Theorem isumnn0nn 15603

Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumnn0nn.1	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
isumnn0nn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumnn0nn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumnn0nn.4	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumnn0nn	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12670	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12381	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		isumnn0nn.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumnn0nn.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		isumnn0nn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
6	1, 2, 3, 4, 5	isum1p 15602	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴))
7		fveq2 6804	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
8		isumnn0nn.1	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
9	7, 8	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘0) = 𝐵))
10	3	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
11		0nn0 12298	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13	9, 10, 12	rspcdva 3567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐵)
14		0p1e1 12145	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
15	14	fveq2i 6807	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
16		nnuz 12671	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eqtr4i 2767	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
18	17	sumeq1i 15459	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
20	13, 19	oveq12d 7325	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
21	6, 20	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  dom cdm 5600  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  0cc0 10921  1c1 10922   + caddc 10924  ℕcn 12023  ℕ₀cn0 12283  ℤ_≥cuz 12632  seqcseq 13771   ⇝ cli 15242  Σcsu 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-seq 13772  df-exp 13833  df-hash 14095  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-clim 15246  df-sum 15447

This theorem is referenced by: (None)