Theorem unitcl 20316

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20314	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20306	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  Basecbs 17141  1_rcur 20121  opp_rcoppr 20277  ∥_rcdsr 20295  Unitcui 20296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7364  df-dvdsr 20298  df-unit 20299

This theorem is referenced by:  unitss  20317  unitmulcl  20321  unitgrp  20324  ringinvcl  20333  unitnegcl  20338  ringunitnzdiv  20339  unitdvcl  20346  dvrid  20347  dvrcan1  20350  dvrcan3  20351  dvreq1  20352  irredrmul  20368  subrguss  20525  subrginv  20526  subrgunit  20528  unitrrg  20641  isdrng2  20681  gzrngunitlem  21392  gzrngunit  21393  zringunit  21426  matinv  22626  cramerimp  22635  unitnmn0  24617  nminvr  24618  nrginvrcnlem  24640  ig1peu  26141  dchrelbas3  27210  dchrmulcl  27221  isdrng4  33381  kerunit  33410  dvdsruasso2  33471  unitmulrprm  33613  1arithidomlem1  33620  1arithidomlem2  33621  1arithidom  33622  ply1unit  33660  m1pmeq  33670  fldhmf1  42423  invginvrid  48690  lincresunit3lem3  48797  lincresunit3lem1  48802