Theorem aaliou3lem4 26730

Description: Lemma for aaliou3 26735. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem4	⊢ 𝐿 ∈ ℝ

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐿(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem.d	. . 3 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
2		nnuz 13044	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	2	sumeq1i 15908	. . 3 ⊢ Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏)
4	1, 3	eqtri 2786	. 2 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏)
5		1nn 12386	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑ -(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1)))) = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑ -(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1))))
7		aaliou3lem.c	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑ -(!‘𝑎)))
8	6, 7	aaliou3lem3 26728	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑ -(!‘1)))))
9	8	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
10		rpre 13169	. . 3 ⊢ (Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
11	5, 9, 10	mp2b 10	. 2 ⊢ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ
12	4, 11	eqeltri 2860	1 ⊢ 𝐿 ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   ≤ cle 11383   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  ℤ_≥cuz 13005  ℝ⁺crp 13160  ...cfz 13679  seqcseq 14184  ↑cexp 14244  !cfa 14458   ⇝ cli 15695  Σcsu 15897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898

This theorem is used by:  aaliou3lem7  26733  aaliou3lem9  26734  aaliou3r  26736