Theorem unitcl 20456

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20454	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20446	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 18	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  1_rcur 20262  opp_rcoppr 20417  ∥_rcdsr 20435  Unitcui 20436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-dvdsr 20438  df-unit 20439

This theorem is referenced by:  unitss  20457  unitmulcl  20461  unitgrp  20464  ringinvcl  20473  unitnegcl  20478  ringunitnzdiv  20479  unitdvcl  20486  dvrid  20487  dvrcan1  20490  dvrcan3  20491  dvreq1  20492  irredrmul  20508  subrguss  20671  subrginv  20672  subrgunit  20674  unitrrg  20787  isdrng4  20824  isdrng2  20828  gzrngunitlem  21561  gzrngunit  21562  zringunit  21595  matinv  22813  cramerimp  22822  unitnmn0  24804  nminvr  24805  nrginvrcnlem  24827  ig1peu  26311  dchrelbas3  27378  dchrmulcl  27389  kerunit  33611  dvdsruasso2  33665  unitmulrprm  33784  1arithidomlem1  33791  1arithidomlem2  33792  1arithidom  33793  ply1unit  33831  m1pmeq  33841  fldhmf1  42803  invginvrid  49092  lincresunit3lem3  49199  lincresunit3lem1  49204