssubg  24058  tgpconncompss  24063  plypf1  26178  dvply2g  26253  dvply2gOLD  26254  efsubm  26521  dchrptlem3  27238  gsumsubg  33132  elrgspnlem4  33331  subrdom  33371  nsgqus0  33495  nsgqusf1olem1  33498  ressply1evls1  33650  ressply10g  33652  ressply1invg  33654  vr1nz  33678  drgext0gsca  33761  fedgmullem2  33800  fldextrspunlsplem  33843  fldextrspunlsp  33844  extdgfialglem1  33862  extdgfialglem2  33863  algextdeglem4  33890  algextdeglem5  33891  rtelextdg2lem  33896  fsumcnsrcl  43486  cnsrplycl  43487  rngunsnply  43489