Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef4p 15527
 Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ef4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef4p (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef4p
StepHypRef Expression
1 ef4p.1 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
2 df-4 11752 . 2 4 = (3 + 1)
3 3nn0 11965 . 2 3 ∈ ℕ0
4 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10646 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 addcl 10670 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
75, 6mpan 689 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
8 sqcl 13547 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
98halfcld 11932 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
107, 9addcld 10711 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11 df-3 11751 . . 3 3 = (2 + 1)
12 2nn0 11964 . . 3 2 ∈ ℕ0
13 df-2 11750 . . . 4 2 = (1 + 1)
14 1nn0 11963 . . . 4 1 ∈ ℕ0
155a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
16 1e0p1 12192 . . . . 5 1 = (0 + 1)
17 0nn0 11962 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
18 0cnd 10685 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
191efval2 15498 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
20 nn0uz 12333 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
2120sumeq1i 15116 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)
2219, 21eqtr2di 2810 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘) = (exp‘𝐴))
2322oveq2d 7172 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)) = (0 + (exp‘𝐴)))
24 efcl 15497 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2524addid2d 10892 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
2623, 25eqtr2d 2794 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)))
27 eft0val 15526 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
2827oveq2d 7172 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
29 0p1e1 11809 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtrdi 2809 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = 1)
311, 16, 17, 4, 18, 26, 30efsep 15524 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑘)))
32 exp1 13498 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
33 fac1 13700 . . . . . . . 8 (!‘1) = 1
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (!‘1) = 1)
3532, 34oveq12d 7174 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = (𝐴 / 1))
36 div1 11380 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3735, 36eqtrd 2793 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
3837oveq2d 7172 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + ((𝐴↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝐴))
391, 13, 14, 4, 15, 31, 38efsep 15524 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((1 + 𝐴) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)(𝐹𝑘)))
40 fac2 13702 . . . . . 6 (!‘2) = 2
4140oveq2i 7167 . . . . 5 ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
4241oveq2i 7167 . . . 4 ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2))
4342a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
441, 11, 12, 4, 7, 39, 43efsep 15524 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘3)(𝐹𝑘)))
45 fac3 13703 . . . . 5 (!‘3) = 6
4645oveq2i 7167 . . . 4 ((𝐴↑3) / (!‘3)) = ((𝐴↑3) / 6)
4746oveq2i 7167 . . 3 (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6))
4847a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)))
491, 2, 3, 4, 10, 44, 48efsep 15524 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5116  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   / cdiv 11348  2c2 11742  3c3 11743  4c4 11744  6c6 11746  ℕ0cn0 11947  ℤ≥cuz 12295  ↑cexp 13492  !cfa 13696  Σcsu 15103  expce 15476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-ico 12798  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482 This theorem is referenced by:  efi4p  15551
 Copyright terms: Public domain W3C validator