MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2uz2 13807
Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2uz2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12838 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 zre 12568 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 id 22 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4 4re 12302 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„
54a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
6 4ne0 12326 . . . . . 6 4 โ‰  0
76a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โ‰  0)
83, 5, 7redivcld 12048 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
92, 8syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
10 flle 13770 . . 3 ((๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4))
111, 9, 103syl 18 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4))
12 1red 11221 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
13 eluzelre 12839 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
14 rehalfcl 12444 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
151, 2, 143syl 18 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
16 2rp 12985 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
1716a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
18 eluzle 12841 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
19 divge1 13048 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ / 2))
2017, 13, 18, 19syl3anc 1369 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ / 2))
21 eluzelcn 12840 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
22 subhalfhalf 12452 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2))
2420, 23breqtrrd 5177 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)))
2512, 13, 15, 24lesubd 11824 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
26 2t2e4 12382 . . . . . . . . 9 (2 ยท 2) = 4
2726eqcomi 2739 . . . . . . . 8 4 = (2 ยท 2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 4 = (2 ยท 2))
2928oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 4) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
30 2cnne0 12428 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
3130a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
32 divdiv1 11931 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
3321, 31, 31, 32syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
3429, 33eqtr4d 2773 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 4) = ((๐‘ / 2) / 2))
3534breq1d 5159 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
36 peano2rem 11533 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
3713, 36syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
3815, 37, 17lediv1d 13068 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
3935, 38bitr4d 281 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” (๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)))
4025, 39mpbird 256 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
418flcld 13769 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ค)
4241zred 12672 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„)
4336rehalfcld 12465 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
4442, 8, 433jca 1126 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„))
451, 2, 443syl 18 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„))
46 letr 11314 . . 3 (((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4) โˆง (๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
4745, 46syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4) โˆง (๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
4811, 40, 47mp2and 695 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   ยท cmul 11119   โ‰ค cle 11255   โˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877  2c2 12273  4c4 12275  โ„คcz 12564  โ„คโ‰ฅcuz 12828  โ„+crp 12980  โŒŠcfl 13761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fl 13763
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  13808  gausslemma2dlem4  27106
  Copyright terms: Public domain W3C validator