Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suplesup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplesup2 45392
Description: If any element of 𝐴 is less than or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suplesup2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
Assertion
Ref Expression
suplesup2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2
StepHypRef Expression
1 suplesup2.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
2 suplesup2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
32sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
433ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5 simp1l 1197 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝜑)
6 simp2 1137 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦𝐵)
7 suplesup2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
87sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
95, 6, 8syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 supxrcl 13358 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
125, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 simp3 1138 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
147adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
16 supxrub 13367 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℝ*𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
185, 6, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
194, 9, 12, 13, 18xrletrd 13205 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20193exp 1119 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
2120rexlimdv 3152 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
221, 21mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
2322ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24 supxrleub 13369 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
252, 11, 24syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
2623, 25mpbird 257 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  wss 3950   class class class wbr 5142  supcsup 9481  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496
This theorem is referenced by:  sge0reuz  46467
  Copyright terms: Public domain W3C validator