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Theorem advlogexp 25246

Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set 𝐴 = 1 and multiply by (-1)↑𝑁 · 𝑁! to get the antiderivative of log(𝑥)↑𝑁 itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
advlogexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑘,𝐴 𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem advlogexp Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13336	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0...𝑁) ∈ Fin)
2		rpcn 12387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		rpdivcl 12402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
5	4	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
6	5	relogcld 25214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ)
7		elfznn0 12995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
8		reexpcl 13442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
10	7	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
11	10	faccld 13640	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
12	9, 11	nndivred 11679	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
14	1, 3, 13	fsummulc2 15131	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
15		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
16		nn0uz 12268	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
17	15, 16	eleqtrdi 2900	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
18	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18, 13	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
20		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0))
21		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
22		fac0 13632	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
24	20, 23	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1))
25	24	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
26	17, 19, 25	fsum1p 15100	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
27	6	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
28	27	exp0d 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) = 1)
29	28	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = (1 / 1))
30		1div1e1 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = 1)
32	31	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = (𝑥 · 1))
33	3	mulid1d 10647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
34	32, 33	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = 𝑥)
35		1zzd 12001	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℤ)
36		nn0z 11993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℤ)
38		fz1ssfz0 12998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
39	38	sseli 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
40	39, 19	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
41		oveq2 7143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
42		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑗 + 1)))
43	41, 42	oveq12d 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
44	43	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
45	35, 35, 37, 40, 44	fsumshftm 15128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
46		0p1e1 11747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
47	46	oveq1i 7145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
48	47	sumeq1i 15047	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
50		1m1e0 11697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
51	50	oveq1i 7145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 − 1)..^𝑁) = (0..^𝑁)
52		fzoval 13034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
53	37, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
54	51, 53	syl5eqr 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
55	54	sumeq1d 15050	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
56	45, 49, 55	3eqtr4d 2843	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
57	34, 56	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
58	14, 26, 57	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
59	58	mpteq2dva 5125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))))
60	59	oveq2d 7151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))))
61		reelprrecn 10618	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
63		1cnd 10625	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
64		recn 10616	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
65	64	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
66		1cnd 10625	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
67	62	dvmptid 24560	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
68		rpssre 12384	. . . . 5 ⊢ ℝ⁺ ⊆ ℝ
69	68	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ℝ⁺ ⊆ ℝ)
70		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
71	70	tgioo2 23408	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
72		ioorp 12803	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ⁺
73		iooretop 23371	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
74	72, 73	eqeltrri 2887	. . . . 5 ⊢ ℝ⁺ ∈ (topGen‘ran (,))
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ℝ⁺ ∈ (topGen‘ran (,)))
76	62, 65, 66, 67, 69, 71, 70, 75	dvmptres 24566	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 1))
77		fzofi 13337	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
79	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
80		elfzonn0 13077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
81		peano2nn0 11925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
83		reexpcl 13442	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
84	6, 82, 83	syl2an 598	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
85	82	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
86	85	faccld 13640	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
87	84, 86	nndivred 11679	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
88	87	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
89	79, 88	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
90	78, 89	fsumcl 15082	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
91	6, 15	reexpcld 13523	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) ∈ ℝ)
92		faccl 13639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
93	92	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
94	91, 93	nndivred 11679	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
95	94	recnd 10658	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
96		ax-1cn 10584	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
97		subcl 10874	. . . 4 ⊢ (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
98	95, 96, 97	sylancl 589	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
99	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
100	89	an32s 651	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
101	100	3impa 1107	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
102		reexpcl 13442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
103	6, 80, 102	syl2an 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
104	80	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
105	104	faccld 13640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
106	103, 105	nndivred 11679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℝ)
107	106	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
108	88, 107	subcld 10986	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
109	108	an32s 651	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
110	109	3impa 1107	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
111	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
112	2	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℂ)
113		1cnd 10625	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
114	76	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 1))
115	88	an32s 651	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
116		negex 10873	. . . . . . . 8 ⊢ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V)
118		cnelprrecn 10619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
120	27	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
121		negex 10873	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(1 / 𝑥) ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → -(1 / 𝑥) ∈ V)
123		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
124	80	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
125	124, 81	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
126		expcl 13443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
127	123, 125, 126	syl2anr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
128	125	faccld 13640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
129	128	nncnd 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
130	129	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
131	128	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
132	131	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
133	127, 130, 132	divcld 11405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
134		expcl 13443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (𝑦↑𝑗) ∈ ℂ)
135	123, 124, 134	syl2anr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑗) ∈ ℂ)
136	124	faccld 13640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
137	136	nncnd 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
138	137	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
139	124	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
140	139	faccld 13640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
141	140	nnne0d 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ≠ 0)
142	135, 138, 141	divcld 11405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
143		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
144		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
145	143, 144	relogdivd 25217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) = ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))
146	145	mpteq2dva 5125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥))))
147	146	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))))
148		relogcl 25167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
149	148	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
150	149	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
151	150	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
152		0cnd 10623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ∈ ℂ)
153	150	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
154		0cnd 10623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
155	111, 150	dvmptc 24561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
156	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ⁺ ⊆ ℝ)
157	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ⁺ ∈ (topGen‘ran (,)))
158	111, 153, 154, 155, 156, 71, 70, 157	dvmptres 24566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 0))
159	144	relogcld 25214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
160	159	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
161	144	rpreccld 12429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
162		dvrelog 25228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D (log ↾ ℝ⁺)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / 𝑥))
163		relogf1o 25158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺–1-1-onto→ℝ
164		f1of 6590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺⟶ℝ)
165	163, 164	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺⟶ℝ)
166	165	feqmptd 6708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ⁺) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log ↾ ℝ⁺)‘𝑥)))
167		fvres 6664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ((log ↾ ℝ⁺)‘𝑥) = (log‘𝑥))
168	167	mpteq2ia 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log ↾ ℝ⁺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥))
169	166, 168	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ⁺) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥)))
170	169	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (log ↾ ℝ⁺)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥))))
171	162, 170	syl5reqr 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / 𝑥)))
172	111, 151, 152, 158, 160, 161, 171	dvmptsub 24570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
173	147, 172	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
174		df-neg 10862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 / 𝑥) = (0 − (1 / 𝑥))
175	174	mpteq2i 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -(1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (0 − (1 / 𝑥)))
176	173, 175	eqtr4di 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -(1 / 𝑥)))
177		ovexd 7170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) ∈ V)
178		nn0p1nn 11924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
179	124, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
180		dvexp 24556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
181	179, 180	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
182	119, 127, 177, 181, 129, 131	dvmptdivc 24568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))))
183	124	nn0cnd 11945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
184	183	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
185		pncan 10881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
186	184, 96, 185	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
187	186	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑦↑𝑗))
188	187	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑦↑𝑗)))
189		facp1 13634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
190	139, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
191		peano2cn 10801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
192	184, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
193	138, 192	mulcomd 10651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
194	190, 193	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
195	188, 194	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((𝑗 + 1) · (𝑦↑𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))))
196	179	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
197	196	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
198	135, 138, 192, 141, 197	divcan5d 11431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))) = ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)))
199	195, 198	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)))
200	199	mpteq2dva 5125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗))))
201	182, 200	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗))))
202		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
203	202	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
204		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦↑𝑗) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
205	204	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
206	111, 119, 120, 122, 133, 142, 176, 201, 203, 205	dvmptco 24575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))))
207	107	an32s 651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
208	161	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
209	207, 208	mulneg2d 11083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
210		rpne0 12393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ≠ 0)
211	210	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ≠ 0)
212	207, 112, 211	divrecd 11408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
213	212	negeqd 10869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
214	209, 213	eqtr4d 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥))
215	214	mpteq2dva 5125	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
216	206, 215	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
217	111, 112, 113, 114, 115, 117, 216	dvmptmul 24564	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))))
218	88	mulid2d 10648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
219		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
220	106, 219	rerpdivcld 12450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℝ)
221	220	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℂ)
222	221, 79	mulneg1d 11082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))
223	211	an32s 651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
224	107, 79, 223	divcan1d 11406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
225	224	negeqd 10869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
226	222, 225	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
227	218, 226	oveq12d 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
228	88, 107	negsubd 10992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
229	227, 228	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
230	229	an32s 651	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
231	230	mpteq2dva 5125	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
232	217, 231	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
233	71, 70, 62, 75, 99, 101, 110, 232	dvmptfsum 24578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
234		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
235		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (!‘𝑘) = (!‘𝑗))
236	234, 235	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
237		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁))
238		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
239	237, 238	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
240	236, 43, 24, 239, 17, 13	telfsumo2 15150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
241	31	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
242	240, 241	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
243	242	mpteq2dva 5125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
244	233, 243	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
245	62, 3, 63, 76, 90, 98, 244	dvmptadd 24563	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))))
246		pncan3 10883	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
247	96, 95, 246	sylancr 590	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
248	247	mpteq2dva 5125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))
249	60, 245, 248	3eqtrd 2837	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 Vcvv 3441 ⊆ wss 3881 {cpr 4527 ↦ cmpt 5110 ran crn 5520 ↾ cres 5521 ⟶wf 6320 –1-1-onto→wf1o 6323 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 Fincfn 8492 ℂcc 10524 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 +∞cpnf 10661 − cmin 10859 -cneg 10860 / cdiv 11286 ℕcn 11625 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 ℤ_≥cuz 12231 ℝ⁺crp 12377 (,)cioo 12726 ...cfz 12885 ..^cfzo 13028 ↑cexp 13425 !cfa 13629 Σcsu 15034 TopOpenctopn 16687 topGenctg 16703 ℂ_fldccnfld 20091 D cdv 24466 logclog 25146

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604 ax-addf 10605 ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-iin 4884 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-se 5479 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-isom 6333 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-of 7389 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-supp 7814 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-er 8272 df-map 8391 df-pm 8392 df-ixp 8445 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-fsupp 8818 df-fi 8859 df-sup 8890 df-inf 8891 df-oi 8958 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-5 11691 df-6 11692 df-7 11693 df-8 11694 df-9 11695 df-n0 11886 df-z 11970 df-dec 12087 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-xneg 12495 df-xadd 12496 df-xmul 12497 df-ioo 12730 df-ioc 12731 df-ico 12732 df-icc 12733 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-fl 13157 df-mod 13233 df-seq 13365 df-exp 13426 df-fac 13630 df-bc 13659 df-hash 13687 df-shft 14418 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-limsup 14820 df-clim 14837 df-rlim 14838 df-sum 15035 df-ef 15413 df-sin 15415 df-cos 15416 df-pi 15418 df-struct 16477 df-ndx 16478 df-slot 16479 df-base 16481 df-sets 16482 df-ress 16483 df-plusg 16570 df-mulr 16571 df-starv 16572 df-sca 16573 df-vsca 16574 df-ip 16575 df-tset 16576 df-ple 16577 df-ds 16579 df-unif 16580 df-hom 16581 df-cco 16582 df-rest 16688 df-topn 16689 df-0g 16707 df-gsum 16708 df-topgen 16709 df-pt 16710 df-prds 16713 df-xrs 16767 df-qtop 16772 df-imas 16773 df-xps 16775 df-mre 16849 df-mrc 16850 df-acs 16852 df-mgm 17844 df-sgrp 17893 df-mnd 17904 df-submnd 17949 df-mulg 18217 df-cntz 18439 df-cmn 18900 df-psmet 20083 df-xmet 20084 df-met 20085 df-bl 20086 df-mopn 20087 df-fbas 20088 df-fg 20089 df-cnfld 20092 df-top 21499 df-topon 21516 df-topsp 21538 df-bases 21551 df-cld 21624 df-ntr 21625 df-cls 21626 df-nei 21703 df-lp 21741 df-perf 21742 df-cn 21832 df-cnp 21833 df-haus 21920 df-cmp 21992 df-tx 22167 df-hmeo 22360 df-fil 22451 df-fm 22543 df-flim 22544 df-flf 22545 df-xms 22927 df-ms 22928 df-tms 22929 df-cncf 23483 df-limc 24469 df-dv 24470 df-log 25148

This theorem is referenced by: logexprlim 25809

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