Theorem subg0cl 19199

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19194	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 19031	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19197	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19195	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2876	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  0_gc0g 17491  Grpcgrp 18999  SubGrpcsubg 19185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-subg 19188

This theorem is referenced by:  subgmulgcl  19205  issubg3  19210  issubg4  19211  subgint  19216  trivsubgd  19218  eqger  19245  ghmpreima  19307  subgga  19369  gasubg  19371  sylow1lem5  19671  sylow2blem2  19690  sylow2blem3  19691  fislw  19694  sylow3lem3  19698  sylow3lem4  19699  lsm01  19740  lsm02  19741  lsmdisj  19750  lsmdisj2  19751  pj1lid  19770  pj1rid  19771  dmdprdd  20070  dprdfid  20088  dprdfeq0  20093  dprdsubg  20095  dprdres  20099  dprdz  20101  dprdsn  20107  dmdprdsplitlem  20108  dprddisj2  20110  dprd2da  20113  dmdprdsplit2lem  20116  ablfacrp  20137  ablfacrp2  20138  ablfac1c  20142  ablfac1eu  20144  pgpfac1lem3a  20147  pgpfac1lem3  20148  pgpfac1lem5  20150  pgpfaclem2  20153  pgpfaclem3  20154  prmgrpsimpgd  20185  primefld0cl  20888  abvres  20913  islss4  21062  dflidl2rng  21322  rnglidlrng  21360  rng2idl0  21385  rng2idlsubg0  21388  2idlcpblrng  21389  rng2idl1cntr  21424  subrgpsr  22106  mpllsslem  22128  0elcpmat  22858  opnsubg  24244  clssubg  24245  tgpconncompss  24250  plypf1  26348  dvply2g  26425  efsubm  26692  dchrptlem3  27406  gsumsubg  33332  elrgspnlem4  33531  subrdom  33571  nsgqus0  33685  nsgqusf1olem1  33688  ressply1evls1  33821  ressply10g  33823  ressply1invg  33825  vr1nz  33849  drgext0gsca  33948  fedgmullem2  33986  fldextrspunlsplem  34029  fldextrspunlsp  34030  extdgfialglem1  34048  extdgfialglem2  34049  algextdeglem4  34076  algextdeglem5  34077  rtelextdg2lem  34082  fsumcnsrcl  43841  cnsrplycl  43842  rngunsnply  43844