Theorem unitcl 20182

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20180	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 499	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20172	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  Basecbs 17141  1_rcur 19999  opp_rcoppr 20142  ∥_rcdsr 20161  Unitcui 20162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7409  df-dvdsr 20164  df-unit 20165

This theorem is referenced by:  unitss  20183  unitmulcl  20187  unitgrp  20190  ringinvcl  20199  unitnegcl  20204  ringunitnzdiv  20205  unitdvcl  20212  dvrid  20213  dvrcan1  20216  dvrcan3  20217  dvreq1  20218  irredrmul  20234  isdrng2  20322  subrguss  20371  subrginv  20372  subrgunit  20374  unitrrg  20902  gzrngunitlem  21003  gzrngunit  21004  zringunit  21028  matinv  22171  cramerimp  22180  unitnmn0  24177  nminvr  24178  nrginvrcnlem  24200  ig1peu  25681  dchrelbas3  26731  dchrmulcl  26742  isdrng4  32384  kerunit  32426  fldhmf1  40944  invginvrid  46997  lincresunit3lem3  47109  lincresunit3lem1  47114