MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arisum2 15814
Description: Arithmetic series sum of the first ๐‘ nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
arisum2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem arisum2
StepHypRef Expression
1 elnn0 12481 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 nnm1nn0 12520 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
3 nn0uz 12871 . . . . . 6 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
42, 3eleqtrdi 2842 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
5 elfznn0 13601 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
65adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
76nn0cnd 12541 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
8 id 22 . . . . 5 (๐‘˜ = 0 โ†’ ๐‘˜ = 0)
94, 7, 8fsum1p 15706 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = (0 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜))
10 1e0p1 12726 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
1110oveq1i 7422 . . . . . . . 8 (1...(๐‘ โˆ’ 1)) = ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))
1211sumeq1i 15651 . . . . . . 7 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜
1312oveq2i 7423 . . . . . 6 (0 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜) = (0 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜)
14 fzfid 13945 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
15 elfznn 13537 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
1716nncnd 12235 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
1814, 17fsumcl 15686 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
1918addlidd 11422 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜)
2013, 19eqtr3id 2785 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜)
21 arisum 15813 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘2) + (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
222, 21syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘2) + (๐‘ โˆ’ 1)) / 2))
23 nncn 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
24232timesd 12462 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
2524oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐‘)) = ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐‘ + ๐‘)))
2623sqcld 14116 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2726, 23, 23subsub4d 11609 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐‘ + ๐‘)))
2825, 27eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐‘)) = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆ’ ๐‘))
2928oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐‘)) + 1) = ((((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1))
30 binom2sub1 14191 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘2) = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐‘)) + 1))
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘2) = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ (2 ยท ๐‘)) + 1))
3226, 23subcld 11578 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
33 1cnd 11216 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3432, 23, 33subsubd 11606 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = ((((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆ’ ๐‘) + 1))
3529, 31, 343eqtr4d 2781 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘2) = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))
3635oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘2) + (๐‘ โˆ’ 1)) = ((((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) + (๐‘ โˆ’ 1)))
37 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
38 subcl 11466 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3923, 37, 38sylancl 585 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4032, 39npcand 11582 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) + (๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘))
4136, 40eqtrd 2771 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘2) + (๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘))
4241oveq1d 7427 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1)โ†‘2) + (๐‘ โˆ’ 1)) / 2) = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
4322, 42eqtrd 2771 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
4420, 43eqtrd 2771 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜) = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
459, 44eqtrd 2771 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
46 oveq1 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
4746oveq2d 7428 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) = (0...(0 โˆ’ 1)))
48 0re 11223 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
49 ltm1 12063 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’ 1) < 0)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 โˆ’ 1) < 0
51 0z 12576 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
52 peano2zm 12612 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค
54 fzn 13524 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 โˆ’ 1) < 0 โ†” (0...(0 โˆ’ 1)) = โˆ…))
5551, 53, 54mp2an 689 . . . . . . . 8 ((0 โˆ’ 1) < 0 โ†” (0...(0 โˆ’ 1)) = โˆ…)
5650, 55mpbi 229 . . . . . . 7 (0...(0 โˆ’ 1)) = โˆ…
5747, 56eqtrdi 2787 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) = โˆ…)
5857sumeq1d 15654 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜)
59 sum0 15674 . . . . 5 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜ = 0
6058, 59eqtrdi 2787 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = 0)
61 sq0i 14164 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘โ†‘2) = 0)
62 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ ๐‘ = 0)
6361, 62oveq12d 7430 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) = (0 โˆ’ 0))
64 0m0e0 12339 . . . . . . 7 (0 โˆ’ 0) = 0
6563, 64eqtrdi 2787 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) = 0)
6665oveq1d 7427 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2) = (0 / 2))
67 2cn 12294 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
68 2ne0 12323 . . . . . 6 2 โ‰  0
6967, 68div0i 11955 . . . . 5 (0 / 2) = 0
7066, 69eqtrdi 2787 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2) = 0)
7160, 70eqtr4d 2774 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
7245, 71jaoi 854 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
731, 72sylbi 216 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  โ„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ยท cmul 11121   < clt 11255   โˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878  โ„•cn 12219  2c2 12274  โ„•0cn0 12479  โ„คcz 12565  โ„คโ‰ฅcuz 12829  ...cfz 13491  โ†‘cexp 14034  ฮฃcsu 15639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26800
  Copyright terms: Public domain W3C validator