Theorem aaliou3lem4 26230

Description: Lemma for aaliou3 26235. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem4	⊢ 𝐿 ∈ ℝ

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem.d	. . 3 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
2		nnuz 12812	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	2	sumeq1i 15639	. . 3 ⊢ Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏)
4	1, 3	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏)
5		1nn 12173	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1)))) = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1))))
7		aaliou3lem.c	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
8	6, 7	aaliou3lem3 26228	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
9	8	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
10		rpre 12936	. . 3 ⊢ (Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
11	5, 9, 10	mp2b 10	. 2 ⊢ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ
12	4, 11	eqeltri 2824	1 ⊢ 𝐿 ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   ≤ cle 11185   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ℤ_≥cuz 12769  ℝ⁺crp 12927  ...cfz 13444  seqcseq 13942  ↑cexp 14002  !cfa 14214   ⇝ cli 15426  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  26233  aaliou3lem9  26234