Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlogexp Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set 𝐴 = 1 and multiply by (-1)↑𝑁 · 𝑁! to get the antiderivative of log(𝑥)↑𝑁 itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlogexp ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13403 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝑁) ∈ Fin)
2 rpcn 12453 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
32adantl 485 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 rpdivcl 12468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ+)
54adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ+)
65relogcld 25327 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ)
7 elfznn0 13062 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 reexpcl 13509 . . . . . . . . 9 (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 598 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
107adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1110faccld 13707 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
129, 11nndivred 11741 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
1312recnd 10720 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
141, 3, 13fsummulc2 15200 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
15 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16 nn0uz 12333 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1715, 16eleqtrdi 2862 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
183adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1918, 13mulcld 10712 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
20 oveq2 7164 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0))
21 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
22 fac0 13699 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
2321, 22eqtrdi 2809 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
2420, 23oveq12d 7174 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1))
2524oveq2d 7172 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
2617, 19, 25fsum1p 15169 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
276recnd 10720 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
2827exp0d 13567 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) = 1)
2928oveq1d 7171 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = (1 / 1))
30 1div1e1 11381 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
3129, 30eqtrdi 2809 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = 1)
3231oveq2d 7172 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = (𝑥 · 1))
333mulid1d 10709 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
3432, 33eqtrd 2793 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = 𝑥)
35 1zzd 12065 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
36 nn0z 12057 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3736ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
38 fz1ssfz0 13065 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
3938sseli 3890 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
4039, 19sylan2 595 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
41 oveq2 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
42 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑗 + 1)))
4341, 42oveq12d 7174 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
4443oveq2d 7172 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
4535, 35, 37, 40, 44fsumshftm 15197 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
46 0p1e1 11809 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
4746oveq1i 7166 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
4847sumeq1i 15116 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
50 1m1e0 11759 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
5150oveq1i 7166 . . . . . . . . 9 ((1 − 1)..^𝑁) = (0..^𝑁)
52 fzoval 13101 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
5337, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
5451, 53eqtr3id 2807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
5554sumeq1d 15119 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
5645, 49, 553eqtr4d 2803 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
5734, 56oveq12d 7174 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
5814, 26, 573eqtrd 2797 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
5958mpteq2dva 5131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))))
6059oveq2d 7172 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))))
61 reelprrecn 10680 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6261a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
63 1cnd 10687 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
64 recn 10678 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
6564adantl 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
66 1cnd 10687 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
6762dvmptid 24670 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
68 rpssre 12450 . . . . 5 + ⊆ ℝ
6968a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → ℝ+ ⊆ ℝ)
70 eqid 2758 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7170tgioo2 23518 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
72 ioorp 12870 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
73 iooretop 23481 . . . . . 6 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
7472, 73eqeltrri 2849 . . . . 5 + ∈ (topGen‘ran (,))
7574a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
7662, 65, 66, 67, 69, 71, 70, 75dvmptres 24676 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
77 fzofi 13404 . . . . 5 (0..^𝑁) ∈ Fin
7877a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
793adantr 484 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 elfzonn0 13144 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ0)
81 peano2nn0 11987 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
8280, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
83 reexpcl 13509 . . . . . . . 8 (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
846, 82, 83syl2an 598 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8582adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
8685faccld 13707 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
8784, 86nndivred 11741 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
8887recnd 10720 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
8979, 88mulcld 10712 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
9078, 89fsumcl 15151 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
916, 15reexpcld 13590 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) ∈ ℝ)
92 faccl 13706 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9392ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9491, 93nndivred 11741 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
9594recnd 10720 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
96 ax-1cn 10646 . . . 4 1 ∈ ℂ
97 subcl 10936 . . . 4 (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
9895, 96, 97sylancl 589 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
9977a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
10089an32s 651 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
1011003impa 1107 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
102 reexpcl 13509 . . . . . . . . . . 11 (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
1036, 80, 102syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
10480adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
105104faccld 13707 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
106103, 105nndivred 11741 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℝ)
107106recnd 10720 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
10888, 107subcld 11048 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
109108an32s 651 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
1101093impa 1107 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
11161a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
1122adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
113 1cnd 10687 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
11476adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
11588an32s 651 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
116 negex 10935 . . . . . . . 8 -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V
117116a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V)
118 cnelprrecn 10681 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12027adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
121 negex 10935 . . . . . . . . . 10 -(1 / 𝑥) ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(1 / 𝑥) ∈ V)
123 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
12480adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
125124, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
126 expcl 13510 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
127123, 125, 126syl2anr 599 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
128125faccld 13707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
129128nncnd 11703 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
130129adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
131128nnne0d 11737 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
132131adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
133127, 130, 132divcld 11467 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
134 expcl 13510 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑗) ∈ ℂ)
135123, 124, 134syl2anr 599 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑗) ∈ ℂ)
136124faccld 13707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
137136nncnd 11703 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
138137adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
139124adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
140139faccld 13707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
141140nnne0d 11737 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ≠ 0)
142135, 138, 141divcld 11467 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
143 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
144 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
145143, 144relogdivd 25330 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) = ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))
146145mpteq2dva 5131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥))))
147146oveq2d 7172 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))))
148 relogcl 25280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
149148ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
150149recnd 10720 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
151150adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
152 0cnd 10685 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
153150adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
154 0cnd 10685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
155111, 150dvmptc 24671 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
15668a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ+ ⊆ ℝ)
15774a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
158111, 153, 154, 155, 156, 71, 70, 157dvmptres 24676 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 0))
159144relogcld 25327 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
160159recnd 10720 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
161144rpreccld 12495 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
162 dvrelog 25341 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
163 relogf1o 25271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
164 f1of 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
165163, 164mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
166165feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
167 fvres 6682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
168167mpteq2ia 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
169166, 168eqtrdi 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
170169oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
171162, 170syl5reqr 2808 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
172111, 151, 152, 158, 160, 161, 171dvmptsub 24680 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
173147, 172eqtrd 2793 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
174 df-neg 10924 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 𝑥) = (0 − (1 / 𝑥))
175174mpteq2i 5128 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (0 − (1 / 𝑥)))
176173, 175eqtr4di 2811 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 𝑥)))
177 ovexd 7191 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) ∈ V)
178 nn0p1nn 11986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
179124, 178syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
180 dvexp 24666 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
182119, 127, 177, 181, 129, 131dvmptdivc 24678 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))))
183124nn0cnd 12009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
184183adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
185 pncan 10943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
186184, 96, 185sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
187186oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑦𝑗))
188187oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑦𝑗)))
189 facp1 13701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
190139, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
191 peano2cn 10863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℂ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
192184, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
193138, 192mulcomd 10713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
194190, 193eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
195188, 194oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((𝑗 + 1) · (𝑦𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))))
196179nnne0d 11737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
197196adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
198135, 138, 192, 141, 197divcan5d 11493 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))) = ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗)))
199195, 198eqtrd 2793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗)))
200199mpteq2dva 5131 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗))))
201182, 200eqtrd 2793 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗))))
202 oveq1 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
203202oveq1d 7171 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
204 oveq1 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦𝑗) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
205204oveq1d 7171 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦𝑗) / (!‘𝑗)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
206111, 119, 120, 122, 133, 142, 176, 201, 203, 205dvmptco 24685 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))))
207107an32s 651 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
208161rpcnd 12487 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
209207, 208mulneg2d 11145 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
210 rpne0 12459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
211210adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
212207, 112, 211divrecd 11470 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
213212negeqd 10931 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
214209, 213eqtr4d 2796 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥))
215214mpteq2dva 5131 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
216206, 215eqtrd 2793 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
217111, 112, 113, 114, 115, 117, 216dvmptmul 24674 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))))
21888mulid2d 10710 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
219 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
220106, 219rerpdivcld 12516 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℝ)
221220recnd 10720 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℂ)
222221, 79mulneg1d 11144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))
223211an32s 651 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
224107, 79, 223divcan1d 11468 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
225224negeqd 10931 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
226222, 225eqtrd 2793 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
227218, 226oveq12d 7174 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
22888, 107negsubd 11054 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
229227, 228eqtrd 2793 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
230229an32s 651 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
231230mpteq2dva 5131 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
232217, 231eqtrd 2793 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
23371, 70, 62, 75, 99, 101, 110, 232dvmptfsum 24688 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
234 oveq2 7164 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
235 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (!‘𝑘) = (!‘𝑗))
236234, 235oveq12d 7174 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
237 oveq2 7164 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁))
238 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
239237, 238oveq12d 7174 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
240236, 43, 24, 239, 17, 13telfsumo2 15219 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
24131oveq2d 7172 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
242240, 241eqtrd 2793 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
243242mpteq2dva 5131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
244233, 243eqtrd 2793 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
24562, 3, 63, 76, 90, 98, 244dvmptadd 24673 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))))
246 pncan3 10945 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
24796, 95, 246sylancr 590 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
248247mpteq2dva 5131 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))
24960, 245, 2483eqtrd 2797 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  {cpr 4527   ↦ cmpt 5116  ran crn 5529   ↾ cres 5530  ⟶wf 6336  –1-1-onto→wf1o 6339  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Fincfn 8540  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593  +∞cpnf 10723   − cmin 10921  -cneg 10922   / cdiv 11348  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ℤcz 12033  ℤ≥cuz 12295  ℝ+crp 12443  (,)cioo 12792  ...cfz 12952  ..^cfzo 13095  ↑cexp 13492  !cfa 13696  Σcsu 15103  TopOpenctopn 16767  topGenctg 16783  ℂfldccnfld 20180   D cdv 24576  logclog 25259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-pi 15487  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-hom 16661  df-cco 16662  df-rest 16768  df-topn 16769  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-topgen 16789  df-pt 16790  df-prds 16793  df-xrs 16847  df-qtop 16852  df-imas 16853  df-xps 16855  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-mulg 18306  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-fbas 20177  df-fg 20178  df-cnfld 20181  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-cld 21733  df-ntr 21734  df-cls 21735  df-nei 21812  df-lp 21850  df-perf 21851  df-cn 21941  df-cnp 21942  df-haus 22029  df-cmp 22101  df-tx 22276  df-hmeo 22469  df-fil 22560  df-fm 22652  df-flim 22653  df-flf 22654  df-xms 23036  df-ms 23037  df-tms 23038  df-cncf 23593  df-limc 24579  df-dv 24580  df-log 25261 This theorem is referenced by:  logexprlim  25922
 Copyright terms: Public domain W3C validator