MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly1 15997
Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly1 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 BernPoly ๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))

Proof of Theorem bpoly1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12487 . . 3 1 โˆˆ โ„•0
2 bpolyval 15995 . . 3 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(1 โˆ’ 1))((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
31, 2mpan 687 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(1 โˆ’ 1))((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
4 exp1 14034 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹โ†‘1) = ๐‘‹)
5 1m1e0 12283 . . . . . 6 (1 โˆ’ 1) = 0
65oveq2i 7413 . . . . 5 (0...(1 โˆ’ 1)) = (0...0)
76sumeq1i 15646 . . . 4 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(1 โˆ’ 1))((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
8 0z 12568 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
9 bpoly0 15996 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 BernPoly ๐‘‹) = 1)
109oveq1d 7417 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((0 BernPoly ๐‘‹) / 2) = (1 / 2))
1110oveq2d 7418 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 2)) = (1 ยท (1 / 2)))
12 halfcn 12426 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
1312mullidi 11218 . . . . . . . 8 (1 ยท (1 / 2)) = (1 / 2)
1411, 13eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 2)) = (1 / 2))
1514, 12eqeltrdi 2833 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 2)) โˆˆ โ„‚)
16 oveq2 7410 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (1C๐‘˜) = (1C0))
17 bcn0 14271 . . . . . . . . . 10 (1 โˆˆ โ„•0 โ†’ (1C0) = 1)
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1C0) = 1
1916, 18eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (1C๐‘˜) = 1)
20 oveq1 7409 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (0 BernPoly ๐‘‹))
21 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘˜) = (1 โˆ’ 0))
22 1m0e1 12332 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆ’ 0) = 1
2321, 22eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘˜) = 1)
2423oveq1d 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = (1 + 1))
25 df-2 12274 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
2624, 25eqtr4di 2782 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = 2)
2720, 26oveq12d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((0 BernPoly ๐‘‹) / 2))
2819, 27oveq12d 7420 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 2)))
2928fsum1 15695 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 2)))
308, 15, 29sylancr 586 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 2)))
3130, 14eqtrd 2764 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 / 2))
327, 31eqtrid 2776 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(1 โˆ’ 1))((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 / 2))
334, 32oveq12d 7420 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹โ†‘1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(1 โˆ’ 1))((1C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((1 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
343, 33eqtrd 2764 1 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 BernPoly ๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  ...cfz 13485  โ†‘cexp 14028  Ccbc 14263  ฮฃcsu 15634   BernPoly cbp 15992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-bpoly 15993
This theorem is referenced by:  bpoly2  16003  bpoly3  16004  bpoly4  16005
  Copyright terms: Public domain W3C validator