Theorem halfcl 12465

Description: Closure of half of a number. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
halfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12313	. 2 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2ne0 12342	. 2 ⊢ 2 ≠ 0
3		divcl 11900	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	mp3an23 1455	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127   / cdiv 11892  2c2 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301

This theorem is referenced by:  halfaddsubcl  12471  subhalfhalf  12473  halfcld  12484  geo2sum  15887  efhalfpi  26430  cosq14gt0  26469  cosq14ge0  26470  abssinper  26480  coseq1  26484  efeq1  26487  sqrtcn  26710  1cubr  26802  dquartlem1  26811  acosf  26834  atanf  26840  acosneg  26847  acoscos  26853  acos1  26855  sinacos  26865  atanneg  26867  atancj  26870  efiatan  26872  efiatan2  26877  2efiatan  26878  atantan  26883  atanbndlem  26885  dvatan  26895  atantayl  26897  gausslemma2dlem1a  27326  minvecolem2  30802  sin2h  37580  cos2h  37581  dirkercncflem2  46081  fourierdlem58  46141