Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  recnnltrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recnnltrp 41510
Description: 𝑁 is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
recnnltrp.1 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
Assertion
Ref Expression
recnnltrp (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Proof of Theorem recnnltrp
StepHypRef Expression
1 recnnltrp.1 . . 3 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
2 rpreccl 12405 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
32rpred 12421 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
42rpge0d 12425 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐸))
5 flge0nn0 13180 . . . . 5 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
63, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7 nn0p1nn 11925 . . . 4 ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
91, 8eqeltrid 2922 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ)
10 flltp1 13160 . . . . . 6 ((1 / 𝐸) ∈ ℝ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
1211, 1breqtrrdi 5105 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < 𝑁)
139nnrpd 12419 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+)
142, 13ltrecd 12439 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐸) < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸))))
1512, 14mpbid 233 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸)))
16 rpcn 12389 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℂ)
17 rpne0 12395 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ≠ 0)
1816, 17recrecd 11402 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐸)) = 𝐸)
1915, 18breqtrd 5089 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < 𝐸)
209, 19jca 512 1 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  cn 11627  0cn0 11886  +crp 12379  cfl 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fl 13152
This theorem is referenced by:  vonioolem1  42828
  Copyright terms: Public domain W3C validator