Theorem bpoly0 16245

Description: The value of the Bernoulli polynomials at zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly0	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)

Proof of Theorem bpoly0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12648	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		bpolyval 16244	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
3	1, 2	mpan 703	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
4		exp0 14235	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑0) = 1)
5	4	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
6		fz00m1 13706	. . . . . . 7 ⊢ (0...(0 − 1)) = ∅
7	6	sumeq1i 15893	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))
8		sum0 15916	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ ((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = 0
9	7, 8	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = 0
10	9	oveq2i 7454	. . . 4 ⊢ (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = (1 − 0)
11		1m0e1 12489	. . . 4 ⊢ (1 − 0) = 1
12	10, 11	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = 1
13	5, 12	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = 1)
14	3, 13	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕ₀cn0 12633  ...cfz 13666  ↑cexp 14231  Ccbc 14473  Σcsu 15882   BernPoly cbp 16241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-bpoly 16242

This theorem is used by:  bpoly1  16246  bpolydiflem  16249  bpoly2  16252  bpoly3  16253  bpoly4  16254