Theorem sumeq2i 14894

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 3-Dec-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2i.1	⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2 14889	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
2		sumeq2i.1	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	1, 2	mprg 3119	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Σcsu 14881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-seq 13225  df-sum 14882

This theorem is referenced by:  sumeq12i  14895  sumfc  14904  sumss2  14921  isumclim3  14952  fsumcnv  14966  fsum0diag2  14976  binom11  15025  trirecip  15056  0.999...  15075  geoihalfsum  15076  mertenslem1  15078  esum  15272  efval2  15275  fprodefsum  15286  eirrlem  15395  prmrec  16092  ramcl  16199  dfitg  24058  cbvitg  24064  itgresr  24067  itg0  24068  itgz  24069  coemullem  24528  aaliou3  24628  pserdvlem2  24704  logtayl  24929  basellem2  25346  0sgm  25408  chp1  25431  prmorcht  25442  1sgm2ppw  25463  pclogsum  25478  finsumvtxdg2size  27020  eulerpartlemgs2  31260  breprexp  31526  breprexpnat  31527  dirkertrigeqlem3  41954  fourierdlem103  42063  sge0ltfirp  42251  sge0resplit  42257