MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicclub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supicclub 12876
Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
supicclub (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supicc.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2 supicc.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 iccssre 12806 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
61, 5sstrd 3974 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 supicc.4 . 2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
82adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10679 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110rexrd 10679 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
121sselda 3964 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13 iccleub 12780 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
149, 11, 12, 13syl3anc 1363 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
1514ralrimiva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶)
16 brralrspcev 5117 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
173, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
18 supiccub.1 . . 3 (𝜑𝐷𝐴)
196, 18sseldd 3965 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
20 suprlub 11593 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧))
216, 7, 17, 19, 20syl31anc 1365 1 (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  supcsup 8892  cr 10524  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-icc 12733
This theorem is referenced by:  supicclub2  12877
  Copyright terms: Public domain W3C validator