MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly1 15184
Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly1 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Proof of Theorem bpoly1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 11660 . . 3 1 ∈ ℕ0
2 bpolyval 15182 . . 3 ((1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 680 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
4 exp1 13184 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) = 𝑋)
5 1m1e0 11447 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
65oveq2i 6933 . . . . 5 (0...(1 − 1)) = (0...0)
76sumeq1i 14836 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))
8 0z 11739 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
9 bpoly0 15183 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
109oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 2) = (1 / 2))
1110oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 · (1 / 2)))
12 halfcn 11597 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℂ
1312mulid2i 10382 . . . . . . . 8 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
1411, 13syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 / 2))
1514, 12syl6eqel 2867 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ)
16 oveq2 6930 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = (1C0))
17 bcn0 13415 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℕ0 → (1C0) = 1)
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1C0) = 1
1916, 18syl6eq 2830 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = 1)
20 oveq1 6929 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
21 oveq2 6930 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = (1 − 0))
22 1m0e1 11503 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 0) = 1
2321, 22syl6eq 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = 1)
2423oveq1d 6937 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = (1 + 1))
25 df-2 11438 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
2624, 25syl6eqr 2832 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = 2)
2720, 26oveq12d 6940 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 2))
2819, 27oveq12d 6940 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
2928fsum1 14883 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
308, 15, 29sylancr 581 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
3130, 14eqtrd 2814 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
327, 31syl5eq 2826 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
334, 32oveq12d 6940 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))) = (𝑋 − (1 / 2)))
343, 33eqtrd 2814 1 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  ...cfz 12643  cexp 13178  Ccbc 13407  Σcsu 14824   BernPoly cbp 15179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-bpoly 15180
This theorem is referenced by:  bpoly2  15190  bpoly3  15191  bpoly4  15192
  Copyright terms: Public domain W3C validator