Theorem unitcl 20318

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20316	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20308	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5148  ‘cfv 6547  Basecbs 17179  1_rcur 20125  opp_rcoppr 20276  ∥_rcdsr 20297  Unitcui 20298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fv 6555  df-ov 7420  df-dvdsr 20300  df-unit 20301

This theorem is referenced by:  unitss  20319  unitmulcl  20323  unitgrp  20326  ringinvcl  20335  unitnegcl  20340  ringunitnzdiv  20341  unitdvcl  20348  dvrid  20349  dvrcan1  20352  dvrcan3  20353  dvreq1  20354  irredrmul  20370  subrguss  20530  subrginv  20531  subrgunit  20533  isdrng2  20642  unitrrg  21244  gzrngunitlem  21369  gzrngunit  21370  zringunit  21396  matinv  22609  cramerimp  22618  unitnmn0  24615  nminvr  24616  nrginvrcnlem  24638  ig1peu  26139  dchrelbas3  27201  dchrmulcl  27212  isdrng4  33044  kerunit  33094  dvdsruasso2  33151  ply1unit  33330  m1pmeq  33331  fldhmf1  41630  invginvrid  47543  lincresunit3lem3  47654  lincresunit3lem1  47659