MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arisum2 15894
Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
arisum2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum2
StepHypRef Expression
1 elnn0 12526 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnm1nn0 12565 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3 nn0uz 12918 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
42, 3eleqtrdi 2849 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
5 elfznn0 13657 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
94, 7, 8fsum1p 15786 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘))
10 1e0p1 12773 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
1110oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (1...(𝑁 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 − 1))
1211sumeq1i 15730 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘
1312oveq2i 7442 . . . . . 6 (0 + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘)
14 fzfid 14011 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
15 elfznn 13590 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1716nncnd 12280 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
1814, 17fsumcl 15766 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 ∈ ℂ)
1918addlidd 11460 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘)
2013, 19eqtr3id 2789 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘)
21 arisum 15893 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2))
222, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2))
23 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24232timesd 12507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2524oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) − (𝑁 + 𝑁)))
2623sqcld 14181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
2726, 23, 23subsub4d 11649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁↑2) − (𝑁 + 𝑁)))
2825, 27eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) = (((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁))
2928oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) + 1))
30 binom2sub1 14257 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1))
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − (2 · 𝑁)) + 1))
3226, 23subcld 11618 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) − 𝑁) ∈ ℂ)
33 1cnd 11254 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3432, 23, 33subsubd 11646 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − 𝑁) + 1))
3529, 31, 343eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)↑2) = (((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)))
3635oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) = ((((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
37 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
38 subcl 11505 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3923, 37, 38sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4032, 39npcand 11622 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁↑2) − 𝑁) − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁↑2) − 𝑁))
4136, 40eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁↑2) − 𝑁))
4241oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 − 1)↑2) + (𝑁 − 1)) / 2) = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
4322, 42eqtrd 2775 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
4420, 43eqtrd 2775 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))𝑘) = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
459, 44eqtrd 2775 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
46 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
4746oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (0...(𝑁 − 1)) = (0...(0 − 1)))
48 0re 11261 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
49 ltm1 12107 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 − 1) < 0
51 0z 12622 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
52 peano2zm 12658 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
54 fzn 13577 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅))
5551, 53, 54mp2an 692 . . . . . . . 8 ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅)
5650, 55mpbi 230 . . . . . . 7 (0...(0 − 1)) = ∅
5747, 56eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (0...(𝑁 − 1)) = ∅)
5857sumeq1d 15733 . . . . 5 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
59 sum0 15754 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
6058, 59eqtrdi 2791 . . . 4 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = 0)
61 sq0i 14229 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
62 id 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
6361, 62oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) = (0 − 0))
64 0m0e0 12384 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
6563, 64eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) − 𝑁) = 0)
6665oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2) = (0 / 2))
67 2cn 12339 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
68 2ne0 12368 . . . . . 6 2 ≠ 0
6967, 68div0i 11999 . . . . 5 (0 / 2) = 0
7066, 69eqtrdi 2791 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2) = 0)
7160, 70eqtr4d 2778 . . 3 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
7245, 71jaoi 857 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
731, 72sylbi 217 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (((𝑁↑2) − 𝑁) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  27011
  Copyright terms: Public domain W3C validator