Theorem subg0cl 19110

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19105	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
5	3, 4	grpidcl 18941	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		subg0cl.i	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 7	subg0 19108	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
9	1	subgbas 19106	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	6, 8, 9	3eltr4d 2852	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-subg 19099

This theorem is referenced by:  subgmulgcl  19115  issubg3  19120  issubg4  19121  subgint  19126  trivsubgd  19128  eqger  19153  ghmpreima  19213  subgga  19275  gasubg  19277  sylow1lem5  19577  sylow2blem2  19596  sylow2blem3  19597  fislw  19600  sylow3lem3  19604  sylow3lem4  19605  lsm01  19646  lsm02  19647  lsmdisj  19656  lsmdisj2  19657  pj1lid  19676  pj1rid  19677  dmdprdd  19976  dprdfid  19994  dprdfeq0  19999  dprdsubg  20001  dprdres  20005  dprdz  20007  dprdsn  20013  dmdprdsplitlem  20014  dprddisj2  20016  dprd2da  20019  dmdprdsplit2lem  20022  ablfacrp  20043  ablfacrp2  20044  ablfac1c  20048  ablfac1eu  20050  pgpfac1lem3a  20053  pgpfac1lem3  20054  pgpfac1lem5  20056  pgpfaclem2  20059  pgpfaclem3  20060  prmgrpsimpgd  20091  primefld0cl  20783  abvres  20808  islss4  20957  dflidl2rng  21216  rnglidlrng  21245  rng2idl0  21265  rng2idlsubg0  21268  2idlcpblrng  21269  rng2idl1cntr  21303  subrgpsr  21956  mpllsslem  21978  0elcpmat  22687  opnsubg  24073  clssubg  24074  tgpconncompss  24079  plypf1  26177  dvply2g  26251  efsubm  26515  dchrptlem3  27229  gsumsubg  33107  elrgspnlem4  33306  subrdom  33346  nsgqus0  33470  nsgqusf1olem1  33473  ressply1evls1  33625  ressply10g  33627  ressply1invg  33629  vr1nz  33653  drgext0gsca  33736  fedgmullem2  33774  fldextrspunlsplem  33817  fldextrspunlsp  33818  extdgfialglem1  33836  extdgfialglem2  33837  algextdeglem4  33864  algextdeglem5  33865  rtelextdg2lem  33870  fsumcnsrcl  43594  cnsrplycl  43595  rngunsnply  43597