MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly1 16084
Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly1 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Proof of Theorem bpoly1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12540 . . 3 1 ∈ ℕ0
2 bpolyval 16082 . . 3 ((1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 690 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
4 exp1 14105 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) = 𝑋)
5 1m1e0 12336 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
65oveq2i 7442 . . . . 5 (0...(1 − 1)) = (0...0)
76sumeq1i 15730 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))
8 0z 12622 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
9 bpoly0 16083 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
109oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 2) = (1 / 2))
1110oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 · (1 / 2)))
12 halfcn 12479 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℂ
1312mullidi 11264 . . . . . . . 8 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
1411, 13eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 / 2))
1514, 12eqeltrdi 2847 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ)
16 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = (1C0))
17 bcn0 14346 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℕ0 → (1C0) = 1)
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1C0) = 1
1916, 18eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = 1)
20 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
21 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = (1 − 0))
22 1m0e1 12385 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 0) = 1
2321, 22eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = 1)
2423oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = (1 + 1))
25 df-2 12327 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
2624, 25eqtr4di 2793 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = 2)
2720, 26oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 2))
2819, 27oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
2928fsum1 15780 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
308, 15, 29sylancr 587 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
3130, 14eqtrd 2775 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
327, 31eqtrid 2787 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
334, 32oveq12d 7449 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))) = (𝑋 − (1 / 2)))
343, 33eqtrd 2775 1 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cexp 14099  Ccbc 14338  Σcsu 15719   BernPoly cbp 16079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-bpoly 16080
This theorem is referenced by:  bpoly2  16090  bpoly3  16091  bpoly4  16092
  Copyright terms: Public domain W3C validator