MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem4 25534
Description: Lemma for aaliou3 25539. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem4 𝐿 ∈ ℝ
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem4
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem.d . . 3 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
2 nnuz 12649 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
32sumeq1i 15438 . . 3 Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏)
41, 3eqtri 2761 . 2 𝐿 = Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏)
5 1nn 12012 . . 3 1 ∈ ℕ
6 eqid 2733 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℤ‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1)))) = (𝑐 ∈ (ℤ‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1))))
7 aaliou3lem.c . . . . 5 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
86, 7aaliou3lem3 25532 . . . 4 (1 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
98simp2d 1141 . . 3 (1 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
10 rpre 12766 . . 3 𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ)
115, 9, 10mp2b 10 . 2 Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ
124, 11eqeltri 2830 1 𝐿 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2101   class class class wbr 5077  cmpt 5160  dom cdm 5591  cfv 6447  (class class class)co 7295  cr 10898  1c1 10900   + caddc 10902   · cmul 10904  cle 11038  cmin 11233  -cneg 11234   / cdiv 11660  cn 12001  2c2 12056  cuz 12610  +crp 12758  ...cfz 13267  seqcseq 13749  cexp 13810  !cfa 14015  cli 15221  Σcsu 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-inf2 9427  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-pm 8638  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-sup 9229  df-inf 9230  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-rp 12759  df-ioc 13112  df-ico 13113  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-fl 13540  df-seq 13750  df-exp 13811  df-fac 14016  df-hash 14073  df-shft 14806  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-limsup 15208  df-clim 15225  df-rlim 15226  df-sum 15426
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  25537  aaliou3lem9  25538
  Copyright terms: Public domain W3C validator