Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  recnnltrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recnnltrp 42378
 Description: 𝑁 is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
recnnltrp.1 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
Assertion
Ref Expression
recnnltrp (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Proof of Theorem recnnltrp
StepHypRef Expression
1 recnnltrp.1 . . 3 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
2 rpreccl 12457 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
32rpred 12473 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
42rpge0d 12477 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐸))
5 flge0nn0 13240 . . . . 5 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
63, 4, 5syl2anc 588 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7 nn0p1nn 11974 . . . 4 ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
91, 8eqeltrid 2857 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ)
10 flltp1 13220 . . . . . 6 ((1 / 𝐸) ∈ ℝ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
1211, 1breqtrrdi 5075 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < 𝑁)
139nnrpd 12471 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+)
142, 13ltrecd 12491 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐸) < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸))))
1512, 14mpbid 235 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸)))
16 rpcn 12441 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℂ)
17 rpne0 12447 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ≠ 0)
1816, 17recrecd 11452 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐸)) = 𝐸)
1915, 18breqtrd 5059 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < 𝐸)
209, 19jca 516 1 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℝcr 10575  0cc0 10576  1c1 10577   + caddc 10579   < clt 10714   ≤ cle 10715   / cdiv 11336  ℕcn 11675  ℕ0cn0 11935  ℝ+crp 12431  ⌊cfl 13210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8940  df-inf 8941  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-fl 13212 This theorem is referenced by:  vonioolem1  43686
 Copyright terms: Public domain W3C validator