MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2uz2 13201
Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2uz2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12241 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 zre 11973 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 4re 11709 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
6 4ne0 11733 . . . . . 6 4 ≠ 0
76a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
83, 5, 7redivcld 11457 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
92, 8syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
10 flle 13164 . . 3 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
111, 9, 103syl 18 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
12 1red 10631 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
13 eluzelre 12242 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 rehalfcl 11851 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
151, 2, 143syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
16 2rp 12382 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ+)
18 eluzle 12244 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
19 divge1 12445 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
2017, 13, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
21 eluzelcn 12243 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 subhalfhalf 11859 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
2420, 23breqtrrd 5070 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
2512, 13, 15, 24lesubd 11233 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
26 2t2e4 11789 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
2726eqcomi 2831 . . . . . . . 8 4 = (2 · 2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 = (2 · 2))
2928oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
30 2cnne0 11835 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
32 divdiv1 11340 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
3321, 31, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
3429, 33eqtr4d 2860 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
3534breq1d 5052 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
36 peano2rem 10942 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3713, 36syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3815, 37, 17lediv1d 12465 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
3935, 38bitr4d 285 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
4025, 39mpbird 260 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
418flcld 13163 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
4241zred 12075 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
4336rehalfcld 11872 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
4442, 8, 433jca 1125 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
451, 2, 443syl 18 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
46 letr 10723 . . 3 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4745, 46syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4811, 40, 47mp2and 698 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  4c4 11682  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  cfl 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  13202  gausslemma2dlem4  25951
  Copyright terms: Public domain W3C validator