Theorem suplesup2 46356

Description: If any element of 𝐴 is less than or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplesup2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
suplesup2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplesup2.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
2		suplesup2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3	2	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5		simp1l 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑)
6		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7		suplesup2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
8	7	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	5, 6, 8	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		supxrcl 13438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	5, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
14	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		supxrub 13447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18	5, 6, 17	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
19	4, 9, 12, 13, 18	xrletrd 13284	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20	19	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
21	20	rexlimdv 3162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
22	1, 21	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
23	22	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24		supxrleub 13449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
25	2, 11, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
26	23, 25	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  supcsup 9425  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  sge0reuz  47426