Theorem signsvf0 32459

Description: There is no change of sign in the empty word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signsvf0	⊢ (𝑉‘∅) = 0

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝑗   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 14170	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word ℝ
2		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
4		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
5		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
6	2, 3, 4, 5	signsvvfval 32457	. . 3 ⊢ (∅ ∈ Word ℝ → (𝑉‘∅) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑉‘∅) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
8		hash0 14010	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
9	8	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = (1..^0)
10		0le1 11428	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
11		1z 12280	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		0z 12260	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		fzon 13336	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅))
14	11, 12, 13	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅)
15	10, 14	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (1..^0) = ∅
16	9, 15	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = ∅
17	16	sumeq1i 15338	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
18		sum0 15361	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = 0
19	7, 17, 18	3eqtri 2770	1 ⊢ (𝑉‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∅c0 4253  ifcif 4456  {cpr 4560  {ctp 4562  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  sgncsgn 14725  Σcsu 15325  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888   Σ_g cgsu 17068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326

This theorem is referenced by: (None)