Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkertrigeqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkertrigeqlem1 44814
Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem1 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐พ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘›,๐พ

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท 1))
21oveq2d 7425 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...(2 ยท ๐‘ฅ)) = (1...(2 ยท 1)))
32sumeq1d 15647 . . 3 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
43eqeq1d 2735 . 2 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
5 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท ๐‘ฆ))
65oveq2d 7425 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1...(2 ยท ๐‘ฅ)) = (1...(2 ยท ๐‘ฆ)))
76sumeq1d 15647 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
87eqeq1d 2735 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
9 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท (๐‘ฆ + 1)))
109oveq2d 7425 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (1...(2 ยท ๐‘ฅ)) = (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1))))
1110sumeq1d 15647 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
1211eqeq1d 2735 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
13 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท ๐พ))
1413oveq2d 7425 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (1...(2 ยท ๐‘ฅ)) = (1...(2 ยท ๐พ)))
1514sumeq1d 15647 . . 3 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐พ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
1615eqeq1d 2735 . 2 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฅ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†” ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐พ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
17 ax-1cn 11168 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
18172timesi 12350 . . . . 5 (2 ยท 1) = (1 + 1)
1918oveq2i 7420 . . . 4 (1...(2 ยท 1)) = (1...(1 + 1))
2019sumeq1i 15644 . . 3 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€))
21 1z 12592 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
22 uzid 12837 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2423a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
25 elfzelz 13501 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2625zcnd 12667 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2726adantl 483 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
28 picn 25969 . . . . . . . . 9 ฯ€ โˆˆ โ„‚
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
3027, 29mulcld 11234 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))) โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
3130coscld 16074 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
32 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘› = (1 + 1) โ†’ ๐‘› = (1 + 1))
33 1p1e2 12337 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3432, 33eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐‘› = (1 + 1) โ†’ ๐‘› = 2)
3534fvoveq1d 7431 . . . . . 6 (๐‘› = (1 + 1) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜(2 ยท ฯ€)))
3624, 31, 35fsump1 15702 . . . . 5 (โŠค โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(2 ยท ฯ€))))
3736mptru 1549 . . . 4 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(2 ยท ฯ€)))
38 coscl 16070 . . . . . . . 8 (ฯ€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜ฯ€) โˆˆ โ„‚)
3928, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 (cosโ€˜ฯ€) โˆˆ โ„‚
40 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) = (1 ยท ฯ€))
4128mullidi 11219 . . . . . . . . . 10 (1 ยท ฯ€) = ฯ€
4240, 41eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) = ฯ€)
4342fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜ฯ€))
4443fsum1 15693 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (cosโ€˜ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜ฯ€))
4521, 39, 44mp2an 691 . . . . . 6 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜ฯ€)
46 cospi 25982 . . . . . 6 (cosโ€˜ฯ€) = -1
4745, 46eqtri 2761 . . . . 5 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = -1
48 cos2pi 25986 . . . . 5 (cosโ€˜(2 ยท ฯ€)) = 1
4947, 48oveq12i 7421 . . . 4 (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(2 ยท ฯ€))) = (-1 + 1)
50 neg1cn 12326 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„‚
51 1pneg1e0 12331 . . . . 5 (1 + -1) = 0
5217, 50, 51addcomli 11406 . . . 4 (-1 + 1) = 0
5337, 49, 523eqtri 2765 . . 3 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(1 + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0
5420, 53eqtri 2761 . 2 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0
5518oveq2i 7420 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘ฆ) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + (1 + 1))
56 2cnd 12290 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
57 nncn 12220 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
5817a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5956, 57, 58adddid 11238 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + (2 ยท 1)))
6056, 57mulcld 11234 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
6160, 58, 58addassd 11236 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + (1 + 1)))
6255, 59, 613eqtr4a 2799 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ + 1)) = (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))
6362oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1))) = (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)))
6463sumeq1d 15647 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
6564adantr 482 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)))
66 1red 11215 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
67 2re 12286 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
69 nnre 12219 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
7068, 69remulcld 11244 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
7170, 66readdcld 11243 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ โ„)
72 2rp 12979 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
74 nnrp 12985 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
7573, 74rpmulcld 13032 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
7666, 75ltaddrp2d 13050 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
7766, 71, 76ltled 11362 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
78 2z 12594 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
7978a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
80 nnz 12579 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
8179, 80zmulcld 12672 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8281peano2zd 12669 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ โ„ค)
83 eluz 12836 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” 1 โ‰ค ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)))
8421, 82, 83sylancr 588 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” 1 โ‰ค ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)))
8577, 84mpbird 257 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
86 elfzelz 13501 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
8786zcnd 12667 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
8828a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
8987, 88mulcld 11234 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
9089coscld 16074 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1)) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
9190adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
92 fvoveq1 7432 . . . . . 6 (๐‘› = (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€)))
9385, 91, 92fsump1 15702 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))))
9493adantr 482 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))))
95 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
9695a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < 2)
97 2t1e2 12375 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 1) = 2
98 nnge1 12240 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
9966, 69, 73lemul2d 13060 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ)))
10098, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ))
10197, 100eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ))
10266, 68, 70, 96, 101ltletrd 11374 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 < (2 ยท ๐‘ฆ))
10366, 70, 102ltled 11362 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ))
104 eluz 12836 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ)))
10521, 81, 104sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘ฆ)))
106103, 105mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
107 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
108107zcnd 12667 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
10928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
110108, 109mulcld 11234 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ (๐‘› ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
111110coscld 16074 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
112111adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
113 fvoveq1 7432 . . . . . . . 8 (๐‘› = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€)))
114106, 112, 113fsump1 15702 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))))
11533, 97eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = (2 ยท 1)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1 + 1) = (2 ยท 1))
117116oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + (1 + 1)) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + (2 ยท 1)))
118117, 61, 593eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) = (2 ยท (๐‘ฆ + 1)))
119118fvoveq1d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€)) = (cosโ€˜((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€)))
12057, 58addcld 11233 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„‚)
12128a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
12256, 120, 121mulassd 11237 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) = (2 ยท ((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€)))
123122oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) = ((2 ยท ((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€)) / (2 ยท ฯ€)))
124120, 121mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
125 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„
126 pipos 25970 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < ฯ€
127125, 126gtneii 11326 . . . . . . . . . . . . 13 ฯ€ โ‰  0
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ฯ€ โ‰  0)
12973rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
130124, 121, 56, 128, 129divcan5d 12016 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€)) / (2 ยท ฯ€)) = (((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€) / ฯ€))
131120, 121, 128divcan4d 11996 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ฯ€) / ฯ€) = (๐‘ฆ + 1))
132123, 130, 1313eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) = (๐‘ฆ + 1))
13380peano2zd 12669 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„ค)
134132, 133eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
135 peano2cn 11386 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„‚)
13657, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„‚)
13756, 136mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„‚)
138137, 121mulcld 11234 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
139 coseq1 26034 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((cosโ€˜((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€)) = 1 โ†” (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((cosโ€˜((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€)) = 1 โ†” (((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค))
141134, 140mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜((2 ยท (๐‘ฆ + 1)) ยท ฯ€)) = 1)
142119, 141eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€)) = 1)
143114, 142oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) + 1))
144143adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) + 1))
145 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0)
14660, 58, 121adddird 11239 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€) = (((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) + (1 ยท ฯ€)))
14760, 121mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
14841, 121eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
149147, 148addcomd 11416 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) + (1 ยท ฯ€)) = ((1 ยท ฯ€) + ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€)))
15041a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ฯ€) = ฯ€)
15156, 57mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 2))
152151oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) = ((๐‘ฆ ยท 2) ยท ฯ€))
15357, 56, 121mulassd 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) ยท ฯ€) = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))
154152, 153eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€) = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))
155150, 154oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 ยท ฯ€) + ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ฯ€)) = (ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€))))
156146, 149, 1553eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€) = (ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€))))
157156fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€)) = (cosโ€˜(ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))))
158 cosper 25992 . . . . . . . . . . 11 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜ฯ€))
15928, 80, 158sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜(ฯ€ + (๐‘ฆ ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜ฯ€))
16046a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜ฯ€) = -1)
161157, 159, 1603eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€)) = -1)
162161adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€)) = -1)
163145, 162oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) = (0 + -1))
164163oveq1d 7424 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) + 1) = ((0 + -1) + 1))
16550addlidi 11402 . . . . . . . 8 (0 + -1) = -1
166165oveq1i 7419 . . . . . . 7 ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
167166, 52eqtri 2761 . . . . . 6 ((0 + -1) + 1) = 0
168164, 167eqtrdi 2789 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜(((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) ยท ฯ€))) + 1) = 0)
169144, 168eqtrd 2773 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) + (cosโ€˜((((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) + 1) ยท ฯ€))) = 0)
17065, 94, 1693eqtrd 2777 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0)
171170ex 414 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ฆ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท (๐‘ฆ + 1)))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0))
1724, 8, 12, 16, 54, 171nnind 12230 1 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(2 ยท ๐พ))(cosโ€˜(๐‘› ยท ฯ€)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  ...cfz 13484  ฮฃcsu 15632  cosccos 16008  ฯ€cpi 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  44816
  Copyright terms: Public domain W3C validator