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Theorem dirkertrigeqlem1 42559
Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem1 (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7138 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
21oveq2d 7146 . . . 4 (𝑥 = 1 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 1)))
32sumeq1d 15037 . . 3 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)))
43eqeq1d 2823 . 2 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
5 oveq2 7138 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
65oveq2d 7146 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝑦)))
76sumeq1d 15037 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)))
87eqeq1d 2823 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
9 oveq2 7138 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
109oveq2d 7146 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · (𝑦 + 1))))
1110sumeq1d 15037 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)))
1211eqeq1d 2823 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
13 oveq2 7138 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾))
1413oveq2d 7146 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝐾)))
1514sumeq1d 15037 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)))
1615eqeq1d 2823 . 2 (𝑥 = 𝐾 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
17 ax-1cn 10572 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
18172timesi 11753 . . . . 5 (2 · 1) = (1 + 1)
1918oveq2i 7141 . . . 4 (1...(2 · 1)) = (1...(1 + 1))
2019sumeq1i 15034 . . 3 Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π))
21 1z 11990 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
22 uzid 12236 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (ℤ‘1))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘1)
2423a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ (ℤ‘1))
25 elfzelz 12891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2625zcnd 12066 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
2726adantl 485 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
28 picn 25031 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → π ∈ ℂ)
3027, 29mulcld 10638 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
3130coscld 15463 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
32 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = (1 + 1))
33 1p1e2 11740 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3432, 33syl6eq 2872 . . . . . . 7 (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = 2)
3534fvoveq1d 7152 . . . . . 6 (𝑛 = (1 + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(2 · π)))
3624, 31, 35fsump1 15090 . . . . 5 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))))
3736mptru 1545 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π)))
38 coscl 15459 . . . . . . . 8 (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
3928, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 (cos‘π) ∈ ℂ
40 oveq1 7137 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = (1 · π))
4128mulid2i 10623 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4240, 41syl6eq 2872 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = π)
4342fveq2d 6647 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
4443fsum1 15081 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
4521, 39, 44mp2an 691 . . . . . 6 Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π)
46 cospi 25044 . . . . . 6 (cos‘π) = -1
4745, 46eqtri 2844 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = -1
48 cos2pi 25048 . . . . 5 (cos‘(2 · π)) = 1
4947, 48oveq12i 7142 . . . 4 𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))) = (-1 + 1)
50 neg1cn 11729 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
51 1pneg1e0 11734 . . . . 5 (1 + -1) = 0
5217, 50, 51addcomli 10809 . . . 4 (-1 + 1) = 0
5337, 49, 523eqtri 2848 . . 3 Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
5420, 53eqtri 2844 . 2 Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
5518oveq2i 7141 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑦) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1))
56 2cnd 11693 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
57 nncn 11623 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
5956, 57, 58adddid 10642 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
6056, 57mulcld 10638 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
6160, 58, 58addassd 10640 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
6255, 59, 613eqtr4a 2882 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = (((2 · 𝑦) + 1) + 1))
6362oveq2d 7146 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → (1...(2 · (𝑦 + 1))) = (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
6463sumeq1d 15037 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
6564adantr 484 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
66 1red 10619 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
67 2re 11689 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
69 nnre 11622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7068, 69remulcld 10648 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
7170, 66readdcld 10647 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
72 2rp 12372 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
74 nnrp 12378 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
7573, 74rpmulcld 12425 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
7666, 75ltaddrp2d 12443 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑦) + 1))
7766, 71, 76ltled 10765 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1))
78 2z 11992 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
7978a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
80 nnz 11982 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
8179, 80zmulcld 12071 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
8281peano2zd 12068 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
83 eluz 12235 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
8421, 82, 83sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
8577, 84mpbird 260 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘1))
86 elfzelz 12891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
8786zcnd 12066 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
8828a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → π ∈ ℂ)
8987, 88mulcld 10638 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
9089coscld 15463 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
9190adantl 485 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
92 fvoveq1 7153 . . . . . 6 (𝑛 = (((2 · 𝑦) + 1) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)))
9385, 91, 92fsump1 15090 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
9493adantr 484 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
95 1lt2 11786 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
9695a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
97 2t1e2 11778 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 1) = 2
98 nnge1 11643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
9966, 69, 73lemul2d 12453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦)))
10098, 99mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦))
10197, 100eqbrtrrid 5075 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑦))
10266, 68, 70, 96, 101ltletrd 10777 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑦))
10366, 70, 102ltled 10765 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ (2 · 𝑦))
104 eluz 12235 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
10521, 81, 104sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
106103, 105mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ (ℤ‘1))
107 elfzelz 12891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
108107zcnd 12066 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
10928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → π ∈ ℂ)
110108, 109mulcld 10638 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
111110coscld 15463 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
112111adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
113 fvoveq1 7153 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((2 · 𝑦) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)))
114106, 112, 113fsump1 15090 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))))
11533, 97eqtr4i 2847 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = (2 · 1)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (1 + 1) = (2 · 1))
117116oveq2d 7146 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
118117, 61, 593eqtr4d 2866 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
119118fvoveq1d 7152 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)))
12057, 58addcld 10637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
12128a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
12256, 120, 121mulassd 10641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) = (2 · ((𝑦 + 1) · π)))
123122oveq1d 7145 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)))
124120, 121mulcld 10638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · π) ∈ ℂ)
125 0re 10620 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
126 pipos 25032 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < π
127125, 126gtneii 10729 . . . . . . . . . . . . 13 π ≠ 0
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → π ≠ 0)
12973rpne0d 12414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
130124, 121, 56, 128, 129divcan5d 11419 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)) = (((𝑦 + 1) · π) / π))
131120, 121, 128divcan4d 11399 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 + 1) · π) / π) = (𝑦 + 1))
132123, 130, 1313eqtrd 2860 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = (𝑦 + 1))
13380peano2zd 12068 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
134132, 133eqeltrd 2912 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ)
135 peano2cn 10789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
13657, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
13756, 136mulcld 10638 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
138137, 121mulcld 10638 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ)
139 coseq1 25096 . . . . . . . . . 10 (((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
141134, 140mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1)
142119, 141eqtrd 2856 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = 1)
143114, 142oveq12d 7148 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
144143adantr 484 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
145 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
14660, 58, 121adddird 10643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)))
14760, 121mulcld 10638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) ∈ ℂ)
14841, 121eqeltrid 2916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) ∈ ℂ)
149147, 148addcomd 10819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)) = ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)))
15041a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) = π)
15156, 57mulcomd 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) = (𝑦 · 2))
152151oveq1d 7145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = ((𝑦 · 2) · π))
15357, 56, 121mulassd 10641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
154152, 153eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
155150, 154oveq12d 7148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
156146, 149, 1553eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
157156fveq2d 6647 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))))
158 cosper 25054 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
15928, 80, 158sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
16046a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘π) = -1)
161157, 159, 1603eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
162161adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
163145, 162oveq12d 7148 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) = (0 + -1))
164163oveq1d 7145 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = ((0 + -1) + 1))
16550addid2i 10805 . . . . . . . 8 (0 + -1) = -1
166165oveq1i 7140 . . . . . . 7 ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
167166, 52eqtri 2844 . . . . . 6 ((0 + -1) + 1) = 0
168164, 167syl6eq 2872 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = 0)
169144, 168eqtrd 2856 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = 0)
17065, 94, 1693eqtrd 2860 . . 3 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
171170ex 416 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
1724, 8, 12, 16, 54, 171nnind 11633 1 (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519   < clt 10652  cle 10653  -cneg 10848   / cdiv 11274  cn 11615  2c2 11670  cz 11959  cuz 12221  +crp 12367  ...cfz 12875  Σcsu 15021  cosccos 15397  πcpi 15399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ioc 12721  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-fac 13618  df-bc 13647  df-hash 13675  df-shft 14405  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-limsup 14807  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-ef 15400  df-sin 15402  df-cos 15403  df-pi 15405  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449
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