Theorem efsep 16035

Description: Separate out the next term of the power series expansion of the exponential function. The last hypothesis allows the separated terms to be rearranged as desired. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efsep.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efsep.2	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
efsep.3	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
efsep.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efsep.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
efsep.6	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)))
efsep.7	⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
efsep	⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efsep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efsep.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)))
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
3		efsep.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12516	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
7		eluznn0 12830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	3, 7	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		efsep.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftval 15999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12		efsep.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		eftcl 15996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
14	12, 13	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	11, 14	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	8, 15	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	9	eftlcvg 16031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
18	12, 3, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
19	2, 5, 6, 16, 18	isum1p 15764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘)))
20	9	eftval 15999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑀) = ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)))
21	3, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑀) = ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))
22		efsep.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
23	22	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
24	23	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘𝑁)
25	24	sumeq1i 15620	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)
26	21, 25	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))
27	19, 26	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
28	27	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))))
29		efsep.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
30		eftcl 15996	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
31	12, 3, 30	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
32		peano2nn0 12441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
33	3, 32	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
34	22, 33	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
35	9	eftlcl 16032	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	12, 34, 35	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	29, 31, 36	addassd 11154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘))))
38	28, 37	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) = ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
39		efsep.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)
40	39	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴↑𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))
41	1, 38, 40	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   / cdiv 11794  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  seqcseq 13924  ↑cexp 13984  !cfa 14196   ⇝ cli 15407  Σcsu 15609  expce 15984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  ef4p  16038  dveflem  25939