Theorem fldiv4lem1div2uz2 13873

Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2uz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12886	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zre 12615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		4re 12348	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
6		4ne0 12372	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
8	3, 5, 7	redivcld 12093	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
9		flle 13836	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
10	1, 2, 8, 9	4syl 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
11		1red 11260	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12887	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		rehalfcl 12490	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	1, 2, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15		2rp 13037	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
17		eluzle 12889	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
18		divge1 13101	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
19	16, 12, 17, 18	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
20		eluzelcn 12888	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		subhalfhalf 12498	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
23	19, 22	breqtrrd 5176	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
24	11, 12, 14, 23	lesubd 11865	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
25		2t2e4 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
26	25	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 = (2 · 2))
28	27	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
29		2cnne0 12474	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
31		divdiv1 11976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
32	20, 30, 30, 31	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
33	28, 32	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
34	33	breq1d 5158	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
35		peano2rem 11574	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
36	12, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
37	14, 36, 16	lediv1d 13121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
38	34, 37	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
39	24, 38	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
40	8	flcld 13835	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
41	40	zred 12720	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
42	35	rehalfcld 12511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
43	41, 8, 42	3jca 1127	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
44		letr 11353	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
45	1, 2, 43, 44	4syl 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
46	10, 39, 45	mp2and 699	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  4c4 12321  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  ⌊cfl 13827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  13874  gausslemma2dlem4  27428