MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef4p 15459
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ef4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef4p (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef4p
StepHypRef Expression
1 ef4p.1 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
2 df-4 11694 . 2 4 = (3 + 1)
3 3nn0 11907 . 2 3 ∈ ℕ0
4 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10587 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 addcl 10611 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
75, 6mpan 686 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
8 sqcl 13477 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
98halfcld 11874 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
107, 9addcld 10652 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11 df-3 11693 . . 3 3 = (2 + 1)
12 2nn0 11906 . . 3 2 ∈ ℕ0
13 df-2 11692 . . . 4 2 = (1 + 1)
14 1nn0 11905 . . . 4 1 ∈ ℕ0
155a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
16 1e0p1 12132 . . . . 5 1 = (0 + 1)
17 0nn0 11904 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
18 0cnd 10626 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
191efval2 15430 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
20 nn0uz 12272 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
2120sumeq1i 15048 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)
2219, 21syl6req 2877 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘) = (exp‘𝐴))
2322oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)) = (0 + (exp‘𝐴)))
24 efcl 15429 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2524addid2d 10833 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
2623, 25eqtr2d 2861 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)))
27 eft0val 15458 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
2827oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
29 0p1e1 11751 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3028, 29syl6eq 2876 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = 1)
311, 16, 17, 4, 18, 26, 30efsep 15456 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑘)))
32 exp1 13428 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
33 fac1 13630 . . . . . . . 8 (!‘1) = 1
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (!‘1) = 1)
3532, 34oveq12d 7169 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = (𝐴 / 1))
36 div1 11321 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3735, 36eqtrd 2860 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
3837oveq2d 7167 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + ((𝐴↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝐴))
391, 13, 14, 4, 15, 31, 38efsep 15456 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((1 + 𝐴) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)(𝐹𝑘)))
40 fac2 13632 . . . . . 6 (!‘2) = 2
4140oveq2i 7162 . . . . 5 ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
4241oveq2i 7162 . . . 4 ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2))
4342a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
441, 11, 12, 4, 7, 39, 43efsep 15456 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘3)(𝐹𝑘)))
45 fac3 13633 . . . . 5 (!‘3) = 6
4645oveq2i 7162 . . . 4 ((𝐴↑3) / (!‘3)) = ((𝐴↑3) / 6)
4746oveq2i 7162 . . 3 (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6))
4847a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)))
491, 2, 3, 4, 10, 44, 48efsep 15456 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   / cdiv 11289  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  6c6 11688  0cn0 11889  cuz 12235  cexp 13422  !cfa 13626  Σcsu 15035  expce 15408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-ico 12737  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15414
This theorem is referenced by:  efi4p  15483
  Copyright terms: Public domain W3C validator