MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unictb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unictb 10620
Description: The countable union of countable sets is countable. Theorem 6Q of [Enderton] p. 159. See iunctb 10619 for indexed union version. (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
unictb ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem unictb
StepHypRef Expression
1 uniiun 5068 . 2 𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥
2 iunctb 10619 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝑥 ≼ ω)
31, 2eqbrtrid 5190 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wral 3051   cuni 4915   ciun 5003   class class class wbr 5155  ωcom 7878  cdom 8974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cc 10480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-oi 9555  df-card 9984  df-acn 9987
This theorem is referenced by:  omssubadd  34136  salexct  45973
  Copyright terms: Public domain W3C validator