Theorem fsumiunss 44226

Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set 𝐷. Similar to fsumiun 15763, but here 𝐴 and 𝐵 need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiunss.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
fsumiunss.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
fsumiunss.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumiunss.fi	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumiunss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝐷,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumiunss

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 ∩ 𝐷)
2		nfcsb1v 3917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
3		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
4	2, 3	nfin 4215	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
5		csbeq1a 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	5	ineq1d 4210	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∩ 𝐷) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
7	1, 4, 6	cbviun 5038	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷) = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
8	7	sumeq1i 15640	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
10		eliun 5000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
11	10	biimpi 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
12		df-rex 3072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
13	11, 12	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
14		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
15		nfiu1 5030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
16	14, 15	nfel 2918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
17		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18		ne0i 4333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
19	18	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
20	17, 19	jca 513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
21		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
22		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
23	22	nfci 2887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
24		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥∅
25	4, 24	nfne 3044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅
26	6	neeq1d 3001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅ ↔ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
27	21, 23, 25, 26	elrabf 3678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
28	20, 27	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅})
29		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
30	28, 29	jca 513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))))
32	16, 31	eximd 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))))
33	13, 32	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
34		df-rex 3072	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
35	33, 34	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
36		eliun 5000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
37	35, 36	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
38	37	rgen 3064	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
39		dfss3 3969	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∀𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
40	38, 39	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
41		elrabi 3676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} → 𝑦 ∈ 𝐴)
42	41	ssriv 3985	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
43		iunss1 5010	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
45	40, 44	eqssi 3997	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) = ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
46	45	sumeq1i 15640	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
47	46	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
48		fsumiunss.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
49		fsumiunss.dj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
50		fsumiunss.fi	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
51	48, 49, 50	disjinfi 43824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∈ Fin)
52		inss2 4228	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
54		ssfi 9169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
55	50, 53, 54	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
56	55	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
57	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
58		inss1 4227	. . . . . . . 8 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
59	58	rgenw 3066	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
60	59	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
61		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
62		eqcom 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
63	62	imbi1i 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
64		eqcom 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
65	64	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
66	63, 65	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
67	5, 66	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
68	2, 61, 67	cbvdisj 5122	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
69	49, 68	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
70		disjss2 5115	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
71	60, 69, 70	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
72		disjss1 5118	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
73	57, 71, 72	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
74		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝜑)
75	41	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
76	58	sseli 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
77	76	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
78	77	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
79		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
80		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
81	80, 2	nfel 2918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
82	79, 22, 81	nf3an 1905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
83		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ∈ ℂ
84	82, 83	nfim 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
85		eleq1w 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
86	5	eleq2d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
87	85, 86	3anbi23d 1440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
88	87	imbi1d 342	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)))
89		fsumiunss.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
90	84, 88, 89	chvarfv 2234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	74, 75, 78, 90	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	51, 56, 73, 91	fsumiun 15763	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
93	67	ineq1d 4210	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) = (𝐵 ∩ 𝐷))
94	93	sumeq1d 15643	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
95		nfrab1 3452	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}
96		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}
97		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
98	4, 97	nfsum 15633	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
99		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
100	94, 95, 96, 98, 99	cbvsum 15637	. . . 4 ⊢ Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
101	100	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
102	92, 101	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
103	9, 47, 102	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  ⦋csb 3892   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∪ ciun 4996  Disj wdisj 5112  Fincfn 8935  ℂcc 11104  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  45066