Theorem unitcl 20284

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20282	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20274	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  1_rcur 20090  opp_rcoppr 20245  ∥_rcdsr 20263  Unitcui 20264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-dvdsr 20266  df-unit 20267

This theorem is referenced by:  unitss  20285  unitmulcl  20289  unitgrp  20292  ringinvcl  20301  unitnegcl  20306  ringunitnzdiv  20307  unitdvcl  20314  dvrid  20315  dvrcan1  20318  dvrcan3  20319  dvreq1  20320  irredrmul  20336  subrguss  20496  subrginv  20497  subrgunit  20499  unitrrg  20612  isdrng2  20652  gzrngunitlem  21349  gzrngunit  21350  zringunit  21376  matinv  22564  cramerimp  22573  unitnmn0  24556  nminvr  24557  nrginvrcnlem  24579  ig1peu  26080  dchrelbas3  27149  dchrmulcl  27160  isdrng4  33245  kerunit  33297  dvdsruasso2  33357  unitmulrprm  33499  1arithidomlem1  33506  1arithidomlem2  33507  1arithidom  33508  ply1unit  33544  m1pmeq  33552  fldhmf1  42078  invginvrid  48355  lincresunit3lem3  48463  lincresunit3lem1  48468