MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumxp 15654
Description: Combine two sums into a single sum over the cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumxp.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
fsumxp.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumxp.3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fsumxp.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumxp (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝐷)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem fsumxp
StepHypRef Expression
1 fsumxp.1 . . 3 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
2 fsumxp.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 fsumxp.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
43adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
5 fsumxp.4 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
61, 2, 4, 5fsum2d 15653 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
7 iunxpconst 5703 . . 3 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
87sumeq1i 15580 . 2 Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝐷
96, 8eqtrdi 2792 1 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4585  cop 4591   ciun 4953   × cxp 5630  Fincfn 8880  cc 11046  Σcsu 15567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-inf2 9574  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-sup 9375  df-oi 9443  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-rp 12913  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-seq 13904  df-exp 13965  df-hash 14228  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-clim 15367  df-sum 15568
This theorem is referenced by:  fsumdvdsmul  26540  hgt750lemb  33160  etransclem46  44491
  Copyright terms: Public domain W3C validator