Theorem alephsson 10165

Description: The class of transfinite cardinals (the range of the aleph function) is a subclass of the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephsson	⊢ ran ℵ ⊆ On

Proof of Theorem alephsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinfcard 10157	. . 3 ⊢ ((ω ⊆ 𝑥 ∧ (card‘𝑥) = 𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ran ℵ)
2		cardon 10009	. . . . 5 ⊢ (card‘𝑥) ∈ On
3		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → ((card‘𝑥) ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	2, 3	mpbii 233	. . . 4 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → 𝑥 ∈ On)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((ω ⊆ 𝑥 ∧ (card‘𝑥) = 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
6	1, 5	sylbir 235	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ran ℵ → 𝑥 ∈ On)
7	6	ssriv 4006	1 ⊢ ran ℵ ⊆ On

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3970  ran crn 5700  Oncon0 6394  ‘cfv 6572  ωcom 7899  cardccrd 10000  ℵcale 10001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-oi 9575  df-har 9622  df-card 10004  df-aleph 10005

This theorem is referenced by:  unialeph  10166  alephsmo  10167  alephfplem3  10171  alephfp  10173  alephfp2  10174