Theorem unitcl 20189

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20187	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 499	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20179	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  1_rcur 20004  opp_rcoppr 20149  ∥_rcdsr 20168  Unitcui 20169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-dvdsr 20171  df-unit 20172

This theorem is referenced by:  unitss  20190  unitmulcl  20194  unitgrp  20197  ringinvcl  20206  unitnegcl  20211  ringunitnzdiv  20212  unitdvcl  20219  dvrid  20220  dvrcan1  20223  dvrcan3  20224  dvreq1  20225  irredrmul  20241  subrguss  20334  subrginv  20335  subrgunit  20337  isdrng2  20371  unitrrg  20909  gzrngunitlem  21010  gzrngunit  21011  zringunit  21036  matinv  22179  cramerimp  22188  unitnmn0  24185  nminvr  24186  nrginvrcnlem  24208  ig1peu  25689  dchrelbas3  26741  dchrmulcl  26752  isdrng4  32426  kerunit  32468  fldhmf1  41003  invginvrid  47091  lincresunit3lem3  47203  lincresunit3lem1  47208