Theorem subg0cl 19057

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19052	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 18888	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19055	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19053	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2848	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130   ↾_s cress 17151  0_gc0g 17353  Grpcgrp 18856  SubGrpcsubg 19043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-subg 19046

This theorem is referenced by:  subgmulgcl  19062  issubg3  19067  issubg4  19068  subgint  19073  trivsubgd  19075  eqger  19100  ghmpreima  19160  subgga  19222  gasubg  19224  sylow1lem5  19524  sylow2blem2  19543  sylow2blem3  19544  fislw  19547  sylow3lem3  19551  sylow3lem4  19552  lsm01  19593  lsm02  19594  lsmdisj  19603  lsmdisj2  19604  pj1lid  19623  pj1rid  19624  dmdprdd  19923  dprdfid  19941  dprdfeq0  19946  dprdsubg  19948  dprdres  19952  dprdz  19954  dprdsn  19960  dmdprdsplitlem  19961  dprddisj2  19963  dprd2da  19966  dmdprdsplit2lem  19969  ablfacrp  19990  ablfacrp2  19991  ablfac1c  19995  ablfac1eu  19997  pgpfac1lem3a  20000  pgpfac1lem3  20001  pgpfac1lem5  20003  pgpfaclem2  20006  pgpfaclem3  20007  prmgrpsimpgd  20038  primefld0cl  20731  abvres  20756  islss4  20905  dflidl2rng  21165  rnglidlrng  21194  rng2idl0  21214  rng2idlsubg0  21217  2idlcpblrng  21218  rng2idl1cntr  21252  subrgpsr  21925  mpllsslem  21947  0elcpmat  22647  opnsubg  24033  clssubg  24034  tgpconncompss  24039  plypf1  26154  dvply2g  26229  dvply2gOLD  26230  efsubm  26497  dchrptlem3  27214  gsumsubg  33037  elrgspnlem4  33223  subrdom  33262  nsgqus0  33386  nsgqusf1olem1  33389  ressply1evls1  33539  ressply10g  33541  ressply1invg  33543  vr1nz  33565  drgext0gsca  33615  fedgmullem2  33654  fldextrspunlsplem  33697  fldextrspunlsp  33698  extdgfialglem1  33716  extdgfialglem2  33717  algextdeglem4  33744  algextdeglem5  33745  rtelextdg2lem  33750  fsumcnsrcl  43273  cnsrplycl  43274  rngunsnply  43276