Theorem unitcl 20434

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20432	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20424	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  ‘cfv 6521  Basecbs 17255  1_rcur 20241  opp_rcoppr 20395  ∥_rcdsr 20413  Unitcui 20414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-dvdsr 20416  df-unit 20417

This theorem is referenced by:  unitss  20435  unitmulcl  20439  unitgrp  20442  ringinvcl  20451  unitnegcl  20456  ringunitnzdiv  20457  unitdvcl  20464  dvrid  20465  dvrcan1  20468  dvrcan3  20469  dvreq1  20470  irredrmul  20486  subrguss  20647  subrginv  20648  subrgunit  20650  unitrrg  20763  isdrng2  20802  gzrngunitlem  21491  gzrngunit  21492  zringunit  21525  matinv  22744  cramerimp  22753  unitnmn0  24735  nminvr  24736  nrginvrcnlem  24758  ig1peu  26242  dchrelbas3  27309  dchrmulcl  27320  isdrng4  33485  kerunit  33514  dvdsruasso2  33575  unitmulrprm  33727  1arithidomlem1  33734  1arithidomlem2  33735  1arithidom  33736  ply1unit  33774  m1pmeq  33784  fldhmf1  42712  invginvrid  48980  lincresunit3lem3  49087  lincresunit3lem1  49092