Theorem unitcl 20340

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20338	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20330	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  1_rcur 20146  opp_rcoppr 20301  ∥_rcdsr 20319  Unitcui 20320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-dvdsr 20322  df-unit 20323

This theorem is referenced by:  unitss  20341  unitmulcl  20345  unitgrp  20348  ringinvcl  20357  unitnegcl  20362  ringunitnzdiv  20363  unitdvcl  20370  dvrid  20371  dvrcan1  20374  dvrcan3  20375  dvreq1  20376  irredrmul  20392  subrguss  20552  subrginv  20553  subrgunit  20555  unitrrg  20668  isdrng2  20708  gzrngunitlem  21405  gzrngunit  21406  zringunit  21432  matinv  22620  cramerimp  22629  unitnmn0  24612  nminvr  24613  nrginvrcnlem  24635  ig1peu  26137  dchrelbas3  27206  dchrmulcl  27217  isdrng4  33294  kerunit  33346  dvdsruasso2  33406  unitmulrprm  33548  1arithidomlem1  33555  1arithidomlem2  33556  1arithidom  33557  ply1unit  33593  m1pmeq  33601  fldhmf1  42108  invginvrid  48309  lincresunit3lem3  48417  lincresunit3lem1  48422