MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvply1 25797
Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvply1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
dvply1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
dvply1.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
dvply1.b 𝐡 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))))
dvply1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
dvply1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑧,π‘˜   𝑧,𝐴,π‘˜   𝑧,𝐡   π‘˜,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐹(𝑧,π‘˜)   𝐺(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem dvply1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvply1.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
21oveq2d 7425 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))))
3 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
43cnfldtopon 24299 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
54toponrestid 22423 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
6 cnelprrecn 11203 . . . 4 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
83cnfldtop 24300 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
9 unicntop 24302 . . . . 5 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
109topopn 22408 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ β„‚ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
118, 10mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
12 fzfid 13938 . . 3 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
13 dvply1.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
14 elfznn0 13594 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
15 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1613, 14, 15syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1716adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
18 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
1914ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2018, 19expcld 14111 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2117, 20mulcld 11234 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
22213impa 1111 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
23163adant3 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
24 0cnd 11207 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ = 0) β†’ 0 ∈ β„‚)
25 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
2625, 14syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2726nn0cnd 12534 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
28 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
29 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
30 elnn0 12474 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
3126, 30sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
32 orel2 890 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ ∈ β„•))
3329, 31, 32sylc 65 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
34 nnm1nn0 12513 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3628, 35expcld 14111 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
3727, 36mulcld 11234 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
3824, 37ifclda 4564 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
3923, 38mulcld 11234 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) ∈ β„‚)
406a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
41 c0ex 11208 . . . . . 6 0 ∈ V
42 ovex 7442 . . . . . 6 (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ V
4341, 42ifex 4579 . . . . 5 if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V
4443a1i 11 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V)
4514adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
46 dvexp2 25471 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
4840, 20, 44, 47, 16dvmptcmul 25481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))))
495, 3, 7, 11, 12, 22, 39, 48dvmptfsum 25492 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))))
50 elfznn 13530 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5150nnne0d 12262 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ β‰  0)
5251neneqd 2946 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
5352adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
5453iffalsed 4540 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
5554oveq2d 7425 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
5655sumeq2dv 15649 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
57 1eluzge0 12876 . . . . . . 7 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
58 fzss1 13540 . . . . . . 7 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (1...𝑁) βŠ† (0...𝑁))
5957, 58mp1i 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (1...𝑁) βŠ† (0...𝑁))
6013adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
6150nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
6260, 61, 15syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6351adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ β‰  0)
6463neneqd 2946 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
6564iffalsed 4540 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
6661adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
6766nn0cnd 12534 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
68 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
6950, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7069adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7168, 70expcld 14111 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
7267, 71mulcld 11234 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
7365, 72eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
7462, 73mulcld 11234 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) ∈ β„‚)
75 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
76 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
7776oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
7877eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁) ↔ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
7975, 78sylnibr 329 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁))
8079adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁))
81 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
8281adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
83 dvply1.n . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
84 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . . 14 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8583, 84eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
87 elfzp12 13580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ (π‘˜ = 0 ∨ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ (π‘˜ = 0 ∨ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
8982, 88mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ (π‘˜ = 0 ∨ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁)))
90 orel2 890 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁) β†’ ((π‘˜ = 0 ∨ π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁)) β†’ π‘˜ = 0))
9180, 89, 90sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ π‘˜ = 0)
9291iftrued 4537 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = 0)
9392oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0))
9460, 14, 15syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9594mul01d 11413 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
9681, 95sylan2 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
9793, 96eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑁) βˆ– (1...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = 0)
98 fzfid 13938 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
9959, 74, 97, 98fsumss 15671 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
100 elfznn0 13594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
101100adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
102101nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
103 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
104 pncan 11466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑗 + 1) βˆ’ 1) = 𝑗)
105102, 103, 104sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑗 + 1) βˆ’ 1) = 𝑗)
106105oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)) = (𝑧↑𝑗))
107106oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1))) = ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑𝑗)))
108107oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))) = ((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑𝑗))))
10913ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
110 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
111100, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
112111adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
113109, 112ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π΄β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
114112nn0cnd 12534 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„‚)
115 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
116115, 101expcld 14111 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑧↑𝑗) ∈ β„‚)
117113, 114, 116mulassd 11237 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· (𝑗 + 1)) Β· (𝑧↑𝑗)) = ((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑𝑗))))
118113, 114mulcomd 11235 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) Β· (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
119118oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· (𝑗 + 1)) Β· (𝑧↑𝑗)) = (((𝑗 + 1) Β· (π΄β€˜(𝑗 + 1))) Β· (𝑧↑𝑗)))
120108, 117, 1193eqtr2d 2779 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))) = (((𝑗 + 1) Β· (π΄β€˜(𝑗 + 1))) Β· (𝑧↑𝑗)))
121120sumeq2dv 15649 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(((𝑗 + 1) Β· (π΄β€˜(𝑗 + 1))) Β· (𝑧↑𝑗)))
122 1m1e0 12284 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 1) = 0
123122oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((1 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1)) = (0...(𝑁 βˆ’ 1))
124123sumeq1i 15644 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ((1 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1))))
125 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ + 1) = (𝑗 + 1))
126 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜(π‘˜ + 1)) = (π΄β€˜(𝑗 + 1)))
127125, 126oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) = ((𝑗 + 1) Β· (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
128 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (𝑧↑𝑗))
129127, 128oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((𝑗 + 1) Β· (π΄β€˜(𝑗 + 1))) Β· (𝑧↑𝑗)))
130129cbvsumv 15642 . . . . . . 7 Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(((𝑗 + 1) Β· (π΄β€˜(𝑗 + 1))) Β· (𝑧↑𝑗))
131121, 124, 1303eqtr4g 2798 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑗 ∈ ((1 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
132 1zzd 12593 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„€)
13383adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
134133nn0zd 12584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
13562, 72mulcld 11234 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
136 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜(𝑗 + 1)))
137 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ π‘˜ = (𝑗 + 1))
138 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = ((𝑗 + 1) βˆ’ 1))
139138oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))
140137, 139oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1))))
141136, 140oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = ((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))))
142132, 132, 134, 135, 141fsumshftm 15727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))((π΄β€˜(𝑗 + 1)) Β· ((𝑗 + 1) Β· (𝑧↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))))
143 elfznn0 13594 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
144143adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
145 ovex 7442 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ V
146 dvply1.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))))
147146fvmpt2 7010 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ ((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ V) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))))
148144, 145, 147sylancl 587 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))))
149148oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
150149sumeq2dv 15649 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))(((π‘˜ + 1) Β· (π΄β€˜(π‘˜ + 1))) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
151131, 142, 1503eqtr4d 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
15256, 99, 1513eqtr3d 2781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
153152mpteq2dva 5249 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
154 dvply1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
155153, 154eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑧↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))) = 𝐺)
1562, 49, 1553eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvply2g  25798
  Copyright terms: Public domain W3C validator