Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  recnnltrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recnnltrp 44387
Description: 𝑁 is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
recnnltrp.1 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
Assertion
Ref Expression
recnnltrp (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Proof of Theorem recnnltrp
StepHypRef Expression
1 recnnltrp.1 . . 3 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
2 rpreccl 13005 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
32rpred 13021 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
42rpge0d 13025 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐸))
5 flge0nn0 13790 . . . . 5 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
63, 4, 5syl2anc 583 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7 nn0p1nn 12516 . . . 4 ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
91, 8eqeltrid 2836 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ)
10 flltp1 13770 . . . . . 6 ((1 / 𝐸) ∈ ℝ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
1211, 1breqtrrdi 5191 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < 𝑁)
139nnrpd 13019 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+)
142, 13ltrecd 13039 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐸) < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸))))
1512, 14mpbid 231 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸)))
16 rpcn 12989 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℂ)
17 rpne0 12995 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ≠ 0)
1816, 17recrecd 11992 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐸)) = 𝐸)
1915, 18breqtrd 5175 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < 𝐸)
209, 19jca 511 1 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7412  cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253  cle 11254   / cdiv 11876  cn 12217  0cn0 12477  +crp 12979  cfl 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762
This theorem is referenced by:  vonioolem1  45696
  Copyright terms: Public domain W3C validator