Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkertrigeqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkertrigeqlem1 45114
Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem1 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐พ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘›,๐พ

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท 1))
21oveq2d 7429 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...(2 ยท ๐‘ฅ)) = (1...(2 ยท 1)))
32sumeq1d 15653 . . 3 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
43eqeq1d 2732 . 2 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
5 oveq2 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท ๐‘ฆ))
65oveq2d 7429 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1...(2 ยท ๐‘ฅ)) = (1...(2 ยท ๐‘ฆ)))
76sumeq1d 15653 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
87eqeq1d 2732 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
9 oveq2 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท (๐‘ฆ + 1)))
109oveq2d 7429 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (1...(2 ยท ๐‘ฅ)) = (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1))))
1110sumeq1d 15653 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
1211eqeq1d 2732 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
13 oveq2 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท ๐พ))
1413oveq2d 7429 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (1...(2 ยท ๐‘ฅ)) = (1...(2 ยท ๐พ)))
1514sumeq1d 15653 . . 3 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐พ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
1615eqeq1d 2732 . 2 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐พ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
17 ax-1cn 11172 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
18172timesi 12356 . . . . 5 (2 ยท 1) = (1 + 1)
1918oveq2i 7424 . . . 4 (1...(2 ยท 1)) = (1...(1 + 1))
2019sumeq1i 15650 . . 3 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€))
21 1z 12598 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
22 uzid 12843 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2423a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
25 elfzelz 13507 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2625zcnd 12673 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2726adantl 480 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
28 picn 26203 . . . . . . . . 9 ฯ€ โˆˆ โ„‚
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
3027, 29mulcld 11240 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))) โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
3130coscld 16080 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
32 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘› = (1 + 1) โ†’ ๐‘› = (1 + 1))
33 1p1e2 12343 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3432, 33eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (๐‘› = (1 + 1) โ†’ ๐‘› = 2)
3534fvoveq1d 7435 . . . . . 6 (๐‘› = (1 + 1) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜(2 ยท ฯ€)))
3624, 31, 35fsump1 15708 . . . . 5 (โŠค โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(2 ยท ฯ€))))
3736mptru 1546 . . . 4 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(2 ยท ฯ€)))
38 coscl 16076 . . . . . . . 8 (ฯ€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜ฯ€) โˆˆ โ„‚)
3928, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 (cosโ€˜ฯ€) โˆˆ โ„‚
40 oveq1 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) = (1 ยท ฯ€))
4128mullidi 11225 . . . . . . . . . 10 (1 ยท ฯ€) = ฯ€
4240, 41eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) = ฯ€)
4342fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜ฯ€))
4443fsum1 15699 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (cosโ€˜ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜ฯ€))
4521, 39, 44mp2an 688 . . . . . 6 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜ฯ€)
46 cospi 26216 . . . . . 6 (cosโ€˜ฯ€) = -1
4745, 46eqtri 2758 . . . . 5 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = -1
48 cos2pi 26220 . . . . 5 (cosโ€˜(2 ยท ฯ€)) = 1
4947, 48oveq12i 7425 . . . 4 (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(2 ยท ฯ€))) = (-1 + 1)
50 neg1cn 12332 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„‚
51 1pneg1e0 12337 . . . . 5 (1 + -1) = 0
5217, 50, 51addcomli 11412 . . . 4 (-1 + 1) = 0
5337, 49, 523eqtri 2762 . . 3 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0
5420, 53eqtri 2758 . 2 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0
5518oveq2i 7424 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘ฆ) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + (1 + 1))
56 2cnd 12296 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
57 nncn 12226 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
5817a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5956, 57, 58adddid 11244 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + (2 ยท 1)))
6056, 57mulcld 11240 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
6160, 58, 58addassd 11242 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + (1 + 1)))
6255, 59, 613eqtr4a 2796 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ + 1)) = (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))
6362oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1))) = (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)))
6463sumeq1d 15653 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
6564adantr 479 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
66 1red 11221 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
67 2re 12292 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
69 nnre 12225 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
7068, 69remulcld 11250 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
7170, 66readdcld 11249 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ โ„)
72 2rp 12985 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
74 nnrp 12991 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
7573, 74rpmulcld 13038 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
7666, 75ltaddrp2d 13056 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
7766, 71, 76ltled 11368 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
78 2z 12600 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
7978a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
80 nnz 12585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
8179, 80zmulcld 12678 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8281peano2zd 12675 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ โ„ค)
83 eluz 12842 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” 1 โ‰ค ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)))
8421, 82, 83sylancr 585 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” 1 โ‰ค ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)))
8577, 84mpbird 256 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
86 elfzelz 13507 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
8786zcnd 12673 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
8828a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
8987, 88mulcld 11240 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
9089coscld 16080 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
9190adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
92 fvoveq1 7436 . . . . . 6 (๐‘› = (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€)))
9385, 91, 92fsump1 15708 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))))
9493adantr 479 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))))
95 1lt2 12389 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
9695a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < 2)
97 2t1e2 12381 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 1) = 2
98 nnge1 12246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
9966, 69, 73lemul2d 13066 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ)))
10098, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ))
10197, 100eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ))
10266, 68, 70, 96, 101ltletrd 11380 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < (2 ยท ๐‘ฆ))
10366, 70, 102ltled 11368 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ))
104 eluz 12842 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ)))
10521, 81, 104sylancr 585 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ)))
106103, 105mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
107 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
108107zcnd 12673 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
10928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
110108, 109mulcld 11240 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
111110coscld 16080 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
112111adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
113 fvoveq1 7436 . . . . . . . 8 (๐‘› = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€)))
114106, 112, 113fsump1 15708 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))))
11533, 97eqtr4i 2761 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = (2 ยท 1)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + 1) = (2 ยท 1))
117116oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + (1 + 1)) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + (2 ยท 1)))
118117, 61, 593eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) = (2 ยท (๐‘ฆ + 1)))
119118fvoveq1d 7435 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€)) = (cosโ€˜((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€)))
12057, 58addcld 11239 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„‚)
12128a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
12256, 120, 121mulassd 11243 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) = (2 ยท ((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€)))
123122oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) = ((2 ยท ((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€)) / (2 ยท ฯ€)))
124120, 121mulcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
125 0re 11222 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„
126 pipos 26204 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < ฯ€
127125, 126gtneii 11332 . . . . . . . . . . . . 13 ฯ€ โ‰  0
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฯ€ โ‰  0)
12973rpne0d 13027 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
130124, 121, 56, 128, 129divcan5d 12022 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€)) / (2 ยท ฯ€)) = (((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€) / ฯ€))
131120, 121, 128divcan4d 12002 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€) / ฯ€) = (๐‘ฆ + 1))
132123, 130, 1313eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) = (๐‘ฆ + 1))
13380peano2zd 12675 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„ค)
134132, 133eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
135 peano2cn 11392 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„‚)
13657, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„‚)
13756, 136mulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„‚)
138137, 121mulcld 11240 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
139 coseq1 26268 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((cosโ€˜((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€)) = 1 โ†” (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((cosโ€˜((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€)) = 1 โ†” (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค))
141134, 140mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€)) = 1)
142119, 141eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€)) = 1)
143114, 142oveq12d 7431 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) + 1))
144143adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) + 1))
145 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0)
14660, 58, 121adddird 11245 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€) = (((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) + (1 ยท ฯ€)))
14760, 121mulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
14841, 121eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
149147, 148addcomd 11422 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) + (1 ยท ฯ€)) = ((1 ยท ฯ€) + ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€)))
15041a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ฯ€) = ฯ€)
15156, 57mulcomd 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 2))
152151oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) = ((๐‘ฆ ยท 2) ยท ฯ€))
15357, 56, 121mulassd 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) ยท ฯ€) = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))
154152, 153eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))
155150, 154oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 ยท ฯ€) + ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€)) = (ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€))))
156146, 149, 1553eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€) = (ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€))))
157156fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€)) = (cosโ€˜(ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))))
158 cosper 26226 . . . . . . . . . . 11 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜ฯ€))
15928, 80, 158sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜(ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜ฯ€))
16046a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜ฯ€) = -1)
161157, 159, 1603eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€)) = -1)
162161adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€)) = -1)
163145, 162oveq12d 7431 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) = (0 + -1))
164163oveq1d 7428 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) + 1) = ((0 + -1) + 1))
16550addlidi 11408 . . . . . . . 8 (0 + -1) = -1
166165oveq1i 7423 . . . . . . 7 ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
167166, 52eqtri 2758 . . . . . 6 ((0 + -1) + 1) = 0
168164, 167eqtrdi 2786 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) + 1) = 0)
169144, 168eqtrd 2770 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))) = 0)
17065, 94, 1693eqtrd 2774 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0)
171170ex 411 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
1724, 8, 12, 16, 54, 171nnind 12236 1 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐พ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539  โŠคwtru 1540   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11254   โ‰ค cle 11255  -cneg 11451   / cdiv 11877  โ„•cn 12218  2c2 12273  โ„คcz 12564  โ„คโ‰ฅcuz 12828  โ„+crp 12980  ...cfz 13490  ฮฃcsu 15638  cosccos 16014  ฯ€cpi 16016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  45116
  Copyright terms: Public domain W3C validator