Theorem unitcl 20344

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20342	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20334	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  Basecbs 17168  1_rcur 20151  opp_rcoppr 20305  ∥_rcdsr 20323  Unitcui 20324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fv 6495  df-ov 7359  df-dvdsr 20326  df-unit 20327

This theorem is referenced by:  unitss  20345  unitmulcl  20349  unitgrp  20352  ringinvcl  20361  unitnegcl  20366  ringunitnzdiv  20367  unitdvcl  20374  dvrid  20375  dvrcan1  20378  dvrcan3  20379  dvreq1  20380  irredrmul  20396  subrguss  20553  subrginv  20554  subrgunit  20556  unitrrg  20669  isdrng2  20709  gzrngunitlem  21401  gzrngunit  21402  zringunit  21435  matinv  22630  cramerimp  22639  unitnmn0  24621  nminvr  24622  nrginvrcnlem  24644  ig1peu  26128  dchrelbas3  27189  dchrmulcl  27200  isdrng4  33344  kerunit  33373  dvdsruasso2  33434  unitmulrprm  33576  1arithidomlem1  33583  1arithidomlem2  33584  1arithidom  33585  ply1unit  33623  m1pmeq  33633  fldhmf1  42517  invginvrid  48831  lincresunit3lem3  48938  lincresunit3lem1  48943