Theorem unitcl 20299

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20297	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20289	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  1_rcur 20105  opp_rcoppr 20260  ∥_rcdsr 20278  Unitcui 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fv 6495  df-ov 7355  df-dvdsr 20281  df-unit 20282

This theorem is referenced by:  unitss  20300  unitmulcl  20304  unitgrp  20307  ringinvcl  20316  unitnegcl  20321  ringunitnzdiv  20322  unitdvcl  20329  dvrid  20330  dvrcan1  20333  dvrcan3  20334  dvreq1  20335  irredrmul  20351  subrguss  20508  subrginv  20509  subrgunit  20511  unitrrg  20624  isdrng2  20664  gzrngunitlem  21375  gzrngunit  21376  zringunit  21409  matinv  22598  cramerimp  22607  unitnmn0  24589  nminvr  24590  nrginvrcnlem  24612  ig1peu  26113  dchrelbas3  27182  dchrmulcl  27193  isdrng4  33268  kerunit  33297  dvdsruasso2  33358  unitmulrprm  33500  1arithidomlem1  33507  1arithidomlem2  33508  1arithidom  33509  ply1unit  33545  m1pmeq  33554  fldhmf1  42189  invginvrid  48472  lincresunit3lem3  48580  lincresunit3lem1  48585