Theorem bpoly0 14997

Description: The value of the Bernoulli polynomials at zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly0	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)

Proof of Theorem bpoly0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11570	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		bpolyval 14996	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
3	1, 2	mpan 673	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
4		exp0 13083	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑0) = 1)
5	4	oveq1d 6885	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))))
6		risefall0lem 14973	. . . . . . 7 ⊢ (0...(0 − 1)) = ∅
7	6	sumeq1i 14647	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))
8		sum0 14671	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ ((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = 0
9	7, 8	eqtri 2828	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1))) = 0
10	9	oveq2i 6881	. . . 4 ⊢ (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = (1 − 0)
11		1m0e1 11409	. . . 4 ⊢ (1 − 0) = 1
12	10, 11	eqtri 2828	. . 3 ⊢ (1 − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = 1
13	5, 12	syl6eq 2856	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑0) − Σ𝑘 ∈ (0...(0 − 1))((0C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((0 − 𝑘) + 1)))) = 1)
14	3, 13	eqtrd 2840	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  ∅c0 4116  (class class class)co 6870  ℂcc 10215  0cc0 10217  1c1 10218   + caddc 10220   · cmul 10222   − cmin 10547   / cdiv 10965  ℕ₀cn0 11555  ...cfz 12545  ↑cexp 13079  Ccbc 13305  Σcsu 14635   BernPoly cbp 14993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-oi 8650  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-bpoly 14994

This theorem is referenced by:  bpoly1  14998  bpolydiflem  15001  bpoly2  15004  bpoly3  15005  bpoly4  15006