Theorem unitcl 20517

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20515	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20507	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 18	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  1_rcur 20321  opp_rcoppr 20478  ∥_rcdsr 20496  Unitcui 20497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-dvdsr 20499  df-unit 20500

This theorem is used by:  unitss  20518  unitmulcl  20522  unitgrp  20525  ringinvcl  20534  unitnegcl  20539  ringunitnzdiv  20540  unitdvcl  20547  dvrid  20548  dvrcan1  20551  dvrcan3  20552  dvreq1  20553  irredrmul  20569  subrguss  20750  subrginv  20751  subrgunit  20753  unitrrg  20866  isdrng4  20903  isdrng2  20907  gzrngunitlem  21646  gzrngunit  21647  zringunit  21680  matinv  22900  cramerimp  22912  unitnmn0  24895  nminvr  24896  nrginvrcnlem  24918  ig1peu  26402  dchrelbas3  27472  dchrmulcl  27483  kerunit  33752  dvdsruasso2  33806  unitmulrprm  33925  1arithidomlem1  33932  1arithidomlem2  33933  1arithidom  33934  ply1unit  33972  m1pmeq  33982  fldhmf1  42943  invginvrid  49284  lincresunit3lem3  49391  lincresunit3lem1  49396