MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly0 16032
Description: The value of the Bernoulli polynomials at zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly0 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 BernPoly ๐‘‹) = 1)

Proof of Theorem bpoly0
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12523 . . 3 0 โˆˆ โ„•0
2 bpolyval 16031 . . 3 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘0) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 โˆ’ 1))((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
31, 2mpan 688 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘0) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 โˆ’ 1))((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
4 exp0 14068 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹โ†‘0) = 1)
54oveq1d 7439 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹โ†‘0) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 โˆ’ 1))((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = (1 โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 โˆ’ 1))((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
6 risefall0lem 16008 . . . . . . 7 (0...(0 โˆ’ 1)) = โˆ…
76sumeq1i 15682 . . . . . 6 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 โˆ’ 1))((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
8 sum0 15705 . . . . . 6 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = 0
97, 8eqtri 2755 . . . . 5 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 โˆ’ 1))((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = 0
109oveq2i 7435 . . . 4 (1 โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 โˆ’ 1))((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = (1 โˆ’ 0)
11 1m0e1 12369 . . . 4 (1 โˆ’ 0) = 1
1210, 11eqtri 2755 . . 3 (1 โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 โˆ’ 1))((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = 1
135, 12eqtrdi 2783 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹โ†‘0) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 โˆ’ 1))((0C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((0 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = 1)
143, 13eqtrd 2767 1 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 BernPoly ๐‘‹) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4324  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149   โˆ’ cmin 11480   / cdiv 11907  โ„•0cn0 12508  ...cfz 13522  โ†‘cexp 14064  Ccbc 14299  ฮฃcsu 15670   BernPoly cbp 16028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671  df-bpoly 16029
This theorem is referenced by:  bpoly1  16033  bpolydiflem  16036  bpoly2  16039  bpoly3  16040  bpoly4  16041
  Copyright terms: Public domain W3C validator