Theorem isumnn0nn 15535

Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumnn0nn.1	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
isumnn0nn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumnn0nn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumnn0nn.4	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumnn0nn	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12602	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12314	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		isumnn0nn.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumnn0nn.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		isumnn0nn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
6	1, 2, 3, 4, 5	isum1p 15534	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴))
7		fveq2 6768	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
8		isumnn0nn.1	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
9	7, 8	eqeq12d 2755	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘0) = 𝐵))
10	3	ralrimiva 3109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
11		0nn0 12231	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13	9, 10, 12	rspcdva 3562	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐵)
14		0p1e1 12078	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
15	14	fveq2i 6771	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
16		nnuz 12603	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eqtr4i 2770	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
18	17	sumeq1i 15391	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
20	13, 19	oveq12d 7286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
21	6, 20	eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  dom cdm 5588  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  ℤ_≥cuz 12564  seqcseq 13702   ⇝ cli 15174  Σcsu 15378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379

This theorem is referenced by: (None)