MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arisum2 15897
Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
arisum2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum2
StepHypRef Expression
1 elnn0 12528 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnm1nn0 12567 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3 nn0uz 12920 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
42, 3eleqtrdi 2851 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
5 elfznn0 13660 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12589 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
94, 7, 8fsum1p 15789 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘))
10 1e0p1 12775 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
1110oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (1...(𝑁 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 − 1))
1211sumeq1i 15733 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘
1312oveq2i 7442 . . . . . 6 (0 + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘)
14 fzfid 14014 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
15 elfznn 13593 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1716nncnd 12282 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
1814, 17fsumcl 15769 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 ∈ ℂ)
1918addlidd 11462 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘)
2013, 19eqtr3id 2791 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘)
21 arisum 15896 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2))
222, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2))
23 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24232timesd 12509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2524oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) − (𝑁 + 𝑁)))
2623sqcld 14184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
2726, 23, 23subsub4d 11651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁↑2) − (𝑁 + 𝑁)))
2825, 27eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) = (((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁))
2928oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) + 1))
30 binom2sub1 14260 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1))
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1))
3226, 23subcld 11620 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
33 1cnd 11256 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3432, 23, 33subsubd 11648 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) + 1))
3529, 31, 343eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)))
3635oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
37 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
38 subcl 11507 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3923, 37, 38sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4032, 39npcand 11624 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁↑2) − 𝑁))
4136, 40eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁↑2) − 𝑁))
4241oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2) = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
4322, 42eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
4420, 43eqtrd 2777 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘) = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
459, 44eqtrd 2777 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
46 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
4746oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (0...(𝑁 − 1)) = (0...(0 − 1)))
48 0re 11263 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
49 ltm1 12109 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 − 1) < 0
51 0z 12624 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
52 peano2zm 12660 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
54 fzn 13580 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅))
5551, 53, 54mp2an 692 . . . . . . . 8 ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅)
5650, 55mpbi 230 . . . . . . 7 (0...(0 − 1)) = ∅
5747, 56eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (0...(𝑁 − 1)) = ∅)
5857sumeq1d 15736 . . . . 5 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
59 sum0 15757 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
6058, 59eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = 0)
61 sq0i 14232 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
62 id 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
6361, 62oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) = (0 − 0))
64 0m0e0 12386 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
6563, 64eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) = 0)
6665oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2) = (0 / 2))
67 2cn 12341 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
68 2ne0 12370 . . . . . 6 2 ≠ 0
6967, 68div0i 12001 . . . . 5 (0 / 2) = 0
7066, 69eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2) = 0)
7160, 70eqtr4d 2780 . . 3 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
7245, 71jaoi 858 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
731, 72sylbi 217 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cexp 14102  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26996
  Copyright terms: Public domain W3C validator