Theorem unitcl 20290

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20288	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20280	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  1_rcur 20096  opp_rcoppr 20251  ∥_rcdsr 20269  Unitcui 20270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-ov 7392  df-dvdsr 20272  df-unit 20273

This theorem is referenced by:  unitss  20291  unitmulcl  20295  unitgrp  20298  ringinvcl  20307  unitnegcl  20312  ringunitnzdiv  20313  unitdvcl  20320  dvrid  20321  dvrcan1  20324  dvrcan3  20325  dvreq1  20326  irredrmul  20342  subrguss  20502  subrginv  20503  subrgunit  20505  unitrrg  20618  isdrng2  20658  gzrngunitlem  21355  gzrngunit  21356  zringunit  21382  matinv  22570  cramerimp  22579  unitnmn0  24562  nminvr  24563  nrginvrcnlem  24585  ig1peu  26086  dchrelbas3  27155  dchrmulcl  27166  isdrng4  33251  kerunit  33303  dvdsruasso2  33363  unitmulrprm  33505  1arithidomlem1  33512  1arithidomlem2  33513  1arithidom  33514  ply1unit  33550  m1pmeq  33558  fldhmf1  42073  invginvrid  48345  lincresunit3lem3  48453  lincresunit3lem1  48458