Theorem fsumiunss 45576

Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set 𝐷. Similar to fsumiun 15728, but here 𝐴 and 𝐵 need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiunss.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
fsumiunss.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
fsumiunss.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumiunss.fi	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumiunss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝐷,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumiunss

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 ∩ 𝐷)
2		nfcsb1v 3875	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
3		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
4	2, 3	nfin 4175	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
5		csbeq1a 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	5	ineq1d 4170	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∩ 𝐷) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
7	1, 4, 6	cbviun 4985	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷) = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
8	7	sumeq1i 15604	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
10		eliun 4945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
11	10	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
12		df-rex 3054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
13	11, 12	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
14		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
15		nfiu1 4977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
16	14, 15	nfel 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
17		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18		ne0i 4292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
20	17, 19	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
21		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
22		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
23	22	nfci 2879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
24		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥∅
25	4, 24	nfne 3026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅
26	6	neeq1d 2984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅ ↔ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
27	21, 23, 25, 26	elrabf 3644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
28	20, 27	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅})
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
30	28, 29	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))))
32	16, 31	eximd 2217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))))
33	13, 32	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
34		df-rex 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
35	33, 34	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
36		eliun 4945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
37	35, 36	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
38	37	rgen 3046	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
39		dfss3 3924	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ↔ ∀𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
40	38, 39	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
41		elrabi 3643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} → 𝑦 ∈ 𝐴)
42	41	ssriv 3939	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
43		iunss1 4956	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
45	40, 44	eqssi 3952	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) = ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)
46	45	sumeq1i 15604	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
47	46	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
48		fsumiunss.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
49		fsumiunss.dj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
50		fsumiunss.fi	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
51	48, 49, 50	disjinfi 45190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∈ Fin)
52		inss2 4189	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
54		ssfi 9087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
55	50, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
56	55	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ∈ Fin)
57	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
58		inss1 4188	. . . . . . . 8 ⊢ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
59	58	rgenw 3048	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
60	59	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
61		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
62		eqcom 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
63	62	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
64		eqcom 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
65	64	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
66	63, 65	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
67	5, 66	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
68	2, 61, 67	cbvdisj 5069	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
69	49, 68	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
70		disjss2 5062	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) ⊆ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
71	60, 69, 70	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
72		disjss1 5065	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)))
73	57, 71, 72	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))
74		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝜑)
75	41	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
76	58	sseli 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
77	76	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
78	77	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
79		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
80		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
81	80, 2	nfel 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
82	79, 22, 81	nf3an 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
83		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ∈ ℂ
84	82, 83	nfim 1896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
85		eleq1w 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
86	5	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
87	85, 86	3anbi23d 1441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
88	87	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)))
89		fsumiunss.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
90	84, 88, 89	chvarfv 2241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	74, 75, 78, 90	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	51, 56, 73, 91	fsumiun 15728	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
93	67	ineq1d 4170	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷) = (𝐵 ∩ 𝐷))
94	93	sumeq1d 15607	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
95		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
96	4, 95	nfsum 15598	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
97		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
98	94, 96, 97	cbvsum 15602	. . . 4 ⊢ Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶
99	98	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
100	92, 99	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅} (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)
101	9, 47, 100	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵 ∩ 𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394  ⦋csb 3851   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ∪ ciun 4941  Disj wdisj 5059  Fincfn 8872  ℂcc 11007  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  46416