MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem4 25263
Description: Lemma for aaliou3 25268. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem4 𝐿 ∈ ℝ
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem4
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem.d . . 3 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
2 nnuz 12501 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
32sumeq1i 15286 . . 3 Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏)
41, 3eqtri 2766 . 2 𝐿 = Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏)
5 1nn 11865 . . 3 1 ∈ ℕ
6 eqid 2738 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℤ‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1)))) = (𝑐 ∈ (ℤ‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1))))
7 aaliou3lem.c . . . . 5 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
86, 7aaliou3lem3 25261 . . . 4 (1 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
98simp2d 1145 . . 3 (1 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
10 rpre 12618 . . 3 𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ)
115, 9, 10mp2b 10 . 2 Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ
124, 11eqeltri 2835 1 𝐿 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2111   class class class wbr 5067  cmpt 5149  dom cdm 5565  cfv 6397  (class class class)co 7231  cr 10752  1c1 10754   + caddc 10756   · cmul 10758  cle 10892  cmin 11086  -cneg 11087   / cdiv 11513  cn 11854  2c2 11909  cuz 12462  +crp 12610  ...cfz 13119  seqcseq 13598  cexp 13659  !cfa 13863  cli 15069  Σcsu 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-inf2 9280  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830  ax-pre-sup 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-se 5524  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-isom 6406  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-er 8411  df-pm 8531  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-fin 8650  df-sup 9082  df-inf 9083  df-oi 9150  df-card 9579  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-div 11514  df-nn 11855  df-2 11917  df-3 11918  df-n0 12115  df-z 12201  df-uz 12463  df-rp 12611  df-ioc 12964  df-ico 12965  df-fz 13120  df-fzo 13263  df-fl 13391  df-seq 13599  df-exp 13660  df-fac 13864  df-hash 13921  df-shft 14654  df-cj 14686  df-re 14687  df-im 14688  df-sqrt 14822  df-abs 14823  df-limsup 15056  df-clim 15073  df-rlim 15074  df-sum 15274
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  25266  aaliou3lem9  25267
  Copyright terms: Public domain W3C validator