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Theorem advlogexp 26686

Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set 𝐴 = 1 and multiply by (-1)↑𝑁 · 𝑁! to get the antiderivative of log(𝑥)↑𝑁 itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
advlogexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑘,𝐴 𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem advlogexp Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13972	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0...𝑁) ∈ Fin)
2		rpcn 12990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		rpdivcl 13006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
5	4	adantlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
6	5	relogcld 26654	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ)
7		elfznn0 13611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
8		reexpcl 14077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2an 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
10	7	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
11	10	faccld 14283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
12	9, 11	nndivred 12253	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11196	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
14	1, 3, 13	fsummulc2 15783	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
15		simplr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
16		nn0uz 12863	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
17	15, 16	eleqtrdi 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
18	3	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18, 13	mulcld 11188	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
20		oveq2 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0))
21		fveq2 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
22		fac0 14275	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
24	20, 23	oveq12d 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1))
25	24	oveq2d 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
26	17, 19, 25	fsum1p 15752	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
27	6	recnd 11196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
28	27	exp0d 14139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) = 1)
29	28	oveq1d 7396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = (1 / 1))
30		1div1e1 11867	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = 1)
32	31	oveq2d 7397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = (𝑥 · 1))
33	3	mulridd 11185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
34	32, 33	eqtrd 2787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = 𝑥)
35		1zzd 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℤ)
36		nn0z 12578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
37	36	ad2antlr 735	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℤ)
38		fz1ssfz0 13614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
39	38	sseli 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
40	39, 19	sylan2 601	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
41		oveq2 7389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
42		fveq2 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑗 + 1)))
43	41, 42	oveq12d 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
44	43	oveq2d 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
45	35, 35, 37, 40, 44	fsumshftm 15780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
46		0p1e1 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
47	46	oveq1i 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
48	47	sumeq1i 15696	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
50		1m1e0 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
51	50	oveq1i 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 − 1)..^𝑁) = (0..^𝑁)
52		fzoval 13651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
53	37, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
54	51, 53	eqtr3id 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
55	54	sumeq1d 15699	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
56	45, 49, 55	3eqtr4d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
57	34, 56	oveq12d 7399	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
58	14, 26, 57	3eqtrd 2791	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
59	58	mpteq2dva 5183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))))
60	59	oveq2d 7397	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))))
61		reelprrecn 11151	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
63		1cnd 11161	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
64		recn 11149	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
65	64	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
66		1cnd 11161	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
67	62	dvmptid 25988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
68		rpssre 12987	. . . . 5 ⊢ ℝ⁺ ⊆ ℝ
69	68	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ℝ⁺ ⊆ ℝ)
70		tgioo4 24834	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
71		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
72		ioorp 13415	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ⁺
73		iooretop 24794	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
74	72, 73	eqeltrri 2849	. . . . 5 ⊢ ℝ⁺ ∈ (topGen‘ran (,))
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ℝ⁺ ∈ (topGen‘ran (,)))
76	62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 75	dvmptres 25994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 1))
77		fzofi 13973	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
79	3	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
80		elfzonn0 13699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
81		peano2nn0 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
83		reexpcl 14077	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
84	6, 82, 83	syl2an 604	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
85	82	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
86	85	faccld 14283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
87	84, 86	nndivred 12253	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
88	87	recnd 11196	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
89	79, 88	mulcld 11188	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
90	78, 89	fsumcl 15732	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
91	6, 15	reexpcld 14162	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) ∈ ℝ)
92		faccl 14282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
93	92	ad2antlr 735	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
94	91, 93	nndivred 12253	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11196	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
96		ax-1cn 11117	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
97		subcl 11415	. . . 4 ⊢ (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
98	95, 96, 97	sylancl 594	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
99	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
100	89	an32s 660	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
101	100	3impa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
102		reexpcl 14077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
103	6, 80, 102	syl2an 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
104	80	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
105	104	faccld 14283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
106	103, 105	nndivred 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℝ)
107	106	recnd 11196	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
108	88, 107	subcld 11528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
109	108	an32s 660	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
110	109	3impa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
111	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
112	2	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℂ)
113		1cnd 11161	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
114	76	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 1))
115	88	an32s 660	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
116		negex 11414	. . . . . . . 8 ⊢ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V)
118		cnelprrecn 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
120	27	adantlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
121		negex 11414	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(1 / 𝑥) ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → -(1 / 𝑥) ∈ V)
123		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
124	80	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
125	124, 81	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
126		expcl 14078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
127	123, 125, 126	syl2anr 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
128	125	faccld 14283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
129	128	nncnd 12212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
130	129	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
131	128	nnne0d 12249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
132	131	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
133	127, 130, 132	divcld 11953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
134		expcl 14078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (𝑦↑𝑗) ∈ ℂ)
135	123, 124, 134	syl2anr 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑗) ∈ ℂ)
136	124	faccld 14283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
137	136	nncnd 12212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
138	137	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
139	124	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
140	139	faccld 14283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
141	140	nnne0d 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ≠ 0)
142	135, 138, 141	divcld 11953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
143		simplll 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
144		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
145	143, 144	relogdivd 26657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) = ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))
146	145	mpteq2dva 5183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥))))
147	146	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))))
148		relogcl 26606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
149	148	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
150	149	recnd 11196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
151	150	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
152		0cnd 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ∈ ℂ)
153	150	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
154		0cnd 11158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
155	111, 150	dvmptc 25989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
156	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ⁺ ⊆ ℝ)
157	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ⁺ ∈ (topGen‘ran (,)))
158	111, 153, 154, 155, 156, 70, 71, 157	dvmptres 25994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 0))
159	144	relogcld 26654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
160	159	recnd 11196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
161	144	rpreccld 13033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
162		relogf1o 26597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺–1-1-onto→ℝ
163		f1of 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺⟶ℝ)
164	162, 163	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺⟶ℝ)
165	164	feqmptd 6920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ⁺) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log ↾ ℝ⁺)‘𝑥)))
166		fvres 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ((log ↾ ℝ⁺)‘𝑥) = (log‘𝑥))
167	166	mpteq2ia 5185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log ↾ ℝ⁺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥))
168	165, 167	eqtrdi 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ⁺) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥)))
169	168	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (log ↾ ℝ⁺)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥))))
170		dvrelog 26668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D (log ↾ ℝ⁺)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / 𝑥))
171	169, 170	eqtr3di 2802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / 𝑥)))
172	111, 151, 152, 158, 160, 161, 171	dvmptsub 25998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
173	147, 172	eqtrd 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
174		df-neg 11403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 / 𝑥) = (0 − (1 / 𝑥))
175	174	mpteq2i 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -(1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (0 − (1 / 𝑥)))
176	173, 175	eqtr4di 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -(1 / 𝑥)))
177		ovexd 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) ∈ V)
178		nn0p1nn 12506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
179	124, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
180		dvexp 25984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
181	179, 180	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
182	119, 127, 177, 181, 129, 131	dvmptdivc 25996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))))
183	124	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
184	183	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
185		pncan 11422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
186	184, 96, 185	sylancl 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
187	186	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑦↑𝑗))
188	187	oveq2d 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑦↑𝑗)))
189		facp1 14277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
190	139, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
191		peano2cn 11341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
192	184, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
193	138, 192	mulcomd 11189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
194	190, 193	eqtrd 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
195	188, 194	oveq12d 7399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((𝑗 + 1) · (𝑦↑𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))))
196	179	nnne0d 12249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
197	196	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
198	135, 138, 192, 141, 197	divcan5d 11979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))) = ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)))
199	195, 198	eqtrd 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)))
200	199	mpteq2dva 5183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗))))
201	182, 200	eqtrd 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗))))
202		oveq1 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
203	202	oveq1d 7396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
204		oveq1 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦↑𝑗) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
205	204	oveq1d 7396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
206	111, 119, 120, 122, 133, 142, 176, 201, 203, 205	dvmptco 26003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))))
207	107	an32s 660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
208	161	rpcnd 13025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
209	207, 208	mulneg2d 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
210		rpne0 12996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ≠ 0)
211	210	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ≠ 0)
212	207, 112, 211	divrecd 11956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
213	212	negeqd 11410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
214	209, 213	eqtr4d 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥))
215	214	mpteq2dva 5183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
216	206, 215	eqtrd 2787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
217	111, 112, 113, 114, 115, 117, 216	dvmptmul 25992	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))))
218	88	mullidd 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
219		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
220	106, 219	rerpdivcld 13054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℝ)
221	220	recnd 11196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℂ)
222	221, 79	mulneg1d 11626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))
223	211	an32s 660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
224	107, 79, 223	divcan1d 11954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
225	224	negeqd 11410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
226	222, 225	eqtrd 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
227	218, 226	oveq12d 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
228	88, 107	negsubd 11534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
229	227, 228	eqtrd 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
230	229	an32s 660	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
231	230	mpteq2dva 5183	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
232	217, 231	eqtrd 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
233	70, 71, 62, 75, 99, 101, 110, 232	dvmptfsum 26006	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
234		oveq2 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
235		fveq2 6852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (!‘𝑘) = (!‘𝑗))
236	234, 235	oveq12d 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
237		oveq2 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁))
238		fveq2 6852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
239	237, 238	oveq12d 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
240	236, 43, 24, 239, 17, 13	telfsumo2 15803	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
241	31	oveq2d 7397	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
242	240, 241	eqtrd 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
243	242	mpteq2dva 5183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
244	233, 243	eqtrd 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
245	62, 3, 63, 76, 90, 98, 244	dvmptadd 25991	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))))
246		pncan3 11424	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
247	96, 95, 246	sylancr 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
248	247	mpteq2dva 5183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))
249	60, 245, 248	3eqtrd 2791	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 398 = wceq 1550 ∈ wcel 2132 ≠ wne 2947 Vcvv 3444 ⊆ wss 3895 {cpr 4574 ↦ cmpt 5171 ran crn 5637 ↾ cres 5638 ⟶wf 6502 –1-1-onto→wf1o 6505 ‘cfv 6506 (class class class)co 7381 Fincfn 8912 ℂcc 11057 ℝcr 11058 0cc0 11059 1c1 11060 + caddc 11062 · cmul 11064 +∞cpnf 11199 − cmin 11400 -cneg 11401 / cdiv 11830 ℕcn 12196 ℕ₀cn0 12467 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12825 ℝ⁺crp 12979 (,)cioo 13335 ...cfz 13498 ..^cfzo 13645 ↑cexp 14060 !cfa 14272 Σcsu 15685 TopOpenctopn 17422 topGenctg 17438 ℂ_fldccnfld 21393 D cdv 25894 logclog 26585

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1805 ax-4 1819 ax-5 1920 ax-6 1977 ax-7 2018 ax-8 2134 ax-9 2142 ax-10 2165 ax-11 2181 ax-12 2202 ax-ext 2724 ax-rep 5217 ax-sep 5236 ax-nul 5246 ax-pow 5312 ax-pr 5380 ax-un 7703 ax-inf2 9582 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-pre-sup 11137 ax-addf 11138

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 857 df-3or 1096 df-3an 1097 df-tru 1553 df-fal 1563 df-ex 1790 df-nf 1794 df-sb 2081 df-mo 2556 df-eu 2586 df-clab 2731 df-cleq 2744 df-clel 2827 df-nfc 2901 df-ne 2948 df-nel 3052 df-ral 3067 df-rex 3077 df-rmo 3357 df-reu 3358 df-rab 3405 df-v 3446 df-sbc 3736 df-csb 3844 df-dif 3898 df-un 3900 df-in 3902 df-ss 3912 df-pss 3915 df-nul 4277 df-if 4471 df-pw 4547 df-sn 4573 df-pr 4575 df-tp 4577 df-op 4579 df-uni 4856 df-int 4896 df-iun 4941 df-iin 4942 df-br 5091 df-opab 5153 df-mpt 5172 df-tr 5198 df-id 5531 df-eprel 5536 df-po 5544 df-so 5545 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5642 df-rel 5643 df-cnv 5644 df-co 5645 df-dm 5646 df-rn 5647 df-res 5648 df-ima 5649 df-pred 6273 df-ord 6334 df-on 6335 df-lim 6336 df-suc 6337 df-iota 6462 df-fun 6508 df-fn 6509 df-f 6510 df-f1 6511 df-fo 6512 df-f1o 6513 df-fv 6514 df-isom 6515 df-riota 7338 df-ov 7384 df-oprab 7385 df-mpo 7386 df-of 7645 df-om 7832 df-1st 7955 df-2nd 7956 df-supp 8125 df-frecs 8246 df-wrecs 8277 df-recs 8326 df-rdg 8365 df-1o 8421 df-2o 8422 df-er 8662 df-map 8794 df-pm 8795 df-ixp 8865 df-en 8913 df-dom 8914 df-sdom 8915 df-fin 8916 df-fsupp 9294 df-fi 9343 df-sup 9374 df-inf 9375 df-oi 9444 df-card 9883 df-pnf 11204 df-mnf 11205 df-xr 11206 df-ltxr 11207 df-le 11208 df-sub 11402 df-neg 11403 df-div 11831 df-nn 12197 df-2 12266 df-3 12267 df-4 12268 df-5 12269 df-6 12270 df-7 12271 df-8 12272 df-9 12273 df-n0 12468 df-z 12555 df-dec 12675 df-uz 12826 df-q 12936 df-rp 12980 df-xneg 13100 df-xadd 13101 df-xmul 13102 df-ioo 13339 df-ioc 13340 df-ico 13341 df-icc 13342 df-fz 13499 df-fzo 13646 df-fl 13788 df-mod 13866 df-seq 14001 df-exp 14061 df-fac 14273 df-bc 14302 df-hash 14330 df-shft 15066 df-cj 15098 df-re 15099 df-im 15100 df-sqrt 15234 df-abs 15235 df-limsup 15470 df-clim 15487 df-rlim 15488 df-sum 15686 df-ef 16069 df-sin 16071 df-cos 16072 df-pi 16074 df-struct 17155 df-sets 17172 df-slot 17190 df-ndx 17202 df-base 17218 df-ress 17239 df-plusg 17271 df-mulr 17272 df-starv 17273 df-sca 17274 df-vsca 17275 df-ip 17276 df-tset 17277 df-ple 17278 df-ds 17280 df-unif 17281 df-hom 17282 df-cco 17283 df-rest 17423 df-topn 17424 df-0g 17442 df-gsum 17443 df-topgen 17444 df-pt 17445 df-prds 17448 df-xrs 17504 df-qtop 17509 df-imas 17510 df-xps 17512 df-mre 17586 df-mrc 17587 df-acs 17589 df-mgm 18646 df-sgrp 18725 df-mnd 18741 df-submnd 18790 df-mulg 19082 df-cntz 19329 df-cmn 19794 df-psmet 21385 df-xmet 21386 df-met 21387 df-bl 21388 df-mopn 21389 df-fbas 21390 df-fg 21391 df-cnfld 21394 df-top 22923 df-topon 22940 df-topsp 22962 df-bases 22975 df-cld 23048 df-ntr 23049 df-cls 23050 df-nei 23127 df-lp 23165 df-perf 23166 df-cn 23256 df-cnp 23257 df-haus 23344 df-cmp 23416 df-tx 23591 df-hmeo 23784 df-fil 23875 df-fm 23967 df-flim 23968 df-flf 23969 df-xms 24349 df-ms 24350 df-tms 24351 df-cncf 24909 df-limc 25897 df-dv 25898 df-log 26587

This theorem is referenced by: logexprlim 27255

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