MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlogexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem advlogexp 26154
Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set 𝐴 = 1 and multiply by (-1)↑𝑁 Β· 𝑁! to get the antiderivative of log(π‘₯)↑𝑁 itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlogexp ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝑁,π‘₯

Proof of Theorem advlogexp
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13934 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
2 rpcn 12980 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
32adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4 rpdivcl 12995 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / π‘₯) ∈ ℝ+)
54adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 / π‘₯) ∈ ℝ+)
65relogcld 26122 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) ∈ ℝ)
7 elfznn0 13590 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8 reexpcl 14040 . . . . . . . . 9 (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 596 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
107adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
1110faccld 14240 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
129, 11nndivred 12262 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1312recnd 11238 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
141, 3, 13fsummulc2 15726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
15 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
16 nn0uz 12860 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1715, 16eleqtrdi 2843 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
183adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1918, 13mulcld 11230 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
20 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) = ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0))
21 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (!β€˜π‘˜) = (!β€˜0))
22 fac0 14232 . . . . . . . . 9 (!β€˜0) = 1
2321, 22eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (!β€˜π‘˜) = 1)
2420, 23oveq12d 7423 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1))
2524oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1)))
2617, 19, 25fsum1p 15695 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = ((π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1)) + Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))))
276recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) ∈ β„‚)
2827exp0d 14101 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) = 1)
2928oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1) = (1 / 1))
30 1div1e1 11900 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
3129, 30eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1) = 1)
3231oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1)) = (π‘₯ Β· 1))
333mulridd 11227 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
3432, 33eqtrd 2772 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1)) = π‘₯)
35 1zzd 12589 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„€)
36 nn0z 12579 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3736ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
38 fz1ssfz0 13593 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) βŠ† (0...𝑁)
3938sseli 3977 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
4039, 19sylan2 593 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
41 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) = ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)))
42 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (!β€˜π‘˜) = (!β€˜(𝑗 + 1)))
4341, 42oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))
4443oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))
4535, 35, 37, 40, 44fsumshftm 15723 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = Σ𝑗 ∈ ((1 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))
46 0p1e1 12330 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
4746oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
4847sumeq1i 15640 . . . . . . . 8 Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
50 1m1e0 12280 . . . . . . . . . 10 (1 βˆ’ 1) = 0
5150oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((1 βˆ’ 1)..^𝑁) = (0..^𝑁)
52 fzoval 13629 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((1 βˆ’ 1)..^𝑁) = ((1 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1)))
5337, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 βˆ’ 1)..^𝑁) = ((1 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1)))
5451, 53eqtr3id 2786 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0..^𝑁) = ((1 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1)))
5554sumeq1d 15643 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 βˆ’ 1)...(𝑁 βˆ’ 1))(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))
5645, 49, 553eqtr4d 2782 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))
5734, 56oveq12d 7423 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1)) + Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) = (π‘₯ + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))))
5814, 26, 573eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = (π‘₯ + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))))
5958mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))))
6059oveq2d 7421 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))))))
61 reelprrecn 11198 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
6261a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
63 1cnd 11205 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
64 recn 11196 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6564adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
66 1cnd 11205 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
6762dvmptid 25465 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1))
68 rpssre 12977 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
6968a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
70 eqid 2732 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7170tgioo2 24310 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
72 ioorp 13398 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
73 iooretop 24273 . . . . . 6 (0(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
7472, 73eqeltrri 2830 . . . . 5 ℝ+ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
7574a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ℝ+ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
7662, 65, 66, 67, 69, 71, 70, 75dvmptres 25471 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1))
77 fzofi 13935 . . . . 5 (0..^𝑁) ∈ Fin
7877a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
793adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
80 elfzonn0 13673 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
81 peano2nn0 12508 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
8280, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
83 reexpcl 14040 . . . . . . . 8 (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (𝑗 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
846, 82, 83syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8582adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
8685faccld 14240 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
8784, 86nndivred 12262 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
8887recnd 11238 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
8979, 88mulcld 11230 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ β„‚)
9078, 89fsumcl 15675 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ β„‚)
916, 15reexpcld 14124 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) ∈ ℝ)
92 faccl 14239 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
9392ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
9491, 93nndivred 12262 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) ∈ ℝ)
9594recnd 11238 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) ∈ β„‚)
96 ax-1cn 11164 . . . 4 1 ∈ β„‚
97 subcl 11455 . . . 4 (((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
9895, 96, 97sylancl 586 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
9977a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
10089an32s 650 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ β„‚)
1011003impa 1110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ β„‚)
102 reexpcl 14040 . . . . . . . . . . 11 (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) ∈ ℝ)
1036, 80, 102syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) ∈ ℝ)
10480adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
105104faccld 14240 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (!β€˜π‘—) ∈ β„•)
106103, 105nndivred 12262 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) ∈ ℝ)
107106recnd 11238 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
10888, 107subcld 11567 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
109108an32s 650 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
1101093impa 1110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
11161a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
1122adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
113 1cnd 11205 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
11476adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1))
11588an32s 650 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
116 negex 11454 . . . . . . . 8 -((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) ∈ V
117116a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) ∈ V)
118 cnelprrecn 11199 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
12027adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) ∈ β„‚)
121 negex 11454 . . . . . . . . . 10 -(1 / π‘₯) ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(1 / π‘₯) ∈ V)
123 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
12480adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
125124, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
126 expcl 14041 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (𝑗 + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
127123, 125, 126syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
128125faccld 14240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
129128nncnd 12224 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
130129adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
131128nnne0d 12258 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) β‰  0)
132131adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) β‰  0)
133127, 130, 132divcld 11986 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
134 expcl 14041 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑦↑𝑗) ∈ β„‚)
135123, 124, 134syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑𝑗) ∈ β„‚)
136124faccld 14240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (!β€˜π‘—) ∈ β„•)
137136nncnd 12224 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (!β€˜π‘—) ∈ β„‚)
138137adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (!β€˜π‘—) ∈ β„‚)
139124adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
140139faccld 14240 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (!β€˜π‘—) ∈ β„•)
141140nnne0d 12258 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (!β€˜π‘—) β‰  0)
142135, 138, 141divcld 11986 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
143 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
144 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
145143, 144relogdivd 26125 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) = ((logβ€˜π΄) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
146145mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜(𝐴 / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π΄) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
147146oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π΄) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))))
148 relogcl 26075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
149148ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
150149recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
151150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
152 0cnd 11203 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ β„‚)
153150adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
154 0cnd 11203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
155111, 150dvmptc 25466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (logβ€˜π΄))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 0))
15668a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
15774a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ℝ+ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
158111, 153, 154, 155, 156, 71, 70, 157dvmptres 25471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π΄))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 0))
159144relogcld 26122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
160159recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
161144rpreccld 13022 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
162 relogf1o 26066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
163 f1of 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
164162, 163mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
165164feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)))
166 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
167166mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))
168165, 167eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
169168oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))))
170 dvrelog 26136 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
171169, 170eqtr3di 2787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
172111, 151, 152, 158, 160, 161, 171dvmptsub 25475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π΄) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (0 βˆ’ (1 / π‘₯))))
173147, 172eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (0 βˆ’ (1 / π‘₯))))
174 df-neg 11443 . . . . . . . . . . 11 -(1 / π‘₯) = (0 βˆ’ (1 / π‘₯))
175174mpteq2i 5252 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (0 βˆ’ (1 / π‘₯)))
176173, 175eqtr4di 2790 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / π‘₯)))
177 ovexd 7440 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1))) ∈ V)
178 nn0p1nn 12507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
179124, 178syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
180 dvexp 25461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ β„• β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))))
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))))
182119, 127, 177, 181, 129, 131dvmptdivc 25473 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))
183124nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
184183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
185 pncan 11462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑗 + 1) βˆ’ 1) = 𝑗)
186184, 96, 185sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑗 + 1) βˆ’ 1) = 𝑗)
187186oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1)) = (𝑦↑𝑗))
188187oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1))) = ((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑𝑗)))
189 facp1 14234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) = ((!β€˜π‘—) Β· (𝑗 + 1)))
190139, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) = ((!β€˜π‘—) Β· (𝑗 + 1)))
191 peano2cn 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„‚ β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„‚)
192184, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„‚)
193138, 192mulcomd 11231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((!β€˜π‘—) Β· (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) Β· (!β€˜π‘—)))
194190, 193eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) Β· (!β€˜π‘—)))
195188, 194oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑗 + 1))) = (((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑𝑗)) / ((𝑗 + 1) Β· (!β€˜π‘—))))
196179nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑗 + 1) β‰  0)
197196adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑗 + 1) β‰  0)
198135, 138, 192, 141, 197divcan5d 12012 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑𝑗)) / ((𝑗 + 1) Β· (!β€˜π‘—))) = ((𝑦↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))
199195, 198eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑗 + 1))) = ((𝑦↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))
200199mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((𝑗 + 1) Β· (𝑦↑((𝑗 + 1) βˆ’ 1))) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((𝑦↑𝑗) / (!β€˜π‘—))))
201182, 200eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((𝑦↑𝑗) / (!β€˜π‘—))))
202 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) β†’ (𝑦↑(𝑗 + 1)) = ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)))
203202oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) β†’ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))
204 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) β†’ (𝑦↑𝑗) = ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗))
205204oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (logβ€˜(𝐴 / π‘₯)) β†’ ((𝑦↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))
206111, 119, 120, 122, 133, 142, 176, 201, 203, 205dvmptco 25480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) Β· -(1 / π‘₯))))
207107an32s 650 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
208161rpcnd 13014 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
209207, 208mulneg2d 11664 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) Β· -(1 / π‘₯)) = -((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) Β· (1 / π‘₯)))
210 rpne0 12986 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
211210adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
212207, 112, 211divrecd 11989 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) = ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) Β· (1 / π‘₯)))
213212negeqd 11450 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) = -((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) Β· (1 / π‘₯)))
214209, 213eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) Β· -(1 / π‘₯)) = -((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯))
215214mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) Β· -(1 / π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯)))
216206, 215eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯)))
217111, 112, 113, 114, 115, 117, 216dvmptmul 25469 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) + (-((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯))))
21888mullidd 11228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (1 Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))
219 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
220106, 219rerpdivcld 13043 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) ∈ ℝ)
221220recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) ∈ β„‚)
222221, 79mulneg1d 11663 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (-((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯) = -(((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯))
223211an32s 650 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘₯ β‰  0)
224107, 79, 223divcan1d 11987 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))
225224negeqd 11450 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ -(((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯) = -(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))
226222, 225eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (-((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯) = -(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))
227218, 226oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((1 Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) + (-((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯)) = ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) + -(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))))
22888, 107negsubd 11573 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) + -(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))) = ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))))
229227, 228eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((1 Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) + (-((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯)) = ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))))
230229an32s 650 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) + (-((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯)) = ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))))
231230mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))) + (-((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)) / π‘₯) Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))))
232217, 231eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))))
23371, 70, 62, 75, 99, 101, 110, 232dvmptfsum 25483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))))
234 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) = ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗))
235 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (!β€˜π‘˜) = (!β€˜π‘—))
236234, 235oveq12d 7423 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))
237 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) = ((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁))
238 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (!β€˜π‘˜) = (!β€˜π‘))
239237, 238oveq12d 7423 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)))
240236, 43, 24, 239, 17, 13telfsumo2 15745 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))) = ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1)))
24131oveq2d 7421 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑0) / 1)) = ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1))
242240, 241eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—))) = ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1))
243242mpteq2dva 5247 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑗) / (!β€˜π‘—)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1)))
244233, 243eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1)))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1)))
24562, 3, 63, 76, 90, 98, 244dvmptadd 25468 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(π‘₯ Β· (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑(𝑗 + 1)) / (!β€˜(𝑗 + 1))))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 + ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1))))
246 pncan3 11464 . . . 4 ((1 ∈ β„‚ ∧ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) ∈ β„‚) β†’ (1 + ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1)) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)))
24796, 95, 246sylancr 587 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 + ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1)) = (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)))
248247mpteq2dva 5247 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 + ((((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘)) βˆ’ 1))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘))))
24960, 245, 2483eqtrd 2776 1 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((logβ€˜(𝐴 / π‘₯))↑𝑁) / (!β€˜π‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {cpr 4629   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β†‘cexp 14023  !cfa 14229  Ξ£csu 15628  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 20936   D cdv 25371  logclog 26054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056
This theorem is referenced by:  logexprlim  26717
  Copyright terms: Public domain W3C validator