Theorem unitcl 20453

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20451	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20443	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 18	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  1_rcur 20259  opp_rcoppr 20414  ∥_rcdsr 20432  Unitcui 20433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7411  df-dvdsr 20435  df-unit 20436

This theorem is referenced by:  unitss  20454  unitmulcl  20458  unitgrp  20461  ringinvcl  20470  unitnegcl  20475  ringunitnzdiv  20476  unitdvcl  20483  dvrid  20484  dvrcan1  20487  dvrcan3  20488  dvreq1  20489  irredrmul  20505  subrguss  20668  subrginv  20669  subrgunit  20671  unitrrg  20784  isdrng2  20823  gzrngunitlem  21547  gzrngunit  21548  zringunit  21581  matinv  22799  cramerimp  22808  unitnmn0  24790  nminvr  24791  nrginvrcnlem  24813  ig1peu  26297  dchrelbas3  27364  dchrmulcl  27375  isdrng4  33555  kerunit  33584  dvdsruasso2  33639  unitmulrprm  33759  1arithidomlem1  33766  1arithidomlem2  33767  1arithidom  33768  ply1unit  33806  m1pmeq  33816  fldhmf1  42742  invginvrid  49025  lincresunit3lem3  49132  lincresunit3lem1  49137