Theorem subg0cl 19305

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19300	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 19137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19303	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19301	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2875	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  0_gc0g 17571  Grpcgrp 19105  SubGrpcsubg 19291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-subg 19294

This theorem is used by:  subgmulgcl  19311  issubg3  19316  issubg4  19317  subgint  19322  trivsubgd  19324  eqger  19351  ghmpreima  19413  subgga  19475  gasubg  19477  sylow1lem5  19777  sylow2blem2  19796  sylow2blem3  19797  fislw  19800  sylow3lem3  19804  sylow3lem4  19805  lsm01  19846  lsm02  19847  lsmdisj  19856  lsmdisj2  19857  pj1lid  19876  pj1rid  19877  dmdprdd  20176  dprdfid  20194  dprdfeq0  20199  dprdsubg  20201  dprdres  20205  dprdz  20207  dprdsn  20213  dmdprdsplitlem  20214  dprddisj2  20216  dprd2da  20219  dmdprdsplit2lem  20222  ablfacrp  20243  ablfacrp2  20244  ablfac1c  20248  ablfac1eu  20250  pgpfac1lem3a  20253  pgpfac1lem3  20254  pgpfac1lem5  20256  pgpfaclem2  20259  pgpfaclem3  20260  prmgrpsimpgd  20291  primefld0cl  21024  abvres  21049  islss4  21198  dflidl2rng  21458  rnglidlrng  21496  rng2idl0  21522  rng2idlsubg0  21525  2idlcpblrng  21526  rng2idl1cntr  21562  subrgpsr  22246  mpllsslem  22268  0elcpmat  23001  opnsubg  24388  clssubg  24389  tgpconncompss  24394  plypf1  26492  dvply2g  26569  efsubm  26842  dchrptlem3  27556  gsumsubg  33540  elrgspnlem4  33739  subrdom  33779  nsgqus0  33894  nsgqusf1olem1  33897  ressply1evls1  34030  ressply10g  34032  ressply1invg  34034  vr1nz  34058  drgext0gsca  34157  fedgmullem2  34195  fldextrspunlsplem  34238  fldextrspunlsp  34239  extdgfialglem1  34257  extdgfialglem2  34258  algextdeglem4  34285  algextdeglem5  34286  rtelextdg2lem  34291  fsumcnsrcl  44111  cnsrplycl  44112  rngunsnply  44114