MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2uz2 13056
Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2uz2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12103 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 zre 11833 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 4re 11569 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
6 4ne0 11593 . . . . . 6 4 ≠ 0
76a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
83, 5, 7redivcld 11316 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
92, 8syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
10 flle 13019 . . 3 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
111, 9, 103syl 18 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
12 1red 10488 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
13 eluzelre 12104 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 rehalfcl 11711 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
151, 2, 143syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
16 2rp 12244 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ+)
18 eluzle 12106 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
19 divge1 12307 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
2017, 13, 18, 19syl3anc 1364 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
21 eluzelcn 12105 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 subhalfhalf 11719 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
2420, 23breqtrrd 4990 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
2512, 13, 15, 24lesubd 11092 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
26 2t2e4 11649 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
2726eqcomi 2804 . . . . . . . 8 4 = (2 · 2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 = (2 · 2))
2928oveq2d 7032 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
30 2cnne0 11695 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
32 divdiv1 11199 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
3321, 31, 31, 32syl3anc 1364 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
3429, 33eqtr4d 2834 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
3534breq1d 4972 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
36 peano2rem 10801 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3713, 36syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3815, 37, 17lediv1d 12327 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
3935, 38bitr4d 283 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
4025, 39mpbird 258 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
418flcld 13018 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
4241zred 11936 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
4336rehalfcld 11732 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
4442, 8, 433jca 1121 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
451, 2, 443syl 18 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
46 letr 10581 . . 3 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4745, 46syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4811, 40, 47mp2and 695 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388  cle 10522  cmin 10717   / cdiv 11145  2c2 11540  4c4 11542  cz 11829  cuz 12093  +crp 12239  cfl 13010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  13057  gausslemma2dlem4  25627
  Copyright terms: Public domain W3C validator