Theorem bpoly1 16106

Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly1	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Proof of Theorem bpoly1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12521	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		bpolyval 16104	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
3	1, 2	mpan 702	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
4		exp1 14105	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) = 𝑋)
5		1m1e0 12314	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (0...(1 − 1)) = (0...0)
7	6	sumeq1i 15750	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))
8		0z 12603	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		bpoly0 16105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
10	9	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 2) = (1 / 2))
11	10	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 · (1 / 2)))
12		halfcn 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
13	12	mullidi 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	11, 13	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 / 2))
15	14, 12	eqeltrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ)
16		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = (1C0))
17		bcn0 14348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (1C0) = 1)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1C0) = 1
19	16, 18	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = 1)
20		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
21		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = (1 − 0))
22		1m0e1 12361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = 1)
24	23	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = (1 + 1))
25		df-2 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	24, 25	eqtr4di 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = 2)
27	20, 26	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 2))
28	19, 27	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
29	28	fsum1 15800	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
30	8, 15, 29	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
31	30, 14	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
32	7, 31	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
33	4, 32	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))) = (𝑋 − (1 / 2)))
34	3, 33	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442   / cdiv 11872  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ...cfz 13536  ↑cexp 14099  Ccbc 14340  Σcsu 15739   BernPoly cbp 16101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-bpoly 16102

This theorem is referenced by:  bpoly2  16112  bpoly3  16113  bpoly4  16114