MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supiccub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supiccub 12574
Description: The supremum of a bounded set of real numbers is an upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
supiccub (𝜑𝐷 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Proof of Theorem supiccub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supicc.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2 supicc.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 iccssre 12503 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
61, 5sstrd 3809 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 supicc.4 . 2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
82adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10379 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110rexrd 10379 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
121sselda 3799 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13 iccleub 12477 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
149, 11, 12, 13syl3anc 1491 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
1514ralrimiva 3148 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶)
16 brralrspcev 4904 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
173, 15, 16syl2anc 580 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
18 supiccub.1 . 2 (𝜑𝐷𝐴)
19 suprub 11277 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
206, 7, 17, 18, 19syl31anc 1493 1 (𝜑𝐷 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wcel 2157  wne 2972  wral 3090  wrex 3091  wss 3770  c0 4116   class class class wbr 4844  (class class class)co 6879  supcsup 8589  cr 10224  *cxr 10363   < clt 10364  cle 10365  [,]cicc 12426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-po 5234  df-so 5235  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-sup 8591  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-icc 12430
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator