MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsump1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsump1i 14839
Description: Optimized version of fsump1 14826 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsump1i.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsump1i.2 𝑁 = (𝐾 + 1)
fsump1i.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
fsump1i.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsump1i.5 (𝜑 → (𝐾𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
fsump1i.6 (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
fsump1i (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsump1i
StepHypRef Expression
1 fsump1i.2 . . 3 𝑁 = (𝐾 + 1)
2 fsump1i.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
32simpld 489 . . . . 5 (𝜑𝐾𝑍)
4 fsump1i.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleq 2888 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
6 peano2uz 11985 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
76, 4syl6eleqr 2889 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
91, 8syl5eqel 2882 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
101oveq2i 6889 . . . . 5 (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝐾 + 1))
1110sumeq1i 14769 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴
12 elfzuz 12592 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1312, 4syl6eleqr 2889 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘𝑍)
14 fsump1i.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
1513, 14sylan2 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
161eqeq2i 2811 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝑘 = (𝐾 + 1))
17 fsump1i.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
1816, 17sylbir 227 . . . . 5 (𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
195, 15, 18fsump1 14826 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
2011, 19syl5eq 2845 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
212simprd 490 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆)
2221oveq1d 6893 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵) = (𝑆 + 𝐵))
23 fsump1i.6 . . 3 (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
2420, 22, 233eqtrd 2837 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇)
259, 24jca 508 1 (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  1c1 10225   + caddc 10227  cuz 11930  ...cfz 12580  Σcsu 14757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758
This theorem is referenced by:  cphipval  23369  itgcnlem  23897  vieta1  24408  ipval2  28087  subfacval2  31686
  Copyright terms: Public domain W3C validator