Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvf0 31877
 Description: There is no change of sign in the empty word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signsvf0 (𝑉‘∅) = 0
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝑗   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvf0
StepHypRef Expression
1 wrd0 13889 . . 3 ∅ ∈ Word ℝ
2 signsv.p . . . 4 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3 signsv.w . . . 4 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
4 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
5 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
62, 3, 4, 5signsvvfval 31875 . . 3 (∅ ∈ Word ℝ → (𝑉‘∅) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
71, 6ax-mp 5 . 2 (𝑉‘∅) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
8 hash0 13731 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
98oveq2i 7157 . . . 4 (1..^(♯‘∅)) = (1..^0)
10 0le1 11157 . . . . 5 0 ≤ 1
11 1z 12007 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
12 0z 11987 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
13 fzon 13060 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅))
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . 5 (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅)
1510, 14mpbi 233 . . . 4 (1..^0) = ∅
169, 15eqtri 2847 . . 3 (1..^(♯‘∅)) = ∅
1716sumeq1i 15053 . 2 Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
18 sum0 15076 . 2 Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = 0
197, 17, 183eqtri 2851 1 (𝑉‘∅) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∅c0 4276  ifcif 4450  {cpr 4552  {ctp 4554  ⟨cop 4556   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146   ∈ cmpo 7148  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   ≤ cle 10670   − cmin 10864  -cneg 10865  ℤcz 11976  ...cfz 12892  ..^cfzo 13035  ♯chash 13693  Word cword 13864  sgncsgn 14443  Σcsu 15040  ndxcnx 16478  Basecbs 16481  +gcplusg 16563   Σg cgsu 16712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-word 13865  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-sum 15041 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator