Theorem unitcl 20286

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20284	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20276	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  Basecbs 17112  1_rcur 20092  opp_rcoppr 20247  ∥_rcdsr 20265  Unitcui 20266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fv 6485  df-ov 7344  df-dvdsr 20268  df-unit 20269

This theorem is referenced by:  unitss  20287  unitmulcl  20291  unitgrp  20294  ringinvcl  20303  unitnegcl  20308  ringunitnzdiv  20309  unitdvcl  20316  dvrid  20317  dvrcan1  20320  dvrcan3  20321  dvreq1  20322  irredrmul  20338  subrguss  20495  subrginv  20496  subrgunit  20498  unitrrg  20611  isdrng2  20651  gzrngunitlem  21362  gzrngunit  21363  zringunit  21396  matinv  22585  cramerimp  22594  unitnmn0  24576  nminvr  24577  nrginvrcnlem  24599  ig1peu  26100  dchrelbas3  27169  dchrmulcl  27180  isdrng4  33251  kerunit  33280  dvdsruasso2  33341  unitmulrprm  33483  1arithidomlem1  33490  1arithidomlem2  33491  1arithidom  33492  ply1unit  33528  m1pmeq  33537  fldhmf1  42102  invginvrid  48377  lincresunit3lem3  48485  lincresunit3lem1  48490