Theorem bpoly1 15689

Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly1	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Proof of Theorem bpoly1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12179	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		bpolyval 15687	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
3	1, 2	mpan 686	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
4		exp1 13716	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) = 𝑋)
5		1m1e0 11975	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (0...(1 − 1)) = (0...0)
7	6	sumeq1i 15338	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))
8		0z 12260	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		bpoly0 15688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
10	9	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 2) = (1 / 2))
11	10	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 · (1 / 2)))
12		halfcn 12118	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
13	12	mulid2i 10911	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	11, 13	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 / 2))
15	14, 12	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ)
16		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = (1C0))
17		bcn0 13952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (1C0) = 1)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1C0) = 1
19	16, 18	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = 1)
20		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
21		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = (1 − 0))
22		1m0e1 12024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = 1)
24	23	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = (1 + 1))
25		df-2 11966	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	24, 25	eqtr4di 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = 2)
27	20, 26	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 2))
28	19, 27	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
29	28	fsum1 15387	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
30	8, 15, 29	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
31	30, 14	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
32	7, 31	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
33	4, 32	oveq12d 7273	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))) = (𝑋 − (1 / 2)))
34	3, 33	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  Ccbc 13944  Σcsu 15325   BernPoly cbp 15684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-bpoly 15685

This theorem is referenced by:  bpoly2  15695  bpoly3  15696  bpoly4  15697