MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supiccub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supiccub 12528
Description: The supremum of a bounded set of real numbers is an upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
supiccub (𝜑𝐷 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Proof of Theorem supiccub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supicc.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2 supicc.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 iccssre 12460 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
61, 5sstrd 3762 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 supicc.4 . 2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
82adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10291 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110rexrd 10291 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
121sselda 3752 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13 iccleub 12434 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
149, 11, 12, 13syl3anc 1476 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
1514ralrimiva 3115 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶)
16 breq2 4790 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝑥𝑦𝑥𝐶))
1716ralbidv 3135 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
1817rspcev 3460 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
193, 15, 18syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
20 supiccub.1 . 2 (𝜑𝐷𝐴)
21 suprub 11186 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
226, 7, 19, 20, 21syl31anc 1479 1 (𝜑𝐷 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  supcsup 8502  cr 10137  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  [,]cicc 12383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-icc 12387
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator