MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvply1 25349
Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvply1.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
dvply1.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
dvply1.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvply1.b 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
dvply1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dvply1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑘   𝑧,𝐴,𝑘   𝑧,𝐵   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dvply1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvply1.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
21oveq2d 7271 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
3 eqid 2738 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtopon 23852 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
54toponrestid 21978 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
6 cnelprrecn 10895 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
83cnfldtop 23853 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
9 unicntop 23855 . . . . 5 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
109topopn 21963 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
118, 10mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
12 fzfid 13621 . . 3 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
13 dvply1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
14 elfznn0 13278 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15 ffvelrn 6941 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1613, 14, 15syl2an 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1716adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
18 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1914ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2018, 19expcld 13792 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2117, 20mulcld 10926 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
22213impa 1108 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
23163adant3 1130 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
24 0cnd 10899 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
25 simpl2 1190 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
2625, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2726nn0cnd 12225 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
28 simpl3 1191 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
30 elnn0 12165 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3126, 30sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
32 orel2 887 . . . . . . . . 9 𝑘 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ))
3329, 31, 32sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
34 nnm1nn0 12204 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
3628, 35expcld 13792 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3727, 36mulcld 10926 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
3824, 37ifclda 4491 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
3923, 38mulcld 10926 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
406a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
41 c0ex 10900 . . . . . 6 0 ∈ V
42 ovex 7288 . . . . . 6 (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ V
4341, 42ifex 4506 . . . . 5 if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
4443a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
4514adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
46 dvexp2 25023 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
4840, 20, 44, 47, 16dvmptcmul 25033 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))))
495, 3, 7, 11, 12, 22, 39, 48dvmptfsum 25044 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))))
50 elfznn 13214 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
5150nnne0d 11953 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ≠ 0)
5251neneqd 2947 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ¬ 𝑘 = 0)
5352adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 = 0)
5453iffalsed 4467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))
5554oveq2d 7271 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = ((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))
5655sumeq2dv 15343 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))
57 1eluzge0 12561 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
58 fzss1 13224 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
5957, 58mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
6013adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6150nnnn0d 12223 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6260, 61, 15syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
6351adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≠ 0)
6463neneqd 2947 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 = 0)
6564iffalsed 4467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))
6661adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6766nn0cnd 12225 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
68 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑧 ∈ ℂ)
6950, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
7069adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
7168, 70expcld 13792 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7267, 71mulcld 10926 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
7365, 72eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
7462, 73mulcld 10926 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
75 eldifn 4058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1...𝑁))
76 0p1e1 12025 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
7776oveq1i 7265 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
7877eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (1...𝑁))
7975, 78sylnibr 328 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))
8079adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))
81 eldifi 4057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
8281adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
83 dvply1.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
84 nn0uz 12549 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
8583, 84eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
8685ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
87 elfzp12 13264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
8982, 88mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)))
90 orel2 887 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁) → ((𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)) → 𝑘 = 0))
9180, 89, 90sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑘 = 0)
9291iftrued 4464 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = 0)
9392oveq2d 7271 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = ((𝐴𝑘) · 0))
9460, 14, 15syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9594mul01d 11104 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
9681, 95sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
9793, 96eqtrd 2778 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = 0)
98 fzfid 13621 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
9959, 74, 97, 98fsumss 15365 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
100 elfznn0 13278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
102101nn0cnd 12225 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
103 ax-1cn 10860 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
104 pncan 11157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
105102, 103, 104sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
106105oveq2d 7271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑧𝑗))
107106oveq2d 7271 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑧𝑗)))
108107oveq2d 7271 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧𝑗))))
10913ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
110 peano2nn0 12203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
111100, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
112111adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
113109, 112ffvelrnd 6944 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
114112nn0cnd 12225 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
115 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑧 ∈ ℂ)
116115, 101expcld 13792 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑧𝑗) ∈ ℂ)
117113, 114, 116mulassd 10929 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) · (𝑧𝑗)) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧𝑗))))
118113, 114mulcomd 10927 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))))
119118oveq1d 7270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) · (𝑧𝑗)) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
120108, 117, 1193eqtr2d 2784 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
121120sumeq2dv 15343 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
122 1m1e0 11975 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
123122oveq1i 7265 . . . . . . . 8 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
124123sumeq1i 15338 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))))
125 oveq1 7262 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
126 fvoveq1 7278 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘(𝑘 + 1)) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
127125, 126oveq12d 7273 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))))
128 oveq2 7263 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝑗))
129127, 128oveq12d 7273 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
130129cbvsumv 15336 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗))
131121, 124, 1303eqtr4g 2804 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)))
132 1zzd 12281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
13383adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
134133nn0zd 12353 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13562, 72mulcld 10926 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
136 fveq2 6756 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
137 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
138 oveq1 7262 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 + 1) − 1))
139138oveq2d 7271 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) = (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))
140137, 139oveq12d 7273 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))))
141136, 140oveq12d 7273 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))))
142132, 132, 134, 135, 141fsumshftm 15421 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))))
143 elfznn0 13278 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
144143adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
145 ovex 7288 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ V
146 dvply1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
147146fvmpt2 6868 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ V) → (𝐵𝑘) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
148144, 145, 147sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑘) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
149148oveq1d 7270 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)))
150149sumeq2dv 15343 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)))
151131, 142, 1503eqtr4d 2788 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
15256, 99, 1513eqtr3d 2786 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
153152mpteq2dva 5170 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
154 dvply1.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
155153, 154eqtr4d 2781 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))) = 𝐺)
1562, 49, 1553eqtrd 2782 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2108  wne 2942  Vcvv 3422  cdif 3880  wss 3883  ifcif 4456  {cpr 4560  cmpt 5153  wf 6414  cfv 6418  (class class class)co 7255  cc 10800  cr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  cmin 11135  cn 11903  0cn0 12163  cuz 12511  ...cfz 13168  cexp 13710  Σcsu 15325  TopOpenctopn 17049  fldccnfld 20510  Topctop 21950   D cdv 24932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936
This theorem is referenced by:  dvply2g  25350
  Copyright terms: Public domain W3C validator