Theorem recnnltrp 42009

Description: 𝑁 is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
recnnltrp.1	⊢ 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)

Assertion

Ref	Expression
recnnltrp	⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Proof of Theorem recnnltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnnltrp.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
2		rpreccl 12403	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12419	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
4	2	rpge0d 12423	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐸))
5		flge0nn0 13185	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
6	3, 4, 5	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7		nn0p1nn 11924	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
9	1, 8	eqeltrid 2894	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℕ)
10		flltp1 13165	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐸) ∈ ℝ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
12	11, 1	breqtrrdi 5072	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < 𝑁)
13	9	nnrpd 12417	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℝ+)
14	2, 13	ltrecd 12437	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐸) < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸))))
15	12, 14	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸)))
16		rpcn 12387	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ∈ ℂ)
17		rpne0 12393	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ≠ 0)
18	16, 17	recrecd 11402	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐸)) = 𝐸)
19	15, 18	breqtrd 5056	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < 𝐸)
20	9, 19	jca 515	1 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℝ⁺crp 12377  ⌊cfl 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157

This theorem is referenced by:  vonioolem1  43319