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Theorem advlogexp 26580

Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set 𝐴 = 1 and multiply by (-1)↑𝑁 · 𝑁! to get the antiderivative of log(𝑥)↑𝑁 itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
advlogexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑘,𝐴 𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem advlogexp Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13898	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0...𝑁) ∈ Fin)
2		rpcn 12922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		rpdivcl 12938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
5	4	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
6	5	relogcld 26548	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ)
7		elfznn0 13541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
8		reexpcl 14003	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) ∈ ℝ)
10	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
11	10	faccld 14209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
12	9, 11	nndivred 12200	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
14	1, 3, 13	fsummulc2 15709	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
15		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
16		nn0uz 12795	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
17	15, 16	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
18	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
19	18, 13	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
20		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0))
21		fveq2 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
22		fac0 14201	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
24	20, 23	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1))
25	24	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
26	17, 19, 25	fsum1p 15678	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
27	6	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
28	27	exp0d 14065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) = 1)
29	28	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = (1 / 1))
30		1div1e1 11833	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1) = 1)
32	31	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = (𝑥 · 1))
33	3	mulridd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
34	32, 33	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = 𝑥)
35		1zzd 12524	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℤ)
36		nn0z 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
37	36	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑁 ∈ ℤ)
38		fz1ssfz0 13544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
39	38	sseli 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
40	39, 19	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
41		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
42		fveq2 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑗 + 1)))
43	41, 42	oveq12d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
44	43	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
45	35, 35, 37, 40, 44	fsumshftm 15706	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
46		0p1e1 12263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
47	46	oveq1i 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
48	47	sumeq1i 15622	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))
50		1m1e0 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
51	50	oveq1i 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 − 1)..^𝑁) = (0..^𝑁)
52		fzoval 13581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
53	37, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 − 1)..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
54	51, 53	eqtr3id 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0..^𝑁) = ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
55	54	sumeq1d 15625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
56	45, 49, 55	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))
57	34, 56	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
58	14, 26, 57	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))
59	58	mpteq2dva 5188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))))
60	59	oveq2d 7369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))))
61		reelprrecn 11120	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
63		1cnd 11129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
64		recn 11118	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
65	64	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
66		1cnd 11129	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
67	62	dvmptid 25877	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
68		rpssre 12919	. . . . 5 ⊢ ℝ⁺ ⊆ ℝ
69	68	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ℝ⁺ ⊆ ℝ)
70		tgioo4 24709	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
71		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
72		ioorp 13346	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ⁺
73		iooretop 24669	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
74	72, 73	eqeltrri 2825	. . . . 5 ⊢ ℝ⁺ ∈ (topGen‘ran (,))
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ℝ⁺ ∈ (topGen‘ran (,)))
76	62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 75	dvmptres 25883	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 1))
77		fzofi 13899	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
79	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
80		elfzonn0 13628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
81		peano2nn0 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
83		reexpcl 14003	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
84	6, 82, 83	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
85	82	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
86	85	faccld 14209	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
87	84, 86	nndivred 12200	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
88	87	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
89	79, 88	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
90	78, 89	fsumcl 15658	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
91	6, 15	reexpcld 14088	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) ∈ ℝ)
92		faccl 14208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
93	92	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
94	91, 93	nndivred 12200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11162	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
96		ax-1cn 11086	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
97		subcl 11380	. . . 4 ⊢ (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
98	95, 96, 97	sylancl 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
99	77	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
100	89	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
101	100	3impa 1109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
102		reexpcl 14003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
103	6, 80, 102	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) ∈ ℝ)
104	80	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
105	104	faccld 14209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
106	103, 105	nndivred 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℝ)
107	106	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
108	88, 107	subcld 11493	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
109	108	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
110	109	3impa 1109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) ∈ ℂ)
111	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
112	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℂ)
113		1cnd 11129	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℂ)
114	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 1))
115	88	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
116		negex 11379	. . . . . . . 8 ⊢ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ V)
118		cnelprrecn 11121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
120	27	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) ∈ ℂ)
121		negex 11379	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(1 / 𝑥) ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → -(1 / 𝑥) ∈ V)
123		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
124	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
125	124, 81	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀)
126		expcl 14004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
127	123, 125, 126	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
128	125	faccld 14209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
129	128	nncnd 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
130	129	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
131	128	nnne0d 12196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) ≠ 0)
133	127, 130, 132	divcld 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
134		expcl 14004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) → (𝑦↑𝑗) ∈ ℂ)
135	123, 124, 134	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑗) ∈ ℂ)
136	124	faccld 14209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
137	136	nncnd 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
138	137	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
139	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
140	139	faccld 14209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
141	140	nnne0d 12196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘𝑗) ≠ 0)
142	135, 138, 141	divcld 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
143		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
144		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
145	143, 144	relogdivd 26551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝐴 / 𝑥)) = ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))
146	145	mpteq2dva 5188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥))))
147	146	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))))
148		relogcl 26500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
149	148	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
150	149	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
151	150	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
152		0cnd 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 0 ∈ ℂ)
153	150	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
154		0cnd 11127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
155	111, 150	dvmptc 25878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
156	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ⁺ ⊆ ℝ)
157	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ⁺ ∈ (topGen‘ran (,)))
158	111, 153, 154, 155, 156, 70, 71, 157	dvmptres 25883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ 0))
159	144	relogcld 26548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
160	159	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
161	144	rpreccld 12965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
162		relogf1o 26491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺–1-1-onto→ℝ
163		f1of 6768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺⟶ℝ)
164	162, 163	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ⁺):ℝ⁺⟶ℝ)
165	164	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ⁺) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log ↾ ℝ⁺)‘𝑥)))
166		fvres 6845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ((log ↾ ℝ⁺)‘𝑥) = (log‘𝑥))
167	166	mpteq2ia 5190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log ↾ ℝ⁺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥))
168	165, 167	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (log ↾ ℝ⁺) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥)))
169	168	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (log ↾ ℝ⁺)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥))))
170		dvrelog 26562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ D (log ↾ ℝ⁺)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / 𝑥))
171	169, 170	eqtr3di 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / 𝑥)))
172	111, 151, 152, 158, 160, 161, 171	dvmptsub 25887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝐴) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
173	147, 172	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (0 − (1 / 𝑥))))
174		df-neg 11368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 / 𝑥) = (0 − (1 / 𝑥))
175	174	mpteq2i 5191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -(1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (0 − (1 / 𝑥)))
176	173, 175	eqtr4di 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (log‘(𝐴 / 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -(1 / 𝑥)))
177		ovexd 7388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) ∈ V)
178		nn0p1nn 12441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
179	124, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
180		dvexp 25873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
181	179, 180	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)))))
182	119, 127, 177, 181, 129, 131	dvmptdivc 25885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))))
183	124	nn0cnd 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
184	183	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑗 ∈ ℂ)
185		pncan 11387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
186	184, 96, 185	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
187	186	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑦↑𝑗))
188	187	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑦↑𝑗)))
189		facp1 14203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
190	139, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)))
191		peano2cn 11306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
192	184, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
193	138, 192	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((!‘𝑗) · (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
194	190, 193	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (!‘(𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗)))
195	188, 194	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((𝑗 + 1) · (𝑦↑𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))))
196	179	nnne0d 12196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
197	196	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
198	135, 138, 192, 141, 197	divcan5d 11944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑𝑗)) / ((𝑗 + 1) · (!‘𝑗))) = ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)))
199	195, 198	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1))) = ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)))
200	199	mpteq2dva 5188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((𝑗 + 1) · (𝑦↑((𝑗 + 1) − 1))) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗))))
201	182, 200	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗))))
202		oveq1 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦↑(𝑗 + 1)) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)))
203	202	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
204		oveq1 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → (𝑦↑𝑗) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
205	204	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (log‘(𝐴 / 𝑥)) → ((𝑦↑𝑗) / (!‘𝑗)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
206	111, 119, 120, 122, 133, 142, 176, 201, 203, 205	dvmptco 25892	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))))
207	107	an32s 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
208	161	rpcnd 12957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
209	207, 208	mulneg2d 11592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
210		rpne0 12928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ≠ 0)
211	210	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ≠ 0)
212	207, 112, 211	divrecd 11921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
213	212	negeqd 11375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (1 / 𝑥)))
214	209, 213	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥)) = -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥))
215	214	mpteq2dva 5188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) · -(1 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
216	206, 215	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ -((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥)))
217	111, 112, 113, 114, 115, 117, 216	dvmptmul 25881	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))))
218	88	mullidd 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))
219		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
220	106, 219	rerpdivcld 12986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℝ)
221	220	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) ∈ ℂ)
222	221, 79	mulneg1d 11591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))
223	211	an32s 652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
224	107, 79, 223	divcan1d 11919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
225	224	negeqd 11375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → -(((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
226	222, 225	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥) = -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
227	218, 226	oveq12d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
228	88, 107	negsubd 11499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) + -(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
229	227, 228	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
230	229	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))))
231	230	mpteq2dva 5188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((1 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))) + (-((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)) / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
232	217, 231	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
233	70, 71, 62, 75, 99, 101, 110, 232	dvmptfsum 25895	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))))
234		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗))
235		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (!‘𝑘) = (!‘𝑗))
236	234, 235	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))
237		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) = ((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁))
238		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
239	237, 238	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
240	236, 43, 24, 239, 17, 13	telfsumo2 15728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)))
241	31	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑0) / 1)) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
242	240, 241	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))
243	242	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))) − (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑗) / (!‘𝑗)))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
244	233, 243	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1)))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)))
245	62, 3, 63, 76, 90, 98, 244	dvmptadd 25880	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 + Σ𝑗 ∈ (0..^𝑁)(𝑥 · (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑(𝑗 + 1)) / (!‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))))
246		pncan3 11389	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
247	96, 95, 246	sylancr 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1)) = (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)))
248	247	mpteq2dva 5188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 + ((((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁)) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))
249	60, 245, 248	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (𝑥 · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ (((log‘(𝐴 / 𝑥))↑𝑁) / (!‘𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 Vcvv 3438 ⊆ wss 3905 {cpr 4581 ↦ cmpt 5176 ran crn 5624 ↾ cres 5625 ⟶wf 6482 –1-1-onto→wf1o 6485 ‘cfv 6486 (class class class)co 7353 Fincfn 8879 ℂcc 11026 ℝcr 11027 0cc0 11028 1c1 11029 + caddc 11031 · cmul 11033 +∞cpnf 11165 − cmin 11365 -cneg 11366 / cdiv 11795 ℕcn 12146 ℕ₀cn0 12402 ℤcz 12489 ℤ_≥cuz 12753 ℝ⁺crp 12911 (,)cioo 13266 ...cfz 13428 ..^cfzo 13575 ↑cexp 13986 !cfa 14198 Σcsu 15611 TopOpenctopn 17343 topGenctg 17359 ℂ_fldccnfld 21279 D cdv 25780 logclog 26479

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7675 ax-inf2 9556 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106 ax-addf 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3397 df-v 3440 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-tp 4584 df-op 4586 df-uni 4862 df-int 4900 df-iun 4946 df-iin 4947 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-se 5577 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-isom 6495 df-riota 7310 df-ov 7356 df-oprab 7357 df-mpo 7358 df-of 7617 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-supp 8101 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-2o 8396 df-er 8632 df-map 8762 df-pm 8763 df-ixp 8832 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-fsupp 9271 df-fi 9320 df-sup 9351 df-inf 9352 df-oi 9421 df-card 9854 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11367 df-neg 11368 df-div 11796 df-nn 12147 df-2 12209 df-3 12210 df-4 12211 df-5 12212 df-6 12213 df-7 12214 df-8 12215 df-9 12216 df-n0 12403 df-z 12490 df-dec 12610 df-uz 12754 df-q 12868 df-rp 12912 df-xneg 13032 df-xadd 13033 df-xmul 13034 df-ioo 13270 df-ioc 13271 df-ico 13272 df-icc 13273 df-fz 13429 df-fzo 13576 df-fl 13714 df-mod 13792 df-seq 13927 df-exp 13987 df-fac 14199 df-bc 14228 df-hash 14256 df-shft 14992 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161 df-limsup 15396 df-clim 15413 df-rlim 15414 df-sum 15612 df-ef 15992 df-sin 15994 df-cos 15995 df-pi 15997 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17139 df-ress 17160 df-plusg 17192 df-mulr 17193 df-starv 17194 df-sca 17195 df-vsca 17196 df-ip 17197 df-tset 17198 df-ple 17199 df-ds 17201 df-unif 17202 df-hom 17203 df-cco 17204 df-rest 17344 df-topn 17345 df-0g 17363 df-gsum 17364 df-topgen 17365 df-pt 17366 df-prds 17369 df-xrs 17424 df-qtop 17429 df-imas 17430 df-xps 17432 df-mre 17506 df-mrc 17507 df-acs 17509 df-mgm 18532 df-sgrp 18611 df-mnd 18627 df-submnd 18676 df-mulg 18965 df-cntz 19214 df-cmn 19679 df-psmet 21271 df-xmet 21272 df-met 21273 df-bl 21274 df-mopn 21275 df-fbas 21276 df-fg 21277 df-cnfld 21280 df-top 22797 df-topon 22814 df-topsp 22836 df-bases 22849 df-cld 22922 df-ntr 22923 df-cls 22924 df-nei 23001 df-lp 23039 df-perf 23040 df-cn 23130 df-cnp 23131 df-haus 23218 df-cmp 23290 df-tx 23465 df-hmeo 23658 df-fil 23749 df-fm 23841 df-flim 23842 df-flf 23843 df-xms 24224 df-ms 24225 df-tms 24226 df-cncf 24787 df-limc 25783 df-dv 25784 df-log 26481

This theorem is referenced by: logexprlim 27152

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