Theorem infmap 10645

Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Similar to Lemma 6.2 of [Jech] p. 43. (Contributed by NM, 1-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infmap	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7481	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ V
2		numth3 10539	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↑m 𝐵) ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ dom card)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ dom card
4		infmap2 10286	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ dom card) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐵)})
5	3, 4	mp3an3 1450	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐵)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  {cab 2717  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ↑_m cmap 8884   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001  cardccrd 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185

This theorem is referenced by:  alephexp2  10650