Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suplesup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplesup2 44896
Description: If any element of 𝐴 is less than or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suplesup2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
Assertion
Ref Expression
suplesup2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2
StepHypRef Expression
1 suplesup2.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
2 suplesup2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
32sselda 3976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
433ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝜑)
6 simp2 1134 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦𝐵)
7 suplesup2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
87sselda 3976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
95, 6, 8syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 supxrcl 13329 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
125, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
147adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
16 supxrub 13338 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℝ*𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
1714, 15, 16syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
185, 6, 17syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
194, 9, 12, 13, 18xrletrd 13176 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20193exp 1116 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
2120rexlimdv 3142 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
221, 21mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
2322ralrimiva 3135 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24 supxrleub 13340 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
252, 11, 24syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
2623, 25mpbird 256 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  wss 3944   class class class wbr 5149  supcsup 9465  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479
This theorem is referenced by:  sge0reuz  45973
  Copyright terms: Public domain W3C validator