Theorem bpoly1 15837

Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly1	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Proof of Theorem bpoly1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12328	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		bpolyval 15835	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
3	1, 2	mpan 687	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))))
4		exp1 13867	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) = 𝑋)
5		1m1e0 12124	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq2i 7327	. . . . 5 ⊢ (0...(1 − 1)) = (0...0)
7	6	sumeq1i 15486	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))
8		0z 12409	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		bpoly0 15836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
10	9	oveq1d 7331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 2) = (1 / 2))
11	10	oveq2d 7332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 · (1 / 2)))
12		halfcn 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
13	12	mulid2i 11059	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	11, 13	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) = (1 / 2))
15	14, 12	eqeltrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ)
16		oveq2 7324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = (1C0))
17		bcn0 14103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (1C0) = 1)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1C0) = 1
19	16, 18	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (1C𝑘) = 1)
20		oveq1 7323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
21		oveq2 7324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = (1 − 0))
22		1m0e1 12173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 − 𝑘) = 1)
24	23	oveq1d 7331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = (1 + 1))
25		df-2 12115	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	24, 25	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1 − 𝑘) + 1) = 2)
27	20, 26	oveq12d 7334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 2))
28	19, 27	oveq12d 7334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
29	28	fsum1 15535	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
30	8, 15, 29	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 2)))
31	30, 14	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
32	7, 31	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1))) = (1 / 2))
33	4, 32	oveq12d 7334	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑1) − Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))((1C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((1 − 𝑘) + 1)))) = (𝑋 − (1 / 2)))
34	3, 33	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7316  ℂcc 10948  0cc0 10950  1c1 10951   + caddc 10953   · cmul 10955   − cmin 11284   / cdiv 11711  2c2 12107  ℕ₀cn0 12312  ℤcz 12398  ...cfz 13318  ↑cexp 13861  Ccbc 14095  Σcsu 15473   BernPoly cbp 15832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-sup 9277  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-seq 13801  df-exp 13862  df-fac 14067  df-bc 14096  df-hash 14124  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-clim 15273  df-sum 15474  df-bpoly 15833

This theorem is referenced by:  bpoly2  15843  bpoly3  15844  bpoly4  15845