MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infmap 9997
Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Similar to Lemma 6.2 of [Jech] p. 43. (Contributed by NM, 1-Oct-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infmap ((ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴m 𝐵) ≈ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝑥𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infmap
StepHypRef Expression
1 ovex 7188 . . 3 (𝐴m 𝐵) ∈ V
2 numth3 9891 . . 3 ((𝐴m 𝐵) ∈ V → (𝐴m 𝐵) ∈ dom card)
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝐴m 𝐵) ∈ dom card
4 infmap2 9639 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐵𝐴 ∧ (𝐴m 𝐵) ∈ dom card) → (𝐴m 𝐵) ≈ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝑥𝐵)})
53, 4mp3an3 1446 1 ((ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴m 𝐵) ≈ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝑥𝐵)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2110  {cab 2799  Vcvv 3494  wss 3935   class class class wbr 5065  dom cdm 5554  (class class class)co 7155  ωcom 7579  m cmap 8405  cen 8505  cdom 8506  cardccrd 9363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-ac2 9884
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-ac 9541
This theorem is referenced by:  alephexp2  10002
  Copyright terms: Public domain W3C validator