Theorem suplesup2 45889

Description: If any element of 𝐴 is less than or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplesup2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
suplesup2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplesup2.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
2		suplesup2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3	2	sselda 3927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5		simp1l 1207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑)
6		simp2 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7		suplesup2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
8	7	sselda 3927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	5, 6, 8	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		supxrcl 13304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13		simp3 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
14	7	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		supxrub 13313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
17	14, 15, 16	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18	5, 6, 17	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
19	4, 9, 12, 13, 18	xrletrd 13150	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20	19	3exp 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
21	20	rexlimdv 3151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
22	1, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
23	22	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24		supxrleub 13315	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
25	2, 11, 24	syl2anc 592	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
26	23, 25	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5090  supcsup 9372  ℝ^*cxr 11201   < clt 11202   ≤ cle 11203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403

This theorem is referenced by:  sge0reuz  46959