Theorem fsumiunss 41398

Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set 𝐷. Similar to fsumiun 15009, but here 𝐴 and 𝐵 need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiunss.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
fsumiunss.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
fsumiunss.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumiunss.fi	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumiunss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝐷,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumiunss

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 ∩ 𝐷)
2		nfcsb1v 3833	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
3		nfcv 2949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
4	2, 3	nfin 4113	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
5		csbeq1a 3824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	5	ineq1d 4108	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∩ 𝐷) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
7	1, 4, 6	cbviun 4864	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷) = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
8	7	sumeq1i 14888	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
10		eliun 4829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
11	10	biimpi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
12		df-rex 3111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
13	11, 12	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
14		nfcv 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
15		nfiu1 4856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
16	14, 15	nfel 2961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
17		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18		ne0i 4220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
20	17, 19	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
21		nfcv 2949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
22		nfv 1892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
23	22	nfci 2936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
24		nfcv 2949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥∅
25	4, 24	nfne 3087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅
26	6	neeq1d 3043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅ ↔ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
27	21, 23, 25, 26	elrabf 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
28	20, 27	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅})
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
30	28, 29	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))))
32	16, 31	eximd 2181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))))
33	13, 32	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
34		df-rex 3111	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
35	33, 34	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
36		eliun 4829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
37	35, 36	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
38	37	rgen 3115	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
39		dfss3 3878	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∀𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
40	38, 39	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
41		elrabi 3613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} → 𝑦 ∈ 𝐴)
42	41	ssriv 3893	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
43		iunss1 4838	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
45	40, 44	eqssi 3905	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) = ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
46	45	sumeq1i 14888	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
47	46	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
48		fsumiunss.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
49		fsumiunss.dj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
50		fsumiunss.fi	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
51	48, 49, 50	disjinfi 40994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∈ Fin)
52		inss2 4126	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
54		ssfi 8584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
55	50, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
56	55	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
57	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
58		inss1 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
59	58	rgenw 3117	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
60	59	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
61		nfcv 2949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
62		eqcom 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
63	62	imbi1i 351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
64		eqcom 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
65	64	imbi2i 337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
66	63, 65	bitri 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
67	5, 66	mpbi 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
68	2, 61, 67	cbvdisj 4940	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
69	49, 68	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
70		disjss2 4933	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
71	60, 69, 70	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
72		disjss1 4936	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
73	57, 71, 72	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
74		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝜑)
75	41	ad2antrl 724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
76	58	sseli 3885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
77	76	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
78	77	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
79		nfv 1892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
80		nfcv 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
81	80, 2	nfel 2961	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
82	79, 22, 81	nf3an 1883	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
83		nfv 1892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ∈ ℂ
84	82, 83	nfim 1878	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
85		eleq1w 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
86	5	eleq2d 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
87	85, 86	3anbi23d 1431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
88	87	imbi1d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)))
89		fsumiunss.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
90	84, 88, 89	chvar 2369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	74, 75, 78, 90	syl3anc 1364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	51, 56, 73, 91	fsumiun 15009	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
93	67	ineq1d 4108	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) = (𝐵 ∩ 𝐷))
94	93	sumeq1d 14891	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
95		nfrab1 3344	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}
96		nfcv 2949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}
97		nfcv 2949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
98	4, 97	nfsum 14881	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
99		nfcv 2949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
100	94, 95, 96, 98, 99	cbvsum 14885	. . . 4 ⊢ Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
101	100	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
102	92, 101	eqtrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
103	9, 47, 102	3eqtrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522  ∃wex 1761   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  ∃wrex 3106  {crab 3109  ⦋csb 3811   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211  ∪ ciun 4825  Disj wdisj 4930  Fincfn 8357  ℂcc 10381  Σcsu 14876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-ac2 9731  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-acn 9217  df-ac 9388  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  42239