Theorem unitcl 20315

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20313	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20305	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  1_rcur 20120  opp_rcoppr 20276  ∥_rcdsr 20294  Unitcui 20295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-dvdsr 20297  df-unit 20298

This theorem is referenced by:  unitss  20316  unitmulcl  20320  unitgrp  20323  ringinvcl  20332  unitnegcl  20337  ringunitnzdiv  20338  unitdvcl  20345  dvrid  20346  dvrcan1  20349  dvrcan3  20350  dvreq1  20351  irredrmul  20367  subrguss  20524  subrginv  20525  subrgunit  20527  unitrrg  20640  isdrng2  20680  gzrngunitlem  21391  gzrngunit  21392  zringunit  21425  matinv  22625  cramerimp  22634  unitnmn0  24616  nminvr  24617  nrginvrcnlem  24639  ig1peu  26140  dchrelbas3  27209  dchrmulcl  27220  isdrng4  33358  kerunit  33387  dvdsruasso2  33448  unitmulrprm  33590  1arithidomlem1  33597  1arithidomlem2  33598  1arithidom  33599  ply1unit  33637  m1pmeq  33647  fldhmf1  42381  invginvrid  48649  lincresunit3lem3  48756  lincresunit3lem1  48761