Theorem fsumiunss 45888

Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set 𝐷. Similar to fsumiun 15748, but here 𝐴 and 𝐵 need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiunss.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
fsumiunss.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
fsumiunss.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumiunss.fi	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumiunss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝐷,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumiunss

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 ∩ 𝐷)
2		nfcsb1v 3874	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
3		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
4	2, 3	nfin 4177	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
5		csbeq1a 3864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	5	ineq1d 4172	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∩ 𝐷) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
7	1, 4, 6	cbviun 4991	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷) = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
8	7	sumeq1i 15624	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
10		eliun 4951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
11	10	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
12		df-rex 3062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
13	11, 12	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
14		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
15		nfiu1 4983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
16	14, 15	nfel 2914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
17		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18		ne0i 4294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
20	17, 19	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
21		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
22		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
23	22	nfci 2887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
24		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥∅
25	4, 24	nfne 3034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅
26	6	neeq1d 2992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅ ↔ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
27	21, 23, 25, 26	elrabf 3644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
28	20, 27	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅})
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
30	28, 29	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))))
32	16, 31	eximd 2224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))))
33	13, 32	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
34		df-rex 3062	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
35	33, 34	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
36		eliun 4951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
37	35, 36	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
38	37	rgen 3054	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
39		dfss3 3923	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∀𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
40	38, 39	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
41		elrabi 3643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} → 𝑦 ∈ 𝐴)
42	41	ssriv 3938	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
43		iunss1 4962	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
45	40, 44	eqssi 3951	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) = ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
46	45	sumeq1i 15624	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
47	46	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
48		fsumiunss.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
49		fsumiunss.dj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
50		fsumiunss.fi	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
51	48, 49, 50	disjinfi 45503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∈ Fin)
52		inss2 4191	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
54		ssfi 9101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
55	50, 53, 54	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
56	55	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
57	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
58		inss1 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
59	58	rgenw 3056	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
60	59	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
61		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
62		eqcom 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
63	62	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
64		eqcom 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
65	64	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
66	63, 65	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
67	5, 66	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
68	2, 61, 67	cbvdisj 5076	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
69	49, 68	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
70		disjss2 5069	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
71	60, 69, 70	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
72		disjss1 5072	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
73	57, 71, 72	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
74		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝜑)
75	41	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
76	58	sseli 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
77	76	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
78	77	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
79		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
80		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
81	80, 2	nfel 2914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
82	79, 22, 81	nf3an 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
83		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ∈ ℂ
84	82, 83	nfim 1898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
85		eleq1w 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
86	5	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
87	85, 86	3anbi23d 1442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
88	87	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)))
89		fsumiunss.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
90	84, 88, 89	chvarfv 2248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	74, 75, 78, 90	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	51, 56, 73, 91	fsumiun 15748	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
93	67	ineq1d 4172	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) = (𝐵 ∩ 𝐷))
94	93	sumeq1d 15627	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
95		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
96	4, 95	nfsum 15618	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
97		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
98	94, 96, 97	cbvsum 15622	. . . 4 ⊢ Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
99	98	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
100	92, 99	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
101	9, 47, 100	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {crab 3400  ⦋csb 3850   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ∪ ciun 4947  Disj wdisj 5066  Fincfn 8887  ℂcc 11028  Σcsu 15613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  46726