MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitcl 20088
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcl.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
unitcl.2 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitcl (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem unitcl
StepHypRef Expression
1 unitcl.2 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
2 eqid 2736 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3 eqid 2736 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
4 eqid 2736 . . . 4 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
5 eqid 2736 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
61, 2, 3, 4, 5isunit 20086 . . 3 (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
76simplbi 498 . 2 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
8 unitcl.1 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
98, 3dvdsrcl 20078 . 2 (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
107, 9syl 17 1 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  β€˜cfv 6496  Basecbs 17083  1rcur 19913  opprcoppr 20048  βˆ₯rcdsr 20067  Unitcui 20068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-ov 7360  df-dvdsr 20070  df-unit 20071
This theorem is referenced by:  unitss  20089  unitmulcl  20093  unitgrp  20096  ringinvcl  20105  unitnegcl  20110  unitdvcl  20116  dvrid  20117  dvrcan1  20120  dvrcan3  20121  dvreq1  20122  irredrmul  20136  isdrng2  20198  subrguss  20237  subrginv  20238  subrgunit  20240  unitrrg  20763  gzrngunitlem  20862  gzrngunit  20863  zringunit  20887  matinv  22026  cramerimp  22035  unitnmn0  24032  nminvr  24033  nrginvrcnlem  24055  ig1peu  25536  dchrelbas3  26586  dchrmulcl  26597  kerunit  32114  fldhmf1  40547  invginvrid  46433  lincresunit3lem3  46545  lincresunit3lem1  46550
  Copyright terms: Public domain W3C validator