Theorem dirkertrigeqlem1 46142

Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem1	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)

Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
2	1	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 1)))
3	2	sumeq1d 15607	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)))
4	3	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
5		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
6	5	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝑦)))
7	6	sumeq1d 15607	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)))
8	7	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
9		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
10	9	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · (𝑦 + 1))))
11	10	sumeq1d 15607	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)))
12	11	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
13		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾))
14	13	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝐾)))
15	14	sumeq1d 15607	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)))
16	15	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
17		ax-1cn 11064	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	2timesi 12258	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
19	18	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ (1...(2 · 1)) = (1...(1 + 1))
20	19	sumeq1i 15604	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π))
21		1z 12502	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		uzid 12747	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (ℤ≥‘1))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘1)
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℤ≥‘1))
25		elfzelz 13424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
28		picn 26395	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → π ∈ ℂ)
30	27, 29	mulcld 11132	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
31	30	coscld 16040	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
32		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = (1 + 1))
33		1p1e2 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
34	32, 33	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = 2)
35	34	fvoveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(2 · π)))
36	24, 31, 35	fsump1 15663	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))))
37	36	mptru 1548	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π)))
38		coscl 16036	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
39	28, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘π) ∈ ℂ
40		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = (1 · π))
41	28	mullidi 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
42	40, 41	eqtrdi 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = π)
43	42	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
44	43	fsum1 15654	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
45	21, 39, 44	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π)
46		cospi 26409	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
47	45, 46	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = -1
48		cos2pi 26413	. . . . 5 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
49	47, 48	oveq12i 7358	. . . 4 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))) = (-1 + 1)
50		neg1cn 12110	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
51		1pneg1e0 12239	. . . . 5 ⊢ (1 + -1) = 0
52	17, 50, 51	addcomli 11305	. . . 4 ⊢ (-1 + 1) = 0
53	37, 49, 52	3eqtri 2758	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
54	20, 53	eqtri 2754	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
55	18	oveq2i 7357	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑦) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1))
56		2cnd 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
57		nncn 12133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
59	56, 57, 58	adddid 11136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
60	56, 57	mulcld 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60, 58, 58	addassd 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
62	55, 59, 61	3eqtr4a 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = (((2 · 𝑦) + 1) + 1))
63	62	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1...(2 · (𝑦 + 1))) = (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
64	63	sumeq1d 15607	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
65	64	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
66		1red 11113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
67		2re 12199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
69		nnre 12132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
70	68, 69	remulcld 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
71	70, 66	readdcld 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
72		2rp 12895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
74		nnrp 12902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
75	73, 74	rpmulcld 12950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
76	66, 75	ltaddrp2d 12968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑦) + 1))
77	66, 71, 76	ltled 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1))
78		2z 12504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
80		nnz 12489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
81	79, 80	zmulcld 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
82	81	peano2zd 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
83		eluz 12746	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
84	21, 82, 83	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
85	77, 84	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
86		elfzelz 13424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
88	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → π ∈ ℂ)
89	87, 88	mulcld 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
90	89	coscld 16040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
91	90	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
92		fvoveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((2 · 𝑦) + 1) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)))
93	85, 91, 92	fsump1 15663	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
94	93	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
95		1lt2 12291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
97		2t1e2 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = 2
98		nnge1 12153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
99	66, 69, 73	lemul2d 12978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦)))
100	98, 99	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦))
101	97, 100	eqbrtrrid 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑦))
102	66, 68, 70, 96, 101	ltletrd 11273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑦))
103	66, 70, 102	ltled 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ (2 · 𝑦))
104		eluz 12746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
105	21, 81, 104	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
106	103, 105	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1))
107		elfzelz 13424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
108	107	zcnd 12578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
109	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → π ∈ ℂ)
110	108, 109	mulcld 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
111	110	coscld 16040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
112	111	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
113		fvoveq1 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑦) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)))
114	106, 112, 113	fsump1 15663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))))
115	33, 97	eqtr4i 2757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 + 1) = (2 · 1))
117	116	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
118	117, 61, 59	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
119	118	fvoveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)))
120	57, 58	addcld 11131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
121	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
122	56, 120, 121	mulassd 11135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) = (2 · ((𝑦 + 1) · π)))
123	122	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)))
124	120, 121	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · π) ∈ ℂ)
125		0re 11114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
126		pipos 26396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
127	125, 126	gtneii 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → π ≠ 0)
129	73	rpne0d 12939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
130	124, 121, 56, 128, 129	divcan5d 11923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)) = (((𝑦 + 1) · π) / π))
131	120, 121, 128	divcan4d 11903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 + 1) · π) / π) = (𝑦 + 1))
132	123, 130, 131	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = (𝑦 + 1))
133	80	peano2zd 12580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
134	132, 133	eqeltrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ)
135		peano2cn 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
136	57, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
137	56, 136	mulcld 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
138	137, 121	mulcld 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ)
139		coseq1 26462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
141	134, 140	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1)
142	119, 141	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = 1)
143	114, 142	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
144	143	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
145		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
146	60, 58, 121	adddird 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)))
147	60, 121	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) ∈ ℂ)
148	41, 121	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) ∈ ℂ)
149	147, 148	addcomd 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)) = ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)))
150	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) = π)
151	56, 57	mulcomd 11133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) = (𝑦 · 2))
152	151	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = ((𝑦 · 2) · π))
153	57, 56, 121	mulassd 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
154	152, 153	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
155	150, 154	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
156	146, 149, 155	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
157	156	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))))
158		cosper 26419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
159	28, 80, 158	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
160	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘π) = -1)
161	157, 159, 160	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
162	161	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
163	145, 162	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) = (0 + -1))
164	163	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = ((0 + -1) + 1))
165	50	addlidi 11301	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + -1) = -1
166	165	oveq1i 7356	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
167	166, 52	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((0 + -1) + 1) = 0
168	164, 167	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = 0)
169	144, 168	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = 0)
170	65, 94, 169	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
171	170	ex 412	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
172	4, 8, 12, 16, 54, 171	nnind 12143	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147  -cneg 11345   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℝ⁺crp 12890  ...cfz 13407  Σcsu 15593  cosccos 15971  πcpi 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-fbas 21289  df-fg 21290  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  46144