Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arisum2 15211
 Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
arisum2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum2
StepHypRef Expression
1 elnn0 11891 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnm1nn0 11930 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3 nn0uz 12272 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
42, 3eleqtrdi 2903 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
5 elfznn0 12999 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11949 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
94, 7, 8fsum1p 15103 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘))
10 1e0p1 12132 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
1110oveq1i 7149 . . . . . . . 8 (1...(𝑁 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 − 1))
1211sumeq1i 15050 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘
1312oveq2i 7150 . . . . . 6 (0 + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘)
14 fzfid 13340 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
15 elfznn 12935 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1716nncnd 11645 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
1814, 17fsumcl 15085 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 ∈ ℂ)
1918addid2d 10834 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘)
2013, 19syl5eqr 2850 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘)
21 arisum 15210 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2))
222, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2))
23 nncn 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24232timesd 11872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2524oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) − (𝑁 + 𝑁)))
2623sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
2726, 23, 23subsub4d 11021 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁↑2) − (𝑁 + 𝑁)))
2825, 27eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) = (((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁))
2928oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) + 1))
30 binom2sub1 13582 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1))
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1))
3226, 23subcld 10990 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
33 1cnd 10629 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3432, 23, 33subsubd 11018 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) + 1))
3529, 31, 343eqtr4d 2846 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)))
3635oveq1d 7154 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
37 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
38 subcl 10878 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3923, 37, 38sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4032, 39npcand 10994 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁↑2) − 𝑁))
4136, 40eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁↑2) − 𝑁))
4241oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2) = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
4322, 42eqtrd 2836 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
4420, 43eqtrd 2836 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘) = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
459, 44eqtrd 2836 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
46 oveq1 7146 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
4746oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (0...(𝑁 − 1)) = (0...(0 − 1)))
48 0re 10636 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
49 ltm1 11475 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 − 1) < 0
51 0z 11984 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
52 peano2zm 12017 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
54 fzn 12922 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅))
5551, 53, 54mp2an 691 . . . . . . . 8 ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅)
5650, 55mpbi 233 . . . . . . 7 (0...(0 − 1)) = ∅
5747, 56eqtrdi 2852 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (0...(𝑁 − 1)) = ∅)
5857sumeq1d 15053 . . . . 5 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
59 sum0 15073 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
6058, 59eqtrdi 2852 . . . 4 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = 0)
61 sq0i 13556 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
62 id 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
6361, 62oveq12d 7157 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) = (0 − 0))
64 0m0e0 11749 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
6563, 64eqtrdi 2852 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) = 0)
6665oveq1d 7154 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2) = (0 / 2))
67 2cn 11704 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
68 2ne0 11733 . . . . . 6 2 ≠ 0
6967, 68div0i 11367 . . . . 5 (0 / 2) = 0
7066, 69eqtrdi 2852 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2) = 0)
7160, 70eqtr4d 2839 . . 3 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
7245, 71jaoi 854 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
731, 72sylbi 220 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∅c0 4246   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   − cmin 10863   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12889  ↑cexp 13429  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  birthdaylem3  25542
 Copyright terms: Public domain W3C validator