Theorem unitcl 20376

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20374	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20366	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  Basecbs 17248  1_rcur 20179  opp_rcoppr 20334  ∥_rcdsr 20355  Unitcui 20356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-ov 7435  df-dvdsr 20358  df-unit 20359

This theorem is referenced by:  unitss  20377  unitmulcl  20381  unitgrp  20384  ringinvcl  20393  unitnegcl  20398  ringunitnzdiv  20399  unitdvcl  20406  dvrid  20407  dvrcan1  20410  dvrcan3  20411  dvreq1  20412  irredrmul  20428  subrguss  20588  subrginv  20589  subrgunit  20591  unitrrg  20704  isdrng2  20744  gzrngunitlem  21451  gzrngunit  21452  zringunit  21478  matinv  22684  cramerimp  22693  unitnmn0  24690  nminvr  24691  nrginvrcnlem  24713  ig1peu  26215  dchrelbas3  27283  dchrmulcl  27294  isdrng4  33299  kerunit  33350  dvdsruasso2  33415  unitmulrprm  33557  1arithidomlem1  33564  1arithidomlem2  33565  1arithidom  33566  ply1unit  33601  m1pmeq  33609  fldhmf1  42092  invginvrid  48288  lincresunit3lem3  48396  lincresunit3lem1  48401