Theorem fsump1i 15722

Description: Optimized version of fsump1 15709 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsump1i.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsump1i.2	⊢ 𝑁 = (𝐾 + 1)
fsump1i.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
fsump1i.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsump1i.5	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
fsump1i.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
fsump1i	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsump1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsump1i.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐾 + 1)
2		fsump1i.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
3	2	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
4		fsump1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 12892	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	6, 4	eleqtrrdi 2843	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
9	1, 8	eqeltrid 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
10	1	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝐾 + 1))
11	10	sumeq1i 15651	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴
12		elfzuz 13504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	12, 4	eleqtrrdi 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		fsump1i.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	13, 14	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1	eqeq2i 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1))
17		fsump1i.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
18	16, 17	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
19	5, 15, 18	fsump1 15709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
20	11, 19	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
21	2	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆)
22	21	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵) = (𝑆 + 𝐵))
23		fsump1i.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
24	20, 22, 23	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇)
25	9, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  1c1 11117   + caddc 11119  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  cphipval  25004  itgcnlem  25552  vieta1  26075  ipval2  30242  subfacval2  34491