Theorem bpoly0 16056

Description: The value of the Bernoulli polynomials at zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly0	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)

Proof of Theorem bpoly0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12486	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		bpolyval 16055	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
3	1, 2	mpan 698	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
4		exp0 14068	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑0) = 1)
5	4	oveq1d 7400	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
6		risefall0lem 16032	. . . . . . 7 ⊢ (0...(0 − 1)) = ∅
7	6	sumeq1i 15700	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))
8		sum0 15724	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ ((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = 0
9	7, 8	eqtri 2779	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = 0
10	9	oveq2i 7396	. . . 4 ⊢ (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = (1 − 0)
11		1m0e1 12327	. . . 4 ⊢ (1 − 0) = 1
12	10, 11	eqtri 2779	. . 3 ⊢ (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = 1
13	5, 12	eqtrdi 2807	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = 1)
14	3, 13	eqtrd 2791	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∅c0 4280  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068   − cmin 11404   / cdiv 11834  ℕ₀cn0 12471  ...cfz 13502  ↑cexp 14064  Ccbc 14305  Σcsu 15689   BernPoly cbp 16052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-sum 15690  df-bpoly 16053

This theorem is referenced by:  bpoly1  16057  bpolydiflem  16060  bpoly2  16063  bpoly3  16064  bpoly4  16065