MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly2 15945
Description: The Bernoulli polynomials at two. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 BernPoly ๐‘‹) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))

Proof of Theorem bpoly2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 12435 . . 3 2 โˆˆ โ„•0
2 bpolyval 15937 . . 3 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(2 โˆ’ 1))((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
31, 2mpan 689 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(2 โˆ’ 1))((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
4 2m1e1 12284 . . . . . . 7 (2 โˆ’ 1) = 1
5 0p1e1 12280 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
64, 5eqtr4i 2764 . . . . . 6 (2 โˆ’ 1) = (0 + 1)
76oveq2i 7369 . . . . 5 (0...(2 โˆ’ 1)) = (0...(0 + 1))
87sumeq1i 15588 . . . 4 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(2 โˆ’ 1))((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1))((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
9 0nn0 12433 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„•0
10 nn0uz 12810 . . . . . . . . 9 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
119, 10eleqtri 2832 . . . . . . . 8 0 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
13 0z 12515 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
14 fzpr 13502 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
1615eleq2i 2826 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†” ๐‘˜ โˆˆ {0, (0 + 1)})
17 vex 3448 . . . . . . . . . 10 ๐‘˜ โˆˆ V
1817elpr 4610 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ {0, (0 + 1)} โ†” (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ = (0 + 1)))
1916, 18bitri 275 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†” (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ = (0 + 1)))
20 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 0 โ†’ (2C๐‘˜) = (2C0))
21 bcn0 14216 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 โˆˆ โ„•0 โ†’ (2C0) = 1)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2C0) = 1
2320, 22eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (2C๐‘˜) = 1)
24 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (0 BernPoly ๐‘‹))
25 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = 0 โ†’ (2 โˆ’ ๐‘˜) = (2 โˆ’ 0))
2625oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = ((2 โˆ’ 0) + 1))
27 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„‚
2827subid1i 11478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 โˆ’ 0) = 2
2928oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆ’ 0) + 1) = (2 + 1)
30 df-3 12222 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
3129, 30eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆ’ 0) + 1) = 3
3226, 31eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = 3)
3324, 32oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((0 BernPoly ๐‘‹) / 3))
3423, 33oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 3)))
35 bpoly0 15938 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 BernPoly ๐‘‹) = 1)
3635oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((0 BernPoly ๐‘‹) / 3) = (1 / 3))
3736oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 3)) = (1 ยท (1 / 3)))
38 3cn 12239 . . . . . . . . . . . . . 14 3 โˆˆ โ„‚
39 3ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . 14 3 โ‰  0
4038, 39reccli 11890 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) โˆˆ โ„‚
4140mulid2i 11165 . . . . . . . . . . . 12 (1 ยท (1 / 3)) = (1 / 3)
4237, 41eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 3)) = (1 / 3))
4334, 42sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 / 3))
4443, 40eqeltrdi 2842 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
455eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (0 + 1) โ†” ๐‘˜ = 1)
46 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 1 โ†’ (2C๐‘˜) = (2C1))
47 bcn1 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆˆ โ„•0 โ†’ (2C1) = 2)
481, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (2C1) = 2
4946, 48eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 1 โ†’ (2C๐‘˜) = 2)
50 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (1 BernPoly ๐‘‹))
51 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = 1 โ†’ (2 โˆ’ ๐‘˜) = (2 โˆ’ 1))
5251oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = ((2 โˆ’ 1) + 1))
53 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„‚
54 npcan 11415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 โˆ’ 1) + 1) = 2)
5527, 53, 54mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆ’ 1) + 1) = 2
5652, 55eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = 2)
5750, 56oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((1 BernPoly ๐‘‹) / 2))
5849, 57oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (2 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 2)))
5945, 58sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (0 + 1) โ†’ ((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (2 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 2)))
60 bpoly1 15939 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 BernPoly ๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
6160oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 BernPoly ๐‘‹) / 2) = ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 2))
6261oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 2)) = (2 ยท ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 2)))
63 halfcn 12373 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
64 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
6563, 64mpan2 690 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
66 2ne0 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
67 divcan2 11826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ (2 ยท ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 2)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
6827, 66, 67mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 2)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 2)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
7062, 69eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 2)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
7159, 70sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = (0 + 1)) โ†’ ((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
7265adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = (0 + 1)) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
7371, 72eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = (0 + 1)) โ†’ ((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
7444, 73jaodan 957 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ = (0 + 1))) โ†’ ((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
7519, 74sylan2b 595 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
7612, 75, 59fsump1 15646 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1))((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (2 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 2))))
7742, 40eqeltrdi 2842 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 3)) โˆˆ โ„‚)
7834fsum1 15637 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 3)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 3)))
7913, 77, 78sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 3)))
8079, 42eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 / 3))
8180, 70oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (2 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 2))) = ((1 / 3) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))))
8276, 81eqtrd 2773 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1))((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((1 / 3) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))))
83 addsub12 11419 . . . . . . 7 (((1 / 3) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 3) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) = (๐‘‹ + ((1 / 3) โˆ’ (1 / 2))))
8440, 63, 83mp3an13 1453 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 3) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) = (๐‘‹ + ((1 / 3) โˆ’ (1 / 2))))
8563, 40negsubdi2i 11492 . . . . . . . 8 -((1 / 2) โˆ’ (1 / 3)) = ((1 / 3) โˆ’ (1 / 2))
86 halfthird 12766 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) โˆ’ (1 / 3)) = (1 / 6)
8786negeqi 11399 . . . . . . . 8 -((1 / 2) โˆ’ (1 / 3)) = -(1 / 6)
8885, 87eqtr3i 2763 . . . . . . 7 ((1 / 3) โˆ’ (1 / 2)) = -(1 / 6)
8988oveq2i 7369 . . . . . 6 (๐‘‹ + ((1 / 3) โˆ’ (1 / 2))) = (๐‘‹ + -(1 / 6))
9084, 89eqtrdi 2789 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 3) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) = (๐‘‹ + -(1 / 6)))
91 6cn 12249 . . . . . . 7 6 โˆˆ โ„‚
92 6re 12248 . . . . . . . 8 6 โˆˆ โ„
93 6pos 12268 . . . . . . . 8 0 < 6
9492, 93gt0ne0ii 11696 . . . . . . 7 6 โ‰  0
9591, 94reccli 11890 . . . . . 6 (1 / 6) โˆˆ โ„‚
96 negsub 11454 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ + -(1 / 6)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))
9795, 96mpan2 690 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹ + -(1 / 6)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))
9882, 90, 973eqtrd 2777 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1))((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))
998, 98eqtrid 2785 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(2 โˆ’ 1))((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))
10099oveq2d 7374 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(2 โˆ’ 1))((2C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((2 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))
101 sqcl 14029 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
102 subsub 11436 . . . 4 (((๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))
10395, 102mp3an3 1451 . . 3 (((๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))
104101, 103mpancom 687 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))
1053, 100, 1043eqtrd 2777 1 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 BernPoly ๐‘‹) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  {cpr 4589  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  3c3 12214  6c6 12217  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  Ccbc 14208  ฮฃcsu 15576   BernPoly cbp 15934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-bpoly 15935
This theorem is referenced by:  bpoly3  15946  bpoly4  15947
  Copyright terms: Public domain W3C validator