Theorem signsvf1 34597

Description: In a single-letter word, which represents a constant polynomial, there is no change of sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signsvf1	⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑉‘⟨“𝐾”⟩) = 0)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐾   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑗   𝑇,𝑓   𝑗,𝐾

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cl 14641	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
2		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
4		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
5		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
6	2, 3, 4, 5	signsvvfval 34594	. . 3 ⊢ (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑉‘⟨“𝐾”⟩) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑉‘⟨“𝐾”⟩) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
8		s1len 14645	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
9	8	oveq2i 7443	. . . . 5 ⊢ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = (1..^1)
10		fzo0 13724	. . . . 5 ⊢ (1..^1) = ∅
11	9, 10	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = ∅
12	11	sumeq1i 15734	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
13		sum0 15758	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = 0
14	12, 13	eqtri 2764	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = 0
15	7, 14	eqtrdi 2792	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑉‘⟨“𝐾”⟩) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∅c0 4332  ifcif 4524  {cpr 4627  {ctp 4629  ⟨cop 4631   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   − cmin 11493  -cneg 11494  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  ♯chash 14370  Word cword 14553  ⟨“cs1 14634  sgncsgn 15126  Σcsu 15723  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298   Σ_g cgsu 17486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-word 14554  df-s1 14635  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724

This theorem is referenced by: (None)