Theorem fldiv4lem1div2uz2 13858

Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2uz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12867	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zre 12597	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		4re 12329	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
6		4ne0 12353	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
8	3, 5, 7	redivcld 12074	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
9		flle 13821	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
10	1, 2, 8, 9	4syl 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
11		1red 11241	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12868	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
13		rehalfcl 12473	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
14	1, 2, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15		2rp 13018	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
17		eluzle 12870	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
18		divge1 13082	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
19	16, 12, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
20		eluzelcn 12869	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		subhalfhalf 12480	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
23	19, 22	breqtrrd 5152	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
24	11, 12, 14, 23	lesubd 11846	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
25		2t2e4 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
26	25	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 = (2 · 2))
28	27	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
29		2cnne0 12455	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
31		divdiv1 11957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
32	20, 30, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
33	28, 32	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
34	33	breq1d 5134	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
35		peano2rem 11555	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
36	12, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
37	14, 36, 16	lediv1d 13102	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
38	34, 37	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
39	24, 38	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
40	8	flcld 13820	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
41	40	zred 12702	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
42	35	rehalfcld 12493	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
43	41, 8, 42	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
44		letr 11334	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
45	1, 2, 43, 44	4syl 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
46	10, 39, 45	mp2and 699	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  2c2 12300  4c4 12302  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013  ⌊cfl 13812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fl 13814

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  13859  gausslemma2dlem4  27337