Theorem unitcl 20566

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20564	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20556	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 18	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  1_rcur 20368  opp_rcoppr 20527  ∥_rcdsr 20545  Unitcui 20546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-ov 7411  df-dvdsr 20548  df-unit 20549

This theorem is used by:  unitss  20567  unitmulcl  20571  unitgrp  20574  ringinvcl  20583  unitnegcl  20588  ringunitnzdiv  20589  unitdvcl  20596  dvrid  20597  dvrcan1  20600  dvrcan3  20601  dvreq1  20602  irredrmul  20618  subrguss  20800  subrginv  20801  subrgunit  20803  unitrrg  20916  isdrng4  20953  isdrng2  20958  gzrngunitlem  21699  gzrngunit  21700  zringunit  21733  matinv  22953  cramerimp  22965  unitnmn0  24948  nminvr  24949  nrginvrcnlem  24971  ig1peu  26454  dchrelbas3  27528  dchrmulcl  27539  kerunit  33819  dvdsruasso2  33874  unitmulrprm  33993  1arithidomlem1  34000  1arithidomlem2  34001  1arithidom  34002  ply1unit  34040  m1pmeq  34050  fldhmf1  43060  invginvrid  49401  lincresunit3lem3  49508  lincresunit3lem1  49513