Theorem dirkertrigeqlem1 47201

Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem1	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)

Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
2	1	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 1)))
3	2	sumeq1d 15872	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)))
4	3	eqeq1d 2762	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
5		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
6	5	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝑦)))
7	6	sumeq1d 15872	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)))
8	7	eqeq1d 2762	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
9		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
10	9	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · (𝑦 + 1))))
11	10	sumeq1d 15872	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)))
12	11	eqeq1d 2762	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
13		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾))
14	13	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝐾)))
15	14	sumeq1d 15872	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)))
16	15	eqeq1d 2762	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
17		ax-1cn 11261	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	2timesi 12483	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
19	18	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (1...(2 · 1)) = (1...(1 + 1))
20	19	sumeq1i 15869	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π))
21		1z 12729	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		uzid 12983	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (ℤ≥‘1))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘1)
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℤ≥‘1))
25		elfzelz 13659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	26	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
28		picn 26790	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → π ∈ ℂ)
30	27, 29	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
31	30	coscld 16304	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
32		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = (1 + 1))
33		1p1e2 12469	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
34	32, 33	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = 2)
35	34	fvoveq1d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(2 · π)))
36	24, 31, 35	fsump1 15927	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))))
37	36	mptru 1576	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π)))
38		coscl 16300	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
39	28, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘π) ∈ ℂ
40		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = (1 · π))
41	28	mullidi 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
42	40, 41	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = π)
43	42	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
44	43	fsum1 15918	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
45	21, 39, 44	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π)
46		cospi 26806	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
47	45, 46	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = -1
48		cos2pi 26810	. . . . 5 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
49	47, 48	oveq12i 7432	. . . 4 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))) = ( -1 + 1)
50		neg1cn 12308	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
51		1pneg1e0 12463	. . . . 5 ⊢ (1 + -1) = 0
52	17, 50, 51	addcomli 11505	. . . 4 ⊢ ( -1 + 1) = 0
53	37, 49, 52	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
54	20, 53	eqtri 2783	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
55	18	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑦) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1))
56		2cnd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
57		nncn 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
59	56, 57, 58	adddid 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
60	56, 57	mulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60, 58, 58	addassd 11334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
62	55, 59, 61	3eqtr4a 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = (((2 · 𝑦) + 1) + 1))
63	62	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1...(2 · (𝑦 + 1))) = (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
64	63	sumeq1d 15872	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
65	64	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
66		1red 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
67		2re 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
69		nnre 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
70	68, 69	remulcld 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
71	70, 66	readdcld 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
72		2rp 13128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
74		nnrp 13135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
75	73, 74	rpmulcld 13183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
76	66, 75	ltaddrp2d 13201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑦) + 1))
77	66, 71, 76	ltled 11461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1))
78		2z 12731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
80		nnz 12717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
81	79, 80	zmulcld 12812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
82	81	peano2zd 12809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
83		eluz 12982	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
84	21, 82, 83	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
85	77, 84	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
86		elfzelz 13659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
88	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → π ∈ ℂ)
89	87, 88	mulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
90	89	coscld 16304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
91	90	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
92		fvoveq1 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((2 · 𝑦) + 1) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)))
93	85, 91, 92	fsump1 15927	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
94	93	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
95		1lt2 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
97		2t1e2 12508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = 2
98		nnge1 12369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
99	66, 69, 73	lemul2d 13211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦)))
100	98, 99	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦))
101	97, 100	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑦))
102	66, 68, 70, 96, 101	ltletrd 11473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑦))
103	66, 70, 102	ltled 11461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ (2 · 𝑦))
104		eluz 12982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
105	21, 81, 104	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
106	103, 105	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1))
107		elfzelz 13659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
108	107	zcnd 12807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
109	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → π ∈ ℂ)
110	108, 109	mulcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
111	110	coscld 16304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
112	111	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
113		fvoveq1 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑦) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)))
114	106, 112, 113	fsump1 15927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))))
115	33, 97	eqtr4i 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 + 1) = (2 · 1))
117	116	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
118	117, 61, 59	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
119	118	fvoveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)))
120	57, 58	addcld 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
121	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
122	56, 120, 121	mulassd 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) = (2 · ((𝑦 + 1) · π)))
123	122	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)))
124	120, 121	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · π) ∈ ℂ)
125		0re 11313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
126		pipos 26792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
127	125, 126	gtneii 11425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → π ≠ 0)
129	73	rpne0d 13172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
130	124, 121, 56, 128, 129	divcan5d 12122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)) = (((𝑦 + 1) · π) / π))
131	120, 121, 128	divcan4d 12102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 + 1) · π) / π) = (𝑦 + 1))
132	123, 130, 131	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = (𝑦 + 1))
133	80	peano2zd 12809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
134	132, 133	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ)
135		peano2cn 11485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
136	57, 135	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
137	56, 136	mulcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
138	137, 121	mulcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ)
139		coseq1 26858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
140	138, 139	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
141	134, 140	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1)
142	119, 141	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = 1)
143	114, 142	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
144	143	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
145		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
146	60, 58, 121	adddird 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)))
147	60, 121	mulcld 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) ∈ ℂ)
148	41, 121	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) ∈ ℂ)
149	147, 148	addcomd 11515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)) = ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)))
150	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) = π)
151	56, 57	mulcomd 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) = (𝑦 · 2))
152	151	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = ((𝑦 · 2) · π))
153	57, 56, 121	mulassd 11335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
154	152, 153	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
155	150, 154	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
156	146, 149, 155	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
157	156	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))))
158		cosper 26816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
159	28, 80, 158	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
160	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘π) = -1)
161	157, 159, 160	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
162	161	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
163	145, 162	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) = (0 + -1))
164	163	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = ((0 + -1) + 1))
165	50	addlidi 11501	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + -1) = -1
166	165	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + -1) + 1) = ( -1 + 1)
167	166, 52	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((0 + -1) + 1) = 0
168	164, 167	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = 0)
169	144, 168	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = 0)
170	65, 94, 169	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
171	170	ex 418	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
172	4, 8, 12, 16, 54, 171	nnind 12356	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ℝ⁺crp 13123  ...cfz 13642  Σcsu 15858  cosccos 16235  πcpi 16237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192

This theorem is used by:  dirkertrigeqlem3  47203