Theorem ef4p 15468

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef4p	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef4p.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2		df-4 11705	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
3		3nn0 11918	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 10597	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addcl 10621	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
7	5, 6	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
8		sqcl 13487	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
9	8	halfcld 11885	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
10	7, 9	addcld 10662	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11		df-3 11704	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
12		2nn0 11917	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		df-2 11703	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
14		1nn0 11916	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
16		1e0p1 12143	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
17		0nn0 11915	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18		0cnd 10636	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
19	1	efval2 15439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
20		nn0uz 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	20	sumeq1i 15057	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)
22	19, 21	syl6req 2875	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘) = (exp‘𝐴))
23	22	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝐴)))
24		efcl 15438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
25	24	addid2d 10843	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
26	23, 25	eqtr2d 2859	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)))
27		eft0val 15467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
28	27	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
29		0p1e1 11762	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	syl6eq 2874	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = 1)
31	1, 16, 17, 4, 18, 26, 30	efsep 15465	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑘)))
32		exp1 13438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
33		fac1 13640	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘1) = 1
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (!‘1) = 1)
35	32, 34	oveq12d 7176	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = (𝐴 / 1))
36		div1 11331	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
37	35, 36	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
38	37	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + ((𝐴↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝐴))
39	1, 13, 14, 4, 15, 31, 38	efsep 15465	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((1 + 𝐴) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)(𝐹‘𝑘)))
40		fac2 13642	. . . . . 6 ⊢ (!‘2) = 2
41	40	oveq2i 7169	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
42	41	oveq2i 7169	. . . 4 ⊢ ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2))
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
44	1, 11, 12, 4, 7, 39, 43	efsep 15465	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)(𝐹‘𝑘)))
45		fac3 13643	. . . . 5 ⊢ (!‘3) = 6
46	45	oveq2i 7169	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑3) / (!‘3)) = ((𝐴↑3) / 6)
47	46	oveq2i 7169	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6))
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)))
49	1, 2, 3, 4, 10, 44, 48	efsep 15465	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   / cdiv 11299  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  6c6 11699  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246  ↑cexp 13432  !cfa 13636  Σcsu 15044  expce 15417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423

This theorem is referenced by:  efi4p  15492