Theorem efsep 15242

Description: Separate out the next term of the power series expansion of the exponential function. The last hypothesis allows the separated terms to be rearranged as desired. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efsep.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efsep.2	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
efsep.3	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
efsep.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efsep.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
efsep.6	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)))
efsep.7	⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
efsep	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efsep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efsep.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)))
2		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
3		efsep.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 11754	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		eqidd 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
7		eluznn0 12064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	3, 7	mpan 680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		efsep.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftval 15209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11	10	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12		efsep.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		eftcl 15206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
14	12, 13	sylan 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	11, 14	eqeltrd 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	8, 15	sylan2 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	9	eftlcvg 15238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	12, 3, 17	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
19	2, 5, 6, 16, 18	isum1p 14977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘)))
20	9	eftval 15209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑀) = ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)))
21	3, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑀) = ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))
22		efsep.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
23	22	eqcomi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
24	23	fveq2i 6449	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘𝑁)
25	24	sumeq1i 14836	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)
26	21, 25	oveq12i 6934	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))
27	19, 26	syl6eq 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
28	27	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))))
29		efsep.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
30		eftcl 15206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
31	12, 3, 30	sylancl 580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
32		peano2nn0 11684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
33	3, 32	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
34	22, 33	eqeltri 2855	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
35	9	eftlcl 15239	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	12, 34, 35	sylancl 580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	29, 31, 36	addassd 10399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))))
38	28, 37	eqtr4d 2817	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) = ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
39		efsep.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)
40	39	oveq1d 6937	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
41	1, 38, 40	3eqtrd 2818	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 4965  dom cdm 5355  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  1c1 10273   + caddc 10275   / cdiv 11032  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992  seqcseq 13119  ↑cexp 13178  !cfa 13378   ⇝ cli 14623  Σcsu 14824  expce 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825

This theorem is referenced by:  ef4p  15245  dveflem  24179