Theorem fsump1i 15805

Description: Optimized version of fsump1 15792 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsump1i.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsump1i.2	⊢ 𝑁 = (𝐾 + 1)
fsump1i.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
fsump1i.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsump1i.5	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
fsump1i.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
fsump1i	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsump1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsump1i.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐾 + 1)
2		fsump1i.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
3	2	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
4		fsump1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrdi 2851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 12943	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	6, 4	eleqtrrdi 2852	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
9	1, 8	eqeltrid 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
10	1	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝐾 + 1))
11	10	sumeq1i 15733	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴
12		elfzuz 13560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	12, 4	eleqtrrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		fsump1i.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	13, 14	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1	eqeq2i 2750	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1))
17		fsump1i.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
18	16, 17	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
19	5, 15, 18	fsump1 15792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
20	11, 19	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
21	2	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆)
22	21	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵) = (𝑆 + 𝐵))
23		fsump1i.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
24	20, 22, 23	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇)
25	9, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  cphipval  25277  itgcnlem  25825  vieta1  26354  ipval2  30726  subfacval2  35192