Theorem suplesup2 45326

Description: If any element of 𝐴 is less than or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplesup2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
suplesup2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplesup2.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
2		suplesup2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3	2	sselda 3995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5		simp1l 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑)
6		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7		suplesup2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
8	7	sselda 3995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		supxrcl 13354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
14	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		supxrub 13363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18	5, 6, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
19	4, 9, 12, 13, 18	xrletrd 13201	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20	19	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
21	20	rexlimdv 3151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
22	1, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
23	22	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24		supxrleub 13365	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
25	2, 11, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
26	23, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  supcsup 9478  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  sge0reuz  46403