Theorem unitcl 20269

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20267	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20259	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  Basecbs 17145  1_rcur 20078  opp_rcoppr 20227  ∥_rcdsr 20248  Unitcui 20249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-ov 7405  df-dvdsr 20251  df-unit 20252

This theorem is referenced by:  unitss  20270  unitmulcl  20274  unitgrp  20277  ringinvcl  20286  unitnegcl  20291  ringunitnzdiv  20292  unitdvcl  20299  dvrid  20300  dvrcan1  20303  dvrcan3  20304  dvreq1  20305  irredrmul  20321  subrguss  20481  subrginv  20482  subrgunit  20484  isdrng2  20593  unitrrg  21195  gzrngunitlem  21296  gzrngunit  21297  zringunit  21323  matinv  22503  cramerimp  22512  unitnmn0  24509  nminvr  24510  nrginvrcnlem  24532  ig1peu  26031  dchrelbas3  27090  dchrmulcl  27101  isdrng4  32864  kerunit  32906  fldhmf1  41452  invginvrid  47257  lincresunit3lem3  47368  lincresunit3lem1  47373