Theorem supicclub 13509

Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
supicclub	⊢ (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supicc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2		supicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		supicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		iccssre 13435	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
6	1, 5	sstrd 3948	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		supicc.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	1	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13		iccleub 13407	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1392	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝐶)
15	14	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶)
16		brralrspcev 5162	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	3, 15, 16	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
18		supiccub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
19	6, 18	sseldd 3939	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
20		suprlub 12158	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))
21	6, 7, 17, 19, 20	syl31anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  supcsup 9388  ℝcr 11074  ℝ^*cxr 11217   < clt 11218   ≤ cle 11219  [,]cicc 13354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-icc 13358

This theorem is referenced by:  supicclub2  13510