Theorem ef4p 15803

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef4p	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef4p.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2		df-4 12021	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
3		3nn0 12234	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 10913	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addcl 10937	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
7	5, 6	mpan 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
8		sqcl 13819	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
9	8	halfcld 12201	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
10	7, 9	addcld 10978	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11		df-3 12020	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
12		2nn0 12233	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		df-2 12019	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
14		1nn0 12232	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
16		1e0p1 12461	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
17		0nn0 12231	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18		0cnd 10952	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
19	1	efval2 15774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
20		nn0uz 12602	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	20	sumeq1i 15391	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)
22	19, 21	eqtr2di 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘) = (exp‘𝐴))
23	22	oveq2d 7284	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝐴)))
24		efcl 15773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
25	24	addid2d 11159	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
26	23, 25	eqtr2d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)))
27		eft0val 15802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
28	27	oveq2d 7284	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
29		0p1e1 12078	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = 1)
31	1, 16, 17, 4, 18, 26, 30	efsep 15800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑘)))
32		exp1 13769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
33		fac1 13972	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘1) = 1
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (!‘1) = 1)
35	32, 34	oveq12d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = (𝐴 / 1))
36		div1 11647	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
37	35, 36	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
38	37	oveq2d 7284	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + ((𝐴↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝐴))
39	1, 13, 14, 4, 15, 31, 38	efsep 15800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((1 + 𝐴) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)(𝐹‘𝑘)))
40		fac2 13974	. . . . . 6 ⊢ (!‘2) = 2
41	40	oveq2i 7279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
42	41	oveq2i 7279	. . . 4 ⊢ ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2))
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
44	1, 11, 12, 4, 7, 39, 43	efsep 15800	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)(𝐹‘𝑘)))
45		fac3 13975	. . . . 5 ⊢ (!‘3) = 6
46	45	oveq2i 7279	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑3) / (!‘3)) = ((𝐴↑3) / 6)
47	46	oveq2i 7279	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6))
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)))
49	1, 2, 3, 4, 10, 44, 48	efsep 15800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   / cdiv 11615  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  6c6 12015  ℕ₀cn0 12216  ℤ_≥cuz 12564  ↑cexp 13763  !cfa 13968  Σcsu 15378  expce 15752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-ico 13067  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-fac 13969  df-hash 14026  df-shft 14759  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-limsup 15161  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-ef 15758

This theorem is referenced by:  efi4p  15827