Theorem alephsson 10171

Description: The class of transfinite cardinals (the range of the aleph function) is a subclass of the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephsson	⊢ ran ℵ ⊆ On

Proof of Theorem alephsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinfcard 10163	. . 3 ⊢ ((ω ⊆ 𝑥 ∧ (card‘𝑥) = 𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ran ℵ)
2		cardon 10015	. . . . 5 ⊢ (card‘𝑥) ∈ On
3		eleq1 2832	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → ((card‘𝑥) ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	2, 3	mpbii 233	. . . 4 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → 𝑥 ∈ On)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((ω ⊆ 𝑥 ∧ (card‘𝑥) = 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
6	1, 5	sylbir 235	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ran ℵ → 𝑥 ∈ On)
7	6	ssriv 4012	1 ⊢ ran ℵ ⊆ On

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ran crn 5701  Oncon0 6397  ‘cfv 6575  ωcom 7905  cardccrd 10006  ℵcale 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-oi 9581  df-har 9628  df-card 10010  df-aleph 10011

This theorem is referenced by:  unialeph  10172  alephsmo  10173  alephfplem3  10177  alephfp  10179  alephfp2  10180