Theorem signsvf0 34585

Description: There is no change of sign in the empty word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signsvf0	⊢ (𝑉‘∅) = 0

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝑗   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 14441	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word ℝ
2		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
4		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
5		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
6	2, 3, 4, 5	signsvvfval 34583	. . 3 ⊢ (∅ ∈ Word ℝ → (𝑉‘∅) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑉‘∅) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
8		hash0 14269	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
9	8	oveq2i 7352	. . . 4 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = (1..^0)
10		0le1 11635	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
11		1z 12497	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		0z 12474	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		fzon 13575	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅)
15	10, 14	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (1..^0) = ∅
16	9, 15	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = ∅
17	16	sumeq1i 15599	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
18		sum0 15623	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = 0
19	7, 17, 18	3eqtri 2758	1 ⊢ (𝑉‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4278  ifcif 4470  {cpr 4573  {ctp 4575  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   ≤ cle 11142   − cmin 11339  -cneg 11340  ℤcz 12463  ...cfz 13402  ..^cfzo 13549  ♯chash 14232  Word cword 14415  sgncsgn 14988  Σcsu 15588  ndxcnx 17099  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156   Σ_g cgsu 17339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-word 14416  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-sum 15589

This theorem is referenced by: (None)