MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsump1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsump1i 14708
Description: Optimized version of fsump1 14695 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsump1i.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsump1i.2 𝑁 = (𝐾 + 1)
fsump1i.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
fsump1i.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsump1i.5 (𝜑 → (𝐾𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
fsump1i.6 (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
fsump1i (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsump1i
StepHypRef Expression
1 fsump1i.2 . . 3 𝑁 = (𝐾 + 1)
2 fsump1i.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
32simpld 482 . . . . 5 (𝜑𝐾𝑍)
4 fsump1i.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleq 2860 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
6 peano2uz 11943 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
76, 4syl6eleqr 2861 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
91, 8syl5eqel 2854 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
101oveq2i 6804 . . . . 5 (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝐾 + 1))
1110sumeq1i 14636 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴
12 elfzuz 12545 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1312, 4syl6eleqr 2861 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘𝑍)
14 fsump1i.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
1513, 14sylan2 580 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
161eqeq2i 2783 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝑘 = (𝐾 + 1))
17 fsump1i.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
1816, 17sylbir 225 . . . . 5 (𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
195, 15, 18fsump1 14695 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
2011, 19syl5eq 2817 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
212simprd 483 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆)
2221oveq1d 6808 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵) = (𝑆 + 𝐵))
23 fsump1i.6 . . 3 (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
2420, 22, 233eqtrd 2809 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇)
259, 24jca 501 1 (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  1c1 10139   + caddc 10141  cuz 11888  ...cfz 12533  Σcsu 14624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625
This theorem is referenced by:  cphipval  23261  itgcnlem  23776  vieta1  24287  ipval2  27902  subfacval2  31507
  Copyright terms: Public domain W3C validator