Theorem dirkertrigeqlem1 42432

Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem1	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)

Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
2	1	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 1)))
3	2	sumeq1d 15058	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)))
4	3	eqeq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
5		oveq2 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
6	5	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝑦)))
7	6	sumeq1d 15058	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)))
8	7	eqeq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
9		oveq2 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
10	9	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · (𝑦 + 1))))
11	10	sumeq1d 15058	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)))
12	11	eqeq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
13		oveq2 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾))
14	13	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝐾)))
15	14	sumeq1d 15058	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)))
16	15	eqeq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
17		ax-1cn 10595	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	2timesi 11776	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
19	18	oveq2i 7167	. . . 4 ⊢ (1...(2 · 1)) = (1...(1 + 1))
20	19	sumeq1i 15055	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π))
21		1z 12013	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		uzid 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (ℤ≥‘1))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘1)
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℤ≥‘1))
25		elfzelz 12909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	26	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
28		picn 25045	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → π ∈ ℂ)
30	27, 29	mulcld 10661	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
31	30	coscld 15484	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
32		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = (1 + 1))
33		1p1e2 11763	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
34	32, 33	syl6eq 2872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = 2)
35	34	fvoveq1d 7178	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(2 · π)))
36	24, 31, 35	fsump1 15111	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))))
37	36	mptru 1544	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π)))
38		coscl 15480	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
39	28, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘π) ∈ ℂ
40		oveq1 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = (1 · π))
41	28	mulid2i 10646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
42	40, 41	syl6eq 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = π)
43	42	fveq2d 6674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
44	43	fsum1 15102	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
45	21, 39, 44	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π)
46		cospi 25058	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
47	45, 46	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = -1
48		cos2pi 25062	. . . . 5 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
49	47, 48	oveq12i 7168	. . . 4 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))) = (-1 + 1)
50		neg1cn 11752	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
51		1pneg1e0 11757	. . . . 5 ⊢ (1 + -1) = 0
52	17, 50, 51	addcomli 10832	. . . 4 ⊢ (-1 + 1) = 0
53	37, 49, 52	3eqtri 2848	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
54	20, 53	eqtri 2844	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
55	18	oveq2i 7167	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑦) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1))
56		2cnd 11716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
57		nncn 11646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
59	56, 57, 58	adddid 10665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
60	56, 57	mulcld 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
61	60, 58, 58	addassd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
62	55, 59, 61	3eqtr4a 2882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = (((2 · 𝑦) + 1) + 1))
63	62	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1...(2 · (𝑦 + 1))) = (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
64	63	sumeq1d 15058	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
65	64	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
66		1red 10642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
67		2re 11712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
69		nnre 11645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
70	68, 69	remulcld 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
71	70, 66	readdcld 10670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
72		2rp 12395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
74		nnrp 12401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
75	73, 74	rpmulcld 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
76	66, 75	ltaddrp2d 12466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑦) + 1))
77	66, 71, 76	ltled 10788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1))
78		2z 12015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
80		nnz 12005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
81	79, 80	zmulcld 12094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
82	81	peano2zd 12091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
83		eluz 12258	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
84	21, 82, 83	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
85	77, 84	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
86		elfzelz 12909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
88	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → π ∈ ℂ)
89	87, 88	mulcld 10661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
90	89	coscld 15484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
91	90	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
92		fvoveq1 7179	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((2 · 𝑦) + 1) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)))
93	85, 91, 92	fsump1 15111	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
94	93	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
95		1lt2 11809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
97		2t1e2 11801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = 2
98		nnge1 11666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
99	66, 69, 73	lemul2d 12476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦)))
100	98, 99	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦))
101	97, 100	eqbrtrrid 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑦))
102	66, 68, 70, 96, 101	ltletrd 10800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑦))
103	66, 70, 102	ltled 10788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ (2 · 𝑦))
104		eluz 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
105	21, 81, 104	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
106	103, 105	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1))
107		elfzelz 12909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
108	107	zcnd 12089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
109	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → π ∈ ℂ)
110	108, 109	mulcld 10661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
111	110	coscld 15484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
112	111	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
113		fvoveq1 7179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑦) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)))
114	106, 112, 113	fsump1 15111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))))
115	33, 97	eqtr4i 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 + 1) = (2 · 1))
117	116	oveq2d 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
118	117, 61, 59	3eqtr4d 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
119	118	fvoveq1d 7178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)))
120	57, 58	addcld 10660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
121	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
122	56, 120, 121	mulassd 10664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) = (2 · ((𝑦 + 1) · π)))
123	122	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)))
124	120, 121	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · π) ∈ ℂ)
125		0re 10643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
126		pipos 25046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
127	125, 126	gtneii 10752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → π ≠ 0)
129	73	rpne0d 12437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
130	124, 121, 56, 128, 129	divcan5d 11442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)) = (((𝑦 + 1) · π) / π))
131	120, 121, 128	divcan4d 11422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 + 1) · π) / π) = (𝑦 + 1))
132	123, 130, 131	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = (𝑦 + 1))
133	80	peano2zd 12091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
134	132, 133	eqeltrd 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ)
135		peano2cn 10812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
136	57, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
137	56, 136	mulcld 10661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
138	137, 121	mulcld 10661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ)
139		coseq1 25110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
141	134, 140	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1)
142	119, 141	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = 1)
143	114, 142	oveq12d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
144	143	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
145		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
146	60, 58, 121	adddird 10666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)))
147	60, 121	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) ∈ ℂ)
148	41, 121	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) ∈ ℂ)
149	147, 148	addcomd 10842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)) = ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)))
150	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) = π)
151	56, 57	mulcomd 10662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) = (𝑦 · 2))
152	151	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = ((𝑦 · 2) · π))
153	57, 56, 121	mulassd 10664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
154	152, 153	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
155	150, 154	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
156	146, 149, 155	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
157	156	fveq2d 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))))
158		cosper 25068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
159	28, 80, 158	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
160	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘π) = -1)
161	157, 159, 160	3eqtrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
162	161	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
163	145, 162	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) = (0 + -1))
164	163	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = ((0 + -1) + 1))
165	50	addid2i 10828	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + -1) = -1
166	165	oveq1i 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
167	166, 52	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((0 + -1) + 1) = 0
168	164, 167	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = 0)
169	144, 168	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = 0)
170	65, 94, 169	3eqtrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
171	170	ex 415	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
172	4, 8, 12, 16, 54, 171	nnind 11656	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676  -cneg 10871   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ℝ⁺crp 12390  ...cfz 12893  Σcsu 15042  cosccos 15418  πcpi 15420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  42434