Theorem aaliou3lem4 26255

Description: Lemma for aaliou3 26260. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem4	⊢ 𝐿 ∈ ℝ

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem.d	. . 3 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
2		nnuz 12881	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	2	sumeq1i 15662	. . 3 ⊢ Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏)
4	1, 3	eqtri 2755	. 2 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏)
5		1nn 12239	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1)))) = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1))))
7		aaliou3lem.c	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
8	6, 7	aaliou3lem3 26253	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
9	8	simp2d 1141	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+)
10		rpre 13000	. . 3 ⊢ (Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ+ → Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
11	5, 9, 10	mp2b 10	. 2 ⊢ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑏) ∈ ℝ
12	4, 11	eqeltri 2824	1 ⊢ 𝐿 ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   ≤ cle 11265   − cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  ℕcn 12228  2c2 12283  ℤ_≥cuz 12838  ℝ⁺crp 12992  ...cfz 13502  seqcseq 13984  ↑cexp 14044  !cfa 14250   ⇝ cli 15446  Σcsu 15650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651

This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  26258  aaliou3lem9  26259