Theorem fsump1i 15676

Description: Optimized version of fsump1 15663 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsump1i.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsump1i.2	⊢ 𝑁 = (𝐾 + 1)
fsump1i.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
fsump1i.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsump1i.5	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
fsump1i.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
fsump1i	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsump1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsump1i.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐾 + 1)
2		fsump1i.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
3	2	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
4		fsump1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 12802	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	6, 4	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
9	1, 8	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
10	1	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝐾 + 1))
11	10	sumeq1i 15604	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴
12		elfzuz 13423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	12, 4	eleqtrrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		fsump1i.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	13, 14	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1	eqeq2i 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1))
17		fsump1i.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
18	16, 17	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
19	5, 15, 18	fsump1 15663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
20	11, 19	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
21	2	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆)
22	21	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵) = (𝑆 + 𝐵))
23		fsump1i.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
24	20, 22, 23	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇)
25	9, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   + caddc 11012  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  cphipval  25141  itgcnlem  25689  vieta1  26218  ipval2  30651  subfacval2  35160