MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef4p 16150
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ef4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef4p (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef4p
StepHypRef Expression
1 ef4p.1 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
2 df-4 12332 . 2 4 = (3 + 1)
3 3nn0 12546 . 2 3 ∈ ℕ0
4 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 11214 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 addcl 11238 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
75, 6mpan 690 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
8 sqcl 14159 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
98halfcld 12513 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
107, 9addcld 11281 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11 df-3 12331 . . 3 3 = (2 + 1)
12 2nn0 12545 . . 3 2 ∈ ℕ0
13 df-2 12330 . . . 4 2 = (1 + 1)
14 1nn0 12544 . . . 4 1 ∈ ℕ0
155a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
16 1e0p1 12777 . . . . 5 1 = (0 + 1)
17 0nn0 12543 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
18 0cnd 11255 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
191efval2 16121 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
20 nn0uz 12921 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
2120sumeq1i 15734 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)
2219, 21eqtr2di 2793 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘) = (exp‘𝐴))
2322oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)) = (0 + (exp‘𝐴)))
24 efcl 16119 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2524addlidd 11463 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
2623, 25eqtr2d 2777 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)))
27 eft0val 16149 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
2827oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
29 0p1e1 12389 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = 1)
311, 16, 17, 4, 18, 26, 30efsep 16147 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑘)))
32 exp1 14109 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
33 fac1 14317 . . . . . . . 8 (!‘1) = 1
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (!‘1) = 1)
3532, 34oveq12d 7450 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = (𝐴 / 1))
36 div1 11958 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3735, 36eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
3837oveq2d 7448 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + ((𝐴↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝐴))
391, 13, 14, 4, 15, 31, 38efsep 16147 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((1 + 𝐴) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)(𝐹𝑘)))
40 fac2 14319 . . . . . 6 (!‘2) = 2
4140oveq2i 7443 . . . . 5 ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
4241oveq2i 7443 . . . 4 ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2))
4342a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
441, 11, 12, 4, 7, 39, 43efsep 16147 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘3)(𝐹𝑘)))
45 fac3 14320 . . . . 5 (!‘3) = 6
4645oveq2i 7443 . . . 4 ((𝐴↑3) / (!‘3)) = ((𝐴↑3) / 6)
4746oveq2i 7443 . . 3 (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6))
4847a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)))
491, 2, 3, 4, 10, 44, 48efsep 16147 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   / cdiv 11921  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  6c6 12326  0cn0 12528  cuz 12879  cexp 14103  !cfa 14313  Σcsu 15723  expce 16098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104
This theorem is referenced by:  efi4p  16174
  Copyright terms: Public domain W3C validator