Theorem bpoly1 14988

Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly1	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Proof of Theorem bpoly1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11515	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		bpolyval 14986	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
3	1, 2	mpan 670	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
4		exp1 13073	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) = 𝑋)
5		1m1e0 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq2i 6807	. . . . 5 ⊢ (0...(1 − 1)) = (0...0)
7	6	sumeq1i 14636	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))
8		0z 11595	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		bpoly0 14987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
10	9	oveq1d 6811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 2) = (1 / 2))
11	10	oveq2d 6812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 · (1 / 2)))
12		halfcn 11454	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
13	12	mulid2i 10249	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	11, 13	syl6eq 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 / 2))
15	14, 12	syl6eqel 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ)
16		oveq2 6804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = (1C0))
17		bcn0 13301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (1C0) = 1)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1C0) = 1
19	16, 18	syl6eq 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = 1)
20		oveq1 6803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
21		oveq2 6804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = (1 − 0))
22		1m0e1 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	syl6eq 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = 1)
24	23	oveq1d 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = (1 + 1))
25		df-2 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	24, 25	syl6eqr 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = 2)
27	20, 26	oveq12d 6814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 2))
28	19, 27	oveq12d 6814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
29	28	fsum1 14684	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
30	8, 15, 29	sylancr 575	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
31	30, 14	eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
32	7, 31	syl5eq 2817	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
33	4, 32	oveq12d 6814	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))) = (𝑋 − (1 / 2)))
34	3, 33	eqtrd 2805	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   − cmin 10472   / cdiv 10890  2c2 11276  ℕ₀cn0 11499  ℤcz 11584  ...cfz 12533  ↑cexp 13067  Ccbc 13293  Σcsu 14624   BernPoly cbp 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-bpoly 14984

This theorem is referenced by:  bpoly2  14994  bpoly3  14995  bpoly4  14996