Theorem halfcl 12599

Description: Closure of half of a number. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
halfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12445	. 2 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2ne0 12476	. 2 ⊢ 2 ≠ 0
3		divcl 12007	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	mp3an23 1483	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   / cdiv 12000  2c2 12424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432

This theorem is used by:  halfaddsubcl  12605  subhalfhalf  12607  halfcld  12618  geo2sum  16071  efhalfpi  26830  cosq14gt0  26869  cosq14ge0  26870  abssinper  26879  coseq1  26883  efeq1  26886  sqrtcn  27108  1cubr  27200  dquartlem1  27209  acosf  27232  atanf  27238  acosneg  27245  acoscos  27251  acos1  27253  sinacos  27263  atanneg  27265  atancj  27268  efiatan  27270  efiatan2  27275  2efiatan  27276  atantan  27281  atanbndlem  27283  dvatan  27293  atantayl  27295  gausslemma2dlem1a  27722  minvecolem2  31507  sin2h  38725  cos2h  38726  dirkercncflem2  47319  fourierdlem58  47379  tannpoly  48145