MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2uz2 13670
Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2uz2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12706 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 zre 12437 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 id 22 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4 4re 12171 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„
54a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
6 4ne0 12195 . . . . . 6 4 โ‰  0
76a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โ‰  0)
83, 5, 7redivcld 11917 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
92, 8syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
10 flle 13633 . . 3 ((๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4))
111, 9, 103syl 18 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4))
12 1red 11090 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
13 eluzelre 12707 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
14 rehalfcl 12313 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
151, 2, 143syl 18 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
16 2rp 12849 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
1716a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
18 eluzle 12709 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
19 divge1 12912 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ / 2))
2017, 13, 18, 19syl3anc 1372 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ / 2))
21 eluzelcn 12708 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
22 subhalfhalf 12321 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2))
2420, 23breqtrrd 5132 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)))
2512, 13, 15, 24lesubd 11693 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
26 2t2e4 12251 . . . . . . . . 9 (2 ยท 2) = 4
2726eqcomi 2747 . . . . . . . 8 4 = (2 ยท 2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 4 = (2 ยท 2))
2928oveq2d 7366 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 4) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
30 2cnne0 12297 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
3130a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
32 divdiv1 11800 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
3321, 31, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
3429, 33eqtr4d 2781 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 4) = ((๐‘ / 2) / 2))
3534breq1d 5114 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
36 peano2rem 11402 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
3713, 36syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
3815, 37, 17lediv1d 12932 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
3935, 38bitr4d 282 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” (๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)))
4025, 39mpbird 257 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
418flcld 13632 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ค)
4241zred 12540 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„)
4336rehalfcld 12334 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
4442, 8, 433jca 1129 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„))
451, 2, 443syl 18 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„))
46 letr 11183 . . 3 (((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4) โˆง (๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
4745, 46syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4) โˆง (๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
4811, 40, 47mp2and 698 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942   class class class wbr 5104  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  โ„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   ยท cmul 10990   โ‰ค cle 11124   โˆ’ cmin 11319   / cdiv 11746  2c2 12142  4c4 12144  โ„คcz 12433  โ„คโ‰ฅcuz 12696  โ„+crp 12844  โŒŠcfl 13624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fl 13626
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  13671  gausslemma2dlem4  26640
  Copyright terms: Public domain W3C validator