Theorem alephsson 10042

Description: The class of transfinite cardinals (the range of the aleph function) is a subclass of the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephsson	⊢ ran ℵ ⊆ On

Proof of Theorem alephsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinfcard 10034	. . 3 ⊢ ((ω ⊆ 𝑥 ∧ (card‘𝑥) = 𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ran ℵ)
2		cardon 9888	. . . . 5 ⊢ (card‘𝑥) ∈ On
3		eleq1 2840	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → ((card‘𝑥) ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	2, 3	mpbii 235	. . . 4 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → 𝑥 ∈ On)
5	4	adantl 484	. . 3 ⊢ ((ω ⊆ 𝑥 ∧ (card‘𝑥) = 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
6	1, 5	sylbir 237	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ran ℵ → 𝑥 ∈ On)
7	6	ssriv 3931	1 ⊢ ran ℵ ⊆ On

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ⊆ wss 3895  ran crn 5637  Oncon0 6331  ‘cfv 6506  ωcom 7831  cardccrd 9879  ℵcale 9880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-oi 9444  df-har 9491  df-card 9883  df-aleph 9884

This theorem is referenced by:  unialeph  10043  alephsmo  10044  alephfplem3  10048  alephfp  10050  alephfp2  10051