Theorem unitcl 20392

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20390	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20382	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  1_rcur 20199  opp_rcoppr 20350  ∥_rcdsr 20371  Unitcui 20372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-dvdsr 20374  df-unit 20375

This theorem is referenced by:  unitss  20393  unitmulcl  20397  unitgrp  20400  ringinvcl  20409  unitnegcl  20414  ringunitnzdiv  20415  unitdvcl  20422  dvrid  20423  dvrcan1  20426  dvrcan3  20427  dvreq1  20428  irredrmul  20444  subrguss  20604  subrginv  20605  subrgunit  20607  unitrrg  20720  isdrng2  20760  gzrngunitlem  21468  gzrngunit  21469  zringunit  21495  matinv  22699  cramerimp  22708  unitnmn0  24705  nminvr  24706  nrginvrcnlem  24728  ig1peu  26229  dchrelbas3  27297  dchrmulcl  27308  isdrng4  33279  kerunit  33329  dvdsruasso2  33394  unitmulrprm  33536  1arithidomlem1  33543  1arithidomlem2  33544  1arithidom  33545  ply1unit  33580  m1pmeq  33588  fldhmf1  42072  invginvrid  48212  lincresunit3lem3  48320  lincresunit3lem1  48325