Theorem unitcl 20313

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
6	1, 2, 3, 4, 5	isunit 20311	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
7	6	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
8		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	dvdsrcl 20303	. 2 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  Basecbs 17137  1_rcur 20120  opp_rcoppr 20274  ∥_rcdsr 20292  Unitcui 20293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7361  df-dvdsr 20295  df-unit 20296

This theorem is referenced by:  unitss  20314  unitmulcl  20318  unitgrp  20321  ringinvcl  20330  unitnegcl  20335  ringunitnzdiv  20336  unitdvcl  20343  dvrid  20344  dvrcan1  20347  dvrcan3  20348  dvreq1  20349  irredrmul  20365  subrguss  20522  subrginv  20523  subrgunit  20525  unitrrg  20638  isdrng2  20678  gzrngunitlem  21389  gzrngunit  21390  zringunit  21423  matinv  22620  cramerimp  22629  unitnmn0  24611  nminvr  24612  nrginvrcnlem  24634  ig1peu  26121  dchrelbas3  27189  dchrmulcl  27200  isdrng4  33361  kerunit  33390  dvdsruasso2  33451  unitmulrprm  33593  1arithidomlem1  33600  1arithidomlem2  33601  1arithidom  33602  ply1unit  33640  m1pmeq  33650  fldhmf1  42521  invginvrid  48801  lincresunit3lem3  48908  lincresunit3lem1  48913