MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sgmprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sgmprm 25781
Description: The sum of divisors for a prime is 𝑃 + 1 because the only divisors are 1 and 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1sgmprm (𝑃 ∈ ℙ → (1 σ 𝑃) = (𝑃 + 1))

Proof of Theorem 1sgmprm
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10589 . . 3 1 ∈ ℂ
2 1nn0 11908 . . 3 1 ∈ ℕ0
3 sgmppw 25779 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (1 σ (𝑃↑1)) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑃𝑐1)↑𝑘))
41, 2, 3mp3an13 1449 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (1 σ (𝑃↑1)) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑃𝑐1)↑𝑘))
5 prmnn 16014 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
65nncnd 11648 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
76exp1d 13508 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑1) = 𝑃)
87oveq2d 7162 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (1 σ (𝑃↑1)) = (1 σ 𝑃))
96adantr 484 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (0...1)) → 𝑃 ∈ ℂ)
109cxp1d 25295 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (0...1)) → (𝑃𝑐1) = 𝑃)
1110oveq1d 7161 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (0...1)) → ((𝑃𝑐1)↑𝑘) = (𝑃𝑘))
1211sumeq2dv 15058 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑃𝑐1)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...1)(𝑃𝑘))
13 1m1e0 11704 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
1413oveq2i 7157 . . . . . . 7 (0...(1 − 1)) = (0...0)
1514sumeq1i 15053 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))(𝑃𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑃𝑘)
16 0z 11987 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
176exp0d 13507 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
1817, 1eqeltrdi 2924 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) ∈ ℂ)
19 oveq2 7154 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃↑0))
2019fsum1 15100 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑0) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑃𝑘) = (𝑃↑0))
2116, 18, 20sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑃𝑘) = (𝑃↑0))
2221, 17eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝑃𝑘) = 1)
2315, 22syl5eq 2871 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))(𝑃𝑘) = 1)
2423, 7oveq12d 7164 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))(𝑃𝑘) + (𝑃↑1)) = (1 + 𝑃))
252a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℕ0)
26 nn0uz 12275 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
2725, 26eleqtrdi 2926 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ (ℤ‘0))
28 elfznn0 13002 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29 expcl 13450 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℂ)
306, 28, 29syl2an 598 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (0...1)) → (𝑃𝑘) ∈ ℂ)
31 oveq2 7154 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃↑1))
3227, 30, 31fsumm1 15104 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ (0...1)(𝑃𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(1 − 1))(𝑃𝑘) + (𝑃↑1)))
33 addcom 10820 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 + 1) = (1 + 𝑃))
346, 1, 33sylancl 589 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 + 1) = (1 + 𝑃))
3524, 32, 343eqtr4d 2869 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ (0...1)(𝑃𝑘) = (𝑃 + 1))
3612, 35eqtrd 2859 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑃𝑐1)↑𝑘) = (𝑃 + 1))
374, 8, 363eqtr3d 2867 1 (𝑃 ∈ ℙ → (1 σ 𝑃) = (𝑃 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  cmin 10864  0cn0 11892  cz 11976  cuz 12238  ...cfz 12892  cexp 13432  Σcsu 15040  cprime 16011  𝑐ccxp 25145   σ csgm 25679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14424  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-limsup 14826  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041  df-ef 15419  df-sin 15421  df-cos 15422  df-pi 15424  df-dvds 15606  df-gcd 15840  df-prm 16012  df-pc 16170  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-rest 16694  df-topn 16695  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-topgen 16715  df-pt 16716  df-prds 16719  df-xrs 16773  df-qtop 16778  df-imas 16779  df-xps 16781  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-mulg 18223  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-fbas 20537  df-fg 20538  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146  df-cxp 25147  df-sgm 25685
This theorem is referenced by:  perfect1  25810
  Copyright terms: Public domain W3C validator