Theorem unitcl 20303

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20301	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20293	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  Basecbs 17171  1_rcur 20112  opp_rcoppr 20261  ∥_rcdsr 20282  Unitcui 20283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-dvdsr 20285  df-unit 20286

This theorem is referenced by:  unitss  20304  unitmulcl  20308  unitgrp  20311  ringinvcl  20320  unitnegcl  20325  ringunitnzdiv  20326  unitdvcl  20333  dvrid  20334  dvrcan1  20337  dvrcan3  20338  dvreq1  20339  irredrmul  20355  subrguss  20515  subrginv  20516  subrgunit  20518  isdrng2  20627  unitrrg  21229  gzrngunitlem  21352  gzrngunit  21353  zringunit  21379  matinv  22566  cramerimp  22575  unitnmn0  24572  nminvr  24573  nrginvrcnlem  24595  ig1peu  26096  dchrelbas3  27158  dchrmulcl  27169  isdrng4  32932  kerunit  32974  ply1unit  33191  m1pmeq  33192  fldhmf1  41498  invginvrid  47354  lincresunit3lem3  47465  lincresunit3lem1  47470