MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvply1 25444
Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvply1.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
dvply1.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
dvply1.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvply1.b 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
dvply1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dvply1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑘   𝑧,𝐴,𝑘   𝑧,𝐵   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dvply1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvply1.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
21oveq2d 7291 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
3 eqid 2738 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtopon 23946 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
54toponrestid 22070 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
6 cnelprrecn 10964 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
83cnfldtop 23947 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
9 unicntop 23949 . . . . 5 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
109topopn 22055 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
118, 10mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
12 fzfid 13693 . . 3 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
13 dvply1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
14 elfznn0 13349 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15 ffvelrn 6959 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1613, 14, 15syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1716adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
18 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1914ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2018, 19expcld 13864 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2117, 20mulcld 10995 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
22213impa 1109 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
23163adant3 1131 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
24 0cnd 10968 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
25 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
2625, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2726nn0cnd 12295 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
28 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
29 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
30 elnn0 12235 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3126, 30sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
32 orel2 888 . . . . . . . . 9 𝑘 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ))
3329, 31, 32sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
34 nnm1nn0 12274 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
3628, 35expcld 13864 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3727, 36mulcld 10995 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
3824, 37ifclda 4494 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
3923, 38mulcld 10995 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
406a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
41 c0ex 10969 . . . . . 6 0 ∈ V
42 ovex 7308 . . . . . 6 (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ V
4341, 42ifex 4509 . . . . 5 if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
4443a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
4514adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
46 dvexp2 25118 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
4840, 20, 44, 47, 16dvmptcmul 25128 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))))
495, 3, 7, 11, 12, 22, 39, 48dvmptfsum 25139 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))))
50 elfznn 13285 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
5150nnne0d 12023 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ≠ 0)
5251neneqd 2948 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ¬ 𝑘 = 0)
5352adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 = 0)
5453iffalsed 4470 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))
5554oveq2d 7291 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = ((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))
5655sumeq2dv 15415 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))
57 1eluzge0 12632 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
58 fzss1 13295 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
5957, 58mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
6013adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6150nnnn0d 12293 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6260, 61, 15syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
6351adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≠ 0)
6463neneqd 2948 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 = 0)
6564iffalsed 4470 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))
6661adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6766nn0cnd 12295 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
68 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑧 ∈ ℂ)
6950, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
7069adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
7168, 70expcld 13864 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7267, 71mulcld 10995 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
7365, 72eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
7462, 73mulcld 10995 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
75 eldifn 4062 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1...𝑁))
76 0p1e1 12095 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
7776oveq1i 7285 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
7877eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (1...𝑁))
7975, 78sylnibr 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))
8079adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))
81 eldifi 4061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
83 dvply1.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
84 nn0uz 12620 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
8583, 84eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
8685ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
87 elfzp12 13335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
8982, 88mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)))
90 orel2 888 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁) → ((𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)) → 𝑘 = 0))
9180, 89, 90sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑘 = 0)
9291iftrued 4467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = 0)
9392oveq2d 7291 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = ((𝐴𝑘) · 0))
9460, 14, 15syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9594mul01d 11174 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
9681, 95sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
9793, 96eqtrd 2778 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = 0)
98 fzfid 13693 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
9959, 74, 97, 98fsumss 15437 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
100 elfznn0 13349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
101100adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
102101nn0cnd 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
103 ax-1cn 10929 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
104 pncan 11227 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
105102, 103, 104sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
106105oveq2d 7291 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑧𝑗))
107106oveq2d 7291 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑧𝑗)))
108107oveq2d 7291 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧𝑗))))
10913ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
110 peano2nn0 12273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
111100, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
112111adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
113109, 112ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
114112nn0cnd 12295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
115 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑧 ∈ ℂ)
116115, 101expcld 13864 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑧𝑗) ∈ ℂ)
117113, 114, 116mulassd 10998 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) · (𝑧𝑗)) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧𝑗))))
118113, 114mulcomd 10996 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))))
119118oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) · (𝑧𝑗)) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
120108, 117, 1193eqtr2d 2784 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
121120sumeq2dv 15415 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
122 1m1e0 12045 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
123122oveq1i 7285 . . . . . . . 8 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
124123sumeq1i 15410 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))))
125 oveq1 7282 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
126 fvoveq1 7298 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘(𝑘 + 1)) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
127125, 126oveq12d 7293 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))))
128 oveq2 7283 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝑗))
129127, 128oveq12d 7293 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
130129cbvsumv 15408 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗))
131121, 124, 1303eqtr4g 2803 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)))
132 1zzd 12351 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
13383adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
134133nn0zd 12424 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13562, 72mulcld 10995 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
136 fveq2 6774 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
137 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
138 oveq1 7282 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 + 1) − 1))
139138oveq2d 7291 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) = (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))
140137, 139oveq12d 7293 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))))
141136, 140oveq12d 7293 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))))
142132, 132, 134, 135, 141fsumshftm 15493 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))))
143 elfznn0 13349 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
144143adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
145 ovex 7308 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ V
146 dvply1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
147146fvmpt2 6886 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ V) → (𝐵𝑘) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
148144, 145, 147sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑘) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
149148oveq1d 7290 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)))
150149sumeq2dv 15415 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)))
151131, 142, 1503eqtr4d 2788 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
15256, 99, 1513eqtr3d 2786 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
153152mpteq2dva 5174 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
154 dvply1.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
155153, 154eqtr4d 2781 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))) = 𝐺)
1562, 49, 1553eqtrd 2782 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3432  cdif 3884  wss 3887  ifcif 4459  {cpr 4563  cmpt 5157  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cmin 11205  cn 11973  0cn0 12233  cuz 12582  ...cfz 13239  cexp 13782  Σcsu 15397  TopOpenctopn 17132  fldccnfld 20597  Topctop 22042   D cdv 25027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031
This theorem is referenced by:  dvply2g  25445
  Copyright terms: Public domain W3C validator