MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2uz2 13806
Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2uz2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12837 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 zre 12567 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 id 22 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4 4re 12301 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„
54a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
6 4ne0 12325 . . . . . 6 4 โ‰  0
76a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ 4 โ‰  0)
83, 5, 7redivcld 12047 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
92, 8syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 4) โˆˆ โ„)
10 flle 13769 . . 3 ((๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4))
111, 9, 103syl 18 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4))
12 1red 11220 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
13 eluzelre 12838 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
14 rehalfcl 12443 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
151, 2, 143syl 18 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
16 2rp 12984 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
1716a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
18 eluzle 12840 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
19 divge1 13047 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ / 2))
2017, 13, 18, 19syl3anc 1370 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ / 2))
21 eluzelcn 12839 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
22 subhalfhalf 12451 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2))
2420, 23breqtrrd 5176 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)))
2512, 13, 15, 24lesubd 11823 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
26 2t2e4 12381 . . . . . . . . 9 (2 ยท 2) = 4
2726eqcomi 2740 . . . . . . . 8 4 = (2 ยท 2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 4 = (2 ยท 2))
2928oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 4) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
30 2cnne0 12427 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
3130a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
32 divdiv1 11930 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
3321, 31, 31, 32syl3anc 1370 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 2) / 2) = (๐‘ / (2 ยท 2)))
3429, 33eqtr4d 2774 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 4) = ((๐‘ / 2) / 2))
3534breq1d 5158 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
36 peano2rem 11532 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
3713, 36syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
3815, 37, 17lediv1d 13067 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ / 2) / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
3935, 38bitr4d 282 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โ†” (๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)))
4025, 39mpbird 257 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
418flcld 13768 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ค)
4241zred 12671 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„)
4336rehalfcld 12464 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
4442, 8, 433jca 1127 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„))
451, 2, 443syl 18 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„))
46 letr 11313 . . 3 (((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / 4) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4) โˆง (๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
4745, 46syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค (๐‘ / 4) โˆง (๐‘ / 4) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
4811, 40, 47mp2and 696 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   ยท cmul 11119   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  4c4 12274  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ„+crp 12979  โŒŠcfl 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  13807  gausslemma2dlem4  27109
  Copyright terms: Public domain W3C validator