MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly1 16087
Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly1 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Proof of Theorem bpoly1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12542 . . 3 1 ∈ ℕ0
2 bpolyval 16085 . . 3 ((1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 690 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
4 exp1 14108 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) = 𝑋)
5 1m1e0 12338 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
65oveq2i 7442 . . . . 5 (0...(1 − 1)) = (0...0)
76sumeq1i 15733 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))
8 0z 12624 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
9 bpoly0 16086 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
109oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 2) = (1 / 2))
1110oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 · (1 / 2)))
12 halfcn 12481 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℂ
1312mullidi 11266 . . . . . . . 8 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
1411, 13eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 / 2))
1514, 12eqeltrdi 2849 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ)
16 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = (1C0))
17 bcn0 14349 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℕ0 → (1C0) = 1)
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1C0) = 1
1916, 18eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = 1)
20 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
21 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = (1 − 0))
22 1m0e1 12387 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 0) = 1
2321, 22eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = 1)
2423oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = (1 + 1))
25 df-2 12329 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
2624, 25eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = 2)
2720, 26oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 2))
2819, 27oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
2928fsum1 15783 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
308, 15, 29sylancr 587 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
3130, 14eqtrd 2777 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
327, 31eqtrid 2789 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
334, 32oveq12d 7449 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))) = (𝑋 − (1 / 2)))
343, 33eqtrd 2777 1 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  cexp 14102  Ccbc 14341  Σcsu 15722   BernPoly cbp 16082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-bpoly 16083
This theorem is referenced by:  bpoly2  16093  bpoly3  16094  bpoly4  16095
  Copyright terms: Public domain W3C validator