Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumiunss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumiunss 42583
 Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set 𝐷. Similar to fsumiun 15224, but here 𝐴 and 𝐵 need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiunss.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
fsumiunss.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
fsumiunss.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumiunss.fi (𝜑𝐷 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
fsumiunss (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝐷,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumiunss
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2919 . . . . 5 𝑦(𝐵𝐷)
2 nfcsb1v 3829 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
3 nfcv 2919 . . . . . 6 𝑥𝐷
42, 3nfin 4121 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
5 csbeq1a 3819 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
65ineq1d 4116 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝐷) = (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
71, 4, 6cbviun 4925 . . . 4 𝑥𝐴 (𝐵𝐷) = 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
87sumeq1i 15103 . . 3 Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶
98a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶)
10 eliun 4887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
1110biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦𝐴 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
12 df-rex 3076 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
1311, 12sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
14 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑧
15 nfiu1 4917 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
1614, 15nfel 2933 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
17 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑦𝐴)
18 ne0i 4233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅)
1918adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅)
2017, 19jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅))
21 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑦
22 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑦𝐴
2322nfci 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐴
24 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥
254, 24nfne 3051 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅
266neeq1d 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵𝐷) ≠ ∅ ↔ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅))
2721, 23, 25, 26elrabf 3598 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ↔ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅))
2820, 27sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅})
29 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
3028, 29jca 515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))))
3216, 31eximd 2214 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → (∃𝑦(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))))
3313, 32mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
34 df-rex 3076 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
3533, 34sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
36 eliun 4887 . . . . . . . 8 (𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
3735, 36sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → 𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
3837rgen 3080 . . . . . 6 𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
39 dfss3 3880 . . . . . 6 ( 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∀𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
4038, 39mpbir 234 . . . . 5 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
41 elrabi 3596 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} → 𝑦𝐴)
4241ssriv 3896 . . . . . 6 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
43 iunss1 4897 . . . . . 6 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
4442, 43ax-mp 5 . . . . 5 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
4540, 44eqssi 3908 . . . 4 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) = 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
4645sumeq1i 15103 . . 3 Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶
4746a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶)
48 fsumiunss.b . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
49 fsumiunss.dj . . . . 5 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
50 fsumiunss.fi . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
5148, 49, 50disjinfi 42190 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∈ Fin)
52 inss2 4134 . . . . . . 7 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝐷
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝐷)
54 ssfi 8742 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝐷) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ∈ Fin)
5550, 53, 54syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ∈ Fin)
5655adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ∈ Fin)
5742a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
58 inss1 4133 . . . . . . . 8 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵
5958rgenw 3082 . . . . . . 7 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵
6059a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵)
61 nfcv 2919 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
62 eqcom 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
6362imbi1i 353 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵))
64 eqcom 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
6564imbi2i 339 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
6663, 65bitri 278 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
675, 66mpbi 233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
682, 61, 67cbvdisj 5007 . . . . . . 7 (Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵Disj 𝑥𝐴 𝐵)
6949, 68sylibr 237 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
70 disjss2 5000 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵 → (Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵Disj 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
7160, 69, 70sylc 65 . . . . 5 (𝜑Disj 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
72 disjss1 5003 . . . . 5 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → Disj 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
7357, 71, 72sylc 65 . . . 4 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
74 simpl 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝜑)
7541ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝑦𝐴)
7658sseli 3888 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
7776adantl 485 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
7877adantl 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
79 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
80 nfcv 2919 . . . . . . . . 9 𝑥𝑘
8180, 2nfel 2933 . . . . . . . 8 𝑥 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵
8279, 22, 81nf3an 1902 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
83 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑥 𝐶 ∈ ℂ
8482, 83nfim 1897 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
85 eleq1w 2834 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
865eleq2d 2837 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝑘𝑦 / 𝑥𝐵))
8785, 863anbi23d 1436 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)))
8887imbi1d 345 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)))
89 fsumiunss.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9084, 88, 89chvarfv 2240 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9174, 75, 78, 90syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
9251, 56, 73, 91fsumiun 15224 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶)
9367ineq1d 4116 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) = (𝐵𝐷))
9493sumeq1d 15106 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
95 nfrab1 3302 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}
96 nfcv 2919 . . . . 5 𝑦{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}
97 nfcv 2919 . . . . . 6 𝑥𝐶
984, 97nfsum 15095 . . . . 5 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶
99 nfcv 2919 . . . . 5 𝑦Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶
10094, 95, 96, 98, 99cbvsum 15100 . . . 4 Σ𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶
101100a1i 11 . . 3 (𝜑 → Σ𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
10292, 101eqtrd 2793 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
1039, 47, 1023eqtrd 2797 1 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074  ⦋csb 3805   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  ∪ ciun 4883  Disj wdisj 4997  Fincfn 8527  ℂcc 10573  Σcsu 15090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-ac2 9923  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-disj 4998  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-acn 9404  df-ac 9576  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091 This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  43420
 Copyright terms: Public domain W3C validator