MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumnn0nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumnn0nn 15820
Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumnn0nn.1 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
isumnn0nn.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumnn0nn.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumnn0nn.4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumnn0nn (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12894 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12600 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 isumnn0nn.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumnn0nn.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 isumnn0nn.4 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
61, 2, 3, 4, 5isum1p 15819 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴))
7 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
8 isumnn0nn.1 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
97, 8eqeq12d 2741 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘0) = 𝐵))
103ralrimiva 3136 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = 𝐴)
11 0nn0 12517 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
139, 10, 12rspcdva 3602 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐵)
14 0p1e1 12364 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
1514fveq2i 6895 . . . . . 6 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
16 nnuz 12895 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16eqtr4i 2756 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
1817sumeq1i 15676 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
2013, 19oveq12d 7434 . 2 (𝜑 → ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
216, 20eqtrd 2765 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  dom cdm 5672  cfv 6543  (class class class)co 7416  cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  cn 12242  0cn0 12502  cuz 12852  seqcseq 13998  cli 15460  Σcsu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator