Theorem unitcl 20401

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20399	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20391	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  1_rcur 20208  opp_rcoppr 20359  ∥_rcdsr 20380  Unitcui 20381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-dvdsr 20383  df-unit 20384

This theorem is referenced by:  unitss  20402  unitmulcl  20406  unitgrp  20409  ringinvcl  20418  unitnegcl  20423  ringunitnzdiv  20424  unitdvcl  20431  dvrid  20432  dvrcan1  20435  dvrcan3  20436  dvreq1  20437  irredrmul  20453  subrguss  20615  subrginv  20616  subrgunit  20618  unitrrg  20725  isdrng2  20765  gzrngunitlem  21473  gzrngunit  21474  zringunit  21500  matinv  22704  cramerimp  22713  unitnmn0  24710  nminvr  24711  nrginvrcnlem  24733  ig1peu  26234  dchrelbas3  27300  dchrmulcl  27311  isdrng4  33264  kerunit  33314  dvdsruasso2  33379  unitmulrprm  33521  1arithidomlem1  33528  1arithidomlem2  33529  1arithidom  33530  ply1unit  33565  m1pmeq  33573  fldhmf1  42047  invginvrid  48092  lincresunit3lem3  48203  lincresunit3lem1  48208