Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suplesup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplesup2 44821
Description: If any element of 𝐴 is less than or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suplesup2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
Assertion
Ref Expression
suplesup2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2
StepHypRef Expression
1 suplesup2.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
2 suplesup2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
32sselda 3972 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
433ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝜑)
6 simp2 1134 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦𝐵)
7 suplesup2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
87sselda 3972 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
95, 6, 8syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 supxrcl 13326 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
125, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
147adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
16 supxrub 13335 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℝ*𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
1714, 15, 16syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
185, 6, 17syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
194, 9, 12, 13, 18xrletrd 13173 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20193exp 1116 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
2120rexlimdv 3143 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
221, 21mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
2322ralrimiva 3136 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24 supxrleub 13337 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
252, 11, 24syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
2623, 25mpbird 256 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wral 3051  wrex 3060  wss 3939   class class class wbr 5143  supcsup 9463  *cxr 11277   < clt 11278  cle 11279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477
This theorem is referenced by:  sge0reuz  45898
  Copyright terms: Public domain W3C validator