Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suplesup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplesup2 41634
Description: If any element of 𝐴 is less than or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suplesup2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
Assertion
Ref Expression
suplesup2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2
StepHypRef Expression
1 suplesup2.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
2 suplesup2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
32sselda 3965 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
433ad2ant1 1128 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5 simp1l 1192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝜑)
6 simp2 1132 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦𝐵)
7 suplesup2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
87sselda 3965 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
95, 6, 8syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 supxrcl 12700 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
125, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 simp3 1133 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
147adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
16 supxrub 12709 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℝ*𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
1714, 15, 16syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
185, 6, 17syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
194, 9, 12, 13, 18xrletrd 12547 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20193exp 1114 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
2120rexlimdv 3281 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
221, 21mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
2322ralrimiva 3180 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24 supxrleub 12711 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
252, 11, 24syl2anc 586 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
2623, 25mpbird 259 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1082  wcel 2108  wral 3136  wrex 3137  wss 3934   class class class wbr 5057  supcsup 8896  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865
This theorem is referenced by:  sge0reuz  42720
  Copyright terms: Public domain W3C validator