MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2uz2 13847
Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2uz2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12875 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 zre 12605 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 4re 12339 . . . . 5 4 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
6 4ne0 12363 . . . . 5 4 ≠ 0
76a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
83, 5, 7redivcld 12084 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
9 flle 13810 . . 3 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
101, 2, 8, 94syl 19 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
11 1red 11253 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
12 eluzelre 12876 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
13 rehalfcl 12481 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
141, 2, 133syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15 2rp 13024 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ+)
17 eluzle 12878 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
18 divge1 13087 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
1916, 12, 17, 18syl3anc 1368 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
20 eluzelcn 12877 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 subhalfhalf 12489 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
2319, 22breqtrrd 5171 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
2411, 12, 14, 23lesubd 11856 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
25 2t2e4 12419 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
2625eqcomi 2735 . . . . . . . 8 4 = (2 · 2)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 = (2 · 2))
2827oveq2d 7429 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
29 2cnne0 12465 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
3029a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
31 divdiv1 11967 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
3220, 30, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
3328, 32eqtr4d 2769 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
3433breq1d 5153 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
35 peano2rem 11565 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3612, 35syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3714, 36, 16lediv1d 13107 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
3834, 37bitr4d 281 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
3924, 38mpbird 256 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
408flcld 13809 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
4140zred 12709 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
4235rehalfcld 12502 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
4341, 8, 423jca 1125 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
44 letr 11346 . . 3 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
451, 2, 43, 444syl 19 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4610, 39, 45mp2and 697 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7413  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151  cle 11287  cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12310  4c4 12312  cz 12601  cuz 12865  +crp 13019  cfl 13801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fl 13803
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  13848  gausslemma2dlem4  27392
  Copyright terms: Public domain W3C validator