MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly2 15073
Description: The Bernoulli polynomials at two. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly2 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))

Proof of Theorem bpoly2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 11559 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 bpolyval 15065 . . 3 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 681 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))))
4 2m1e1 11407 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
5 0p1e1 11403 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
64, 5eqtr4i 2790 . . . . . 6 (2 − 1) = (0 + 1)
76oveq2i 6855 . . . . 5 (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
87sumeq1i 14716 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))
9 0nn0 11557 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
10 nn0uz 11925 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
119, 10eleqtri 2842 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
13 0z 11637 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
14 fzpr 12606 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
1615eleq2i 2836 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, (0 + 1)})
17 vex 3353 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
1817elpr 4359 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {0, (0 + 1)} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1)))
1916, 18bitri 266 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1)))
20 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (2C𝑘) = (2C0))
21 bcn0 13304 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℕ0 → (2C0) = 1)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2C0) = 1
2320, 22syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (2C𝑘) = 1)
24 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
25 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (2 − 𝑘) = (2 − 0))
2625oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → ((2 − 𝑘) + 1) = ((2 − 0) + 1))
27 2cn 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
2827subid1i 10609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 0) = 2
2928oveq1i 6854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 − 0) + 1) = (2 + 1)
30 df-3 11338 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
3129, 30eqtr4i 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 0) + 1) = 3
3226, 31syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((2 − 𝑘) + 1) = 3)
3324, 32oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 3))
3423, 33oveq12d 6862 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
35 bpoly0 15066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
3635oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 3) = (1 / 3))
3736oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) = (1 · (1 / 3)))
38 3cn 11355 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
39 3ne0 11387 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≠ 0
4038, 39reccli 11011 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℂ
4140mulid2i 10301 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (1 / 3)) = (1 / 3)
4237, 41syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) = (1 / 3))
4334, 42sylan9eqr 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 / 3))
4443, 40syl6eqel 2852 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
455eqeq2i 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
46 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (2C𝑘) = (2C1))
47 bcn1 13307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℕ0 → (2C1) = 2)
481, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (2C1) = 2
4946, 48syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (2C𝑘) = 2)
50 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
51 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → (2 − 𝑘) = (2 − 1))
5251oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((2 − 𝑘) + 1) = ((2 − 1) + 1))
53 ax-1cn 10249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
54 npcan 10546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 − 1) + 1) = 2)
5527, 53, 54mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 − 1) + 1) = 2
5652, 55syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((2 − 𝑘) + 1) = 2)
5750, 56oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 2))
5849, 57oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)))
5945, 58sylbi 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0 + 1) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)))
60 bpoly1 15067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
6160oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 BernPoly 𝑋) / 2) = ((𝑋 − (1 / 2)) / 2))
6261oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)) = (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)))
63 halfcn 11495 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℂ
64 subcl 10536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
6563, 64mpan2 682 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
66 2ne0 11385 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
67 divcan2 10949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
6827, 66, 67mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7062, 69eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7159, 70sylan9eqr 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 2)))
7265adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7371, 72eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7444, 73jaodan 980 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1))) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7519, 74sylan2b 587 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7612, 75, 59fsump1 14775 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) + (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2))))
7742, 40syl6eqel 2852 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) ∈ ℂ)
7834fsum1 14764 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
7913, 77, 78sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
8079, 42eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 / 3))
8180, 70oveq12d 6862 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) + (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2))) = ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))))
8276, 81eqtrd 2799 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))))
83 addsub12 10550 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))))
8440, 63, 83mp3an13 1576 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))))
8563, 40negsubdi2i 10623 . . . . . . . 8 -((1 / 2) − (1 / 3)) = ((1 / 3) − (1 / 2))
86 halfthird 11887 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
8786negeqi 10530 . . . . . . . 8 -((1 / 2) − (1 / 3)) = -(1 / 6)
8885, 87eqtr3i 2789 . . . . . . 7 ((1 / 3) − (1 / 2)) = -(1 / 6)
8988oveq2i 6855 . . . . . 6 (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))) = (𝑋 + -(1 / 6))
9084, 89syl6eq 2815 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + -(1 / 6)))
91 6cn 11368 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
92 6re 11367 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
93 6pos 11391 . . . . . . . 8 0 < 6
9492, 93gt0ne0ii 10820 . . . . . . 7 6 ≠ 0
9591, 94reccli 11011 . . . . . 6 (1 / 6) ∈ ℂ
96 negsub 10585 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → (𝑋 + -(1 / 6)) = (𝑋 − (1 / 6)))
9795, 96mpan2 682 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + -(1 / 6)) = (𝑋 − (1 / 6)))
9882, 90, 973eqtrd 2803 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 6)))
998, 98syl5eq 2811 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 6)))
10099oveq2d 6860 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))))
101 sqcl 13135 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
102 subsub 10567 . . . 4 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
10395, 102mp3an3 1574 . . 3 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
104101, 103mpancom 679 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
1053, 100, 1043eqtrd 2803 1 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  {cpr 4338  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  2c2 11329  3c3 11330  6c6 11333  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  ...cfz 12536  cexp 13070  Ccbc 13296  Σcsu 14704   BernPoly cbp 15062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-sup 8557  df-oi 8624  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-clim 14507  df-sum 14705  df-bpoly 15063
This theorem is referenced by:  bpoly3  15074  bpoly4  15075
  Copyright terms: Public domain W3C validator