Theorem unitcl 20605

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20603	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20595	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 18	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  1_rcur 20407  opp_rcoppr 20566  ∥_rcdsr 20584  Unitcui 20585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-dvdsr 20587  df-unit 20588

This theorem is used by:  unitss  20606  unitmulcl  20610  unitgrp  20613  ringinvcl  20622  unitnegcl  20627  ringunitnzdiv  20628  unitdvcl  20635  dvrid  20636  dvrcan1  20639  dvrcan3  20640  dvreq1  20641  irredrmul  20657  subrguss  20839  subrginv  20840  subrgunit  20842  unitrrg  20955  isdrng4  20992  isdrng2  20997  gzrngunitlem  21738  gzrngunit  21739  zringunit  21772  matinv  22992  cramerimp  23004  unitnmn0  24987  nminvr  24988  nrginvrcnlem  25010  ig1peu  26493  dchrelbas3  27565  dchrmulcl  27576  kerunit  33928  dvdsruasso2  33983  unitmulrprm  34102  1arithidomlem1  34109  1arithidomlem2  34110  1arithidom  34111  ply1unit  34149  m1pmeq  34159  fldhmf1  43183  invginvrid  49522  lincresunit3lem3  49629  lincresunit3lem1  49634