Theorem recnnltrp 45415

Description: 𝑁 is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
recnnltrp.1	⊢ 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)

Assertion

Ref	Expression
recnnltrp	⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Proof of Theorem recnnltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnnltrp.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
2		rpreccl 12913	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12929	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
4	2	rpge0d 12933	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐸))
5		flge0nn0 13719	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7		nn0p1nn 12415	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
9	1, 8	eqeltrid 2835	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℕ)
10		flltp1 13699	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐸) ∈ ℝ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
12	11, 1	breqtrrdi 5128	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < 𝑁)
13	9	nnrpd 12927	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℝ+)
14	2, 13	ltrecd 12947	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐸) < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸))))
15	12, 14	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸)))
16		rpcn 12896	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ∈ ℂ)
17		rpne0 12902	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ≠ 0)
18	16, 17	recrecd 11889	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐸)) = 𝐸)
19	15, 18	breqtrd 5112	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < 𝐸)
20	9, 19	jca 511	1 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   < clt 11141   ≤ cle 11142   / cdiv 11769  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ℝ⁺crp 12885  ⌊cfl 13689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fl 13691

This theorem is referenced by:  vonioolem1  46718