Theorem recnnltrp 40390

Description: 𝑁 is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
recnnltrp.1	⊢ 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)

Assertion

Ref	Expression
recnnltrp	⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Proof of Theorem recnnltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnnltrp.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
2		rpreccl 12140	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12156	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
4	2	rpge0d 12160	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐸))
5		flge0nn0 12916	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
6	3, 4, 5	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7		nn0p1nn 11659	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
9	1, 8	syl5eqel 2910	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℕ)
10		flltp1 12896	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐸) ∈ ℝ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
12	11, 1	syl6breqr 4915	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < 𝑁)
13	9	nnrpd 12154	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℝ+)
14	2, 13	ltrecd 12174	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐸) < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸))))
15	12, 14	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸)))
16		rpcn 12124	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ∈ ℂ)
17		rpne0 12130	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ≠ 0)
18	16, 17	recrecd 11124	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐸)) = 𝐸)
19	15, 18	breqtrd 4899	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < 𝐸)
20	9, 19	jca 509	1 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   < clt 10391   ≤ cle 10392   / cdiv 11009  ℕcn 11350  ℕ₀cn0 11618  ℝ⁺crp 12112  ⌊cfl 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fl 12888

This theorem is referenced by:  vonioolem1  41688