Theorem bpoly1 16016

Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly1	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Proof of Theorem bpoly1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12453	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		bpolyval 16014	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
3	1, 2	mpan 691	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
4		exp1 14029	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) = 𝑋)
5		1m1e0 12253	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ (0...(1 − 1)) = (0...0)
7	6	sumeq1i 15659	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))
8		0z 12535	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		bpoly0 16015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
10	9	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 2) = (1 / 2))
11	10	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 · (1 / 2)))
12		halfcn 12391	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
13	12	mullidi 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	11, 13	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 / 2))
15	14, 12	eqeltrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ)
16		oveq2 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = (1C0))
17		bcn0 14272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (1C0) = 1)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1C0) = 1
19	16, 18	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = 1)
20		oveq1 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
21		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = (1 − 0))
22		1m0e1 12297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = 1)
24	23	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = (1 + 1))
25		df-2 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	24, 25	eqtr4di 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = 2)
27	20, 26	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 2))
28	19, 27	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
29	28	fsum1 15709	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
30	8, 15, 29	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
31	30, 14	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
32	7, 31	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
33	4, 32	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))) = (𝑋 − (1 / 2)))
34	3, 33	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  Ccbc 14264  Σcsu 15648   BernPoly cbp 16011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-bpoly 16012

This theorem is referenced by:  bpoly2  16022  bpoly3  16023  bpoly4  16024