Theorem unitcl 20278

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20276	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20268	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  1_rcur 20084  opp_rcoppr 20239  ∥_rcdsr 20257  Unitcui 20258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-dvdsr 20260  df-unit 20261

This theorem is referenced by:  unitss  20279  unitmulcl  20283  unitgrp  20286  ringinvcl  20295  unitnegcl  20300  ringunitnzdiv  20301  unitdvcl  20308  dvrid  20309  dvrcan1  20312  dvrcan3  20313  dvreq1  20314  irredrmul  20330  subrguss  20490  subrginv  20491  subrgunit  20493  unitrrg  20606  isdrng2  20646  gzrngunitlem  21357  gzrngunit  21358  zringunit  21391  matinv  22580  cramerimp  22589  unitnmn0  24572  nminvr  24573  nrginvrcnlem  24595  ig1peu  26096  dchrelbas3  27165  dchrmulcl  27176  isdrng4  33244  kerunit  33273  dvdsruasso2  33333  unitmulrprm  33475  1arithidomlem1  33482  1arithidomlem2  33483  1arithidom  33484  ply1unit  33520  m1pmeq  33528  fldhmf1  42063  invginvrid  48339  lincresunit3lem3  48447  lincresunit3lem1  48452