Theorem suplesup2 42008

Description: If any element of 𝐴 is less than or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is less than or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplesup2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
suplesup2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplesup2.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
2		suplesup2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3	2	sselda 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5		simp1l 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑)
6		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7		suplesup2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
8	7	sselda 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	5, 6, 8	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		supxrcl 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
14	7	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		supxrub 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
17	14, 15, 16	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18	5, 6, 17	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
19	4, 9, 12, 13, 18	xrletrd 12543	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20	19	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
21	20	rexlimdv 3242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
22	1, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
23	22	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24		supxrleub 12707	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
25	2, 11, 24	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
26	23, 25	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  supcsup 8888  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  sge0reuz  43086