Theorem unitcl 20635

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20633	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20625	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 18	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  1_rcur 20437  opp_rcoppr 20596  ∥_rcdsr 20614  Unitcui 20615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-ov 7446  df-dvdsr 20617  df-unit 20618

This theorem is used by:  unitss  20636  unitmulcl  20640  unitgrp  20643  ringinvcl  20652  unitnegcl  20657  ringunitnzdiv  20658  unitdvcl  20665  dvrid  20666  dvrcan1  20669  dvrcan3  20670  dvreq1  20671  irredrmul  20687  subrguss  20869  subrginv  20870  subrgunit  20872  unitrrg  20985  isdrng4  21022  isdrng2  21027  gzrngunitlem  21768  gzrngunit  21769  zringunit  21802  matinv  23022  cramerimp  23034  unitnmn0  25017  nminvr  25018  nrginvrcnlem  25040  ig1peu  26523  dchrelbas3  27595  dchrmulcl  27606  kerunit  33956  dvdsruasso2  34011  unitmulrprm  34130  1arithidomlem1  34137  1arithidomlem2  34138  1arithidom  34139  ply1unit  34177  m1pmeq  34187  fldhmf1  43332  invginvrid  49684  lincresunit3lem3  49791  lincresunit3lem1  49796