Theorem recnnltrp 45977

Description: 𝑁 is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
recnnltrp.1	⊢ 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)

Assertion

Ref	Expression
recnnltrp	⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Proof of Theorem recnnltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnnltrp.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
2		rpreccl 13040	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13056	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
4	2	rpge0d 13060	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐸))
5		flge0nn0 13849	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7		nn0p1nn 12539	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
9	1, 8	eqeltrid 2873	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℕ)
10		flltp1 13829	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐸) ∈ ℝ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
11	3, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
12	11, 1	breqtrrdi 5154	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < 𝑁)
13	9	nnrpd 13054	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℝ+)
14	2, 13	ltrecd 13074	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐸) < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸))))
15	12, 14	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸)))
16		rpcn 13023	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ∈ ℂ)
17		rpne0 13029	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ≠ 0)
18	16, 17	recrecd 11984	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐸)) = 𝐸)
19	15, 18	breqtrd 5138	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < 𝐸)
20	9, 19	jca 520	1 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   ≤ cle 11240   / cdiv 11867  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  ℝ⁺crp 13012  ⌊cfl 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fl 13821

This theorem is referenced by:  vonioolem1  47279