MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitcl 18926
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcl.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitcl (𝑋𝑈𝑋𝐵)

Proof of Theorem unitcl
StepHypRef Expression
1 unitcl.2 . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2 eqid 2765 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2765 . . . 4 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
4 eqid 2765 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
5 eqid 2765 . . . 4 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
61, 2, 3, 4, 5isunit 18924 . . 3 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
76simplbi 491 . 2 (𝑋𝑈𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅))
8 unitcl.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
98, 3dvdsrcl 18916 . 2 (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) → 𝑋𝐵)
107, 9syl 17 1 (𝑋𝑈𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  cfv 6068  Basecbs 16130  1rcur 18768  opprcoppr 18889  rcdsr 18905  Unitcui 18906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-dvdsr 18908  df-unit 18909
This theorem is referenced by:  unitss  18927  unitmulcl  18931  unitgrp  18934  ringinvcl  18943  unitnegcl  18948  unitdvcl  18954  dvrid  18955  dvrcan1  18958  dvrcan3  18959  dvreq1  18960  irredrmul  18974  isdrng2  19026  subrguss  19064  subrginv  19065  subrgunit  19067  unitrrg  19567  gzrngunitlem  20084  gzrngunit  20085  zringunit  20109  matinv  20761  cramerimp  20771  unitnmn0  22751  nminvr  22752  nrginvrcnlem  22774  ig1peu  24222  dchrelbas3  25254  dchrmulcl  25265  kerunit  30270  invginvrid  42817  lincresunit3lem3  42932  lincresunit3lem1  42937
  Copyright terms: Public domain W3C validator