Theorem unitcl 19087

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 19085	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 19077	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  Basecbs 16300  1_rcur 18929  opp_rcoppr 19050  ∥_rcdsr 19066  Unitcui 19067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-ov 7010  df-dvdsr 19069  df-unit 19070

This theorem is referenced by:  unitss  19088  unitmulcl  19092  unitgrp  19095  ringinvcl  19104  unitnegcl  19109  unitdvcl  19115  dvrid  19116  dvrcan1  19119  dvrcan3  19120  dvreq1  19121  irredrmul  19135  isdrng2  19190  subrguss  19228  subrginv  19229  subrgunit  19231  unitrrg  19743  gzrngunitlem  20280  gzrngunit  20281  zringunit  20305  matinv  20958  cramerimp  20967  unitnmn0  22948  nminvr  22949  nrginvrcnlem  22971  ig1peu  24436  dchrelbas3  25484  dchrmulcl  25495  kerunit  30505  invginvrid  43849  lincresunit3lem3  43963  lincresunit3lem1  43968