MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan1 20072
Description: A cancellation law for division. (divcan1 11780 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d / = (/r𝑅)
dvrass.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dvrcan1
StepHypRef Expression
1 dvrass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvrass.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3 dvrass.o . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2737 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrass.d . . . . 5 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrval 20066 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
763adant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
87oveq1d 7366 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌))
9 simp1 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simp2 1137 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑋𝐵)
113, 4, 1ringinvcl 20057 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12113adant2 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
131, 3unitcl 20040 . . . . 5 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
14133ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑌𝐵)
151, 2ringass 19937 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
169, 10, 12, 14, 15syl13anc 1372 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
17 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
183, 4, 2, 17unitlinv 20058 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r𝑅))
19183adant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r𝑅))
2019oveq2d 7367 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = (𝑋 · (1r𝑅)))
211, 2, 17ringridm 19946 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
22213adant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
2320, 22eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = 𝑋)
2416, 23eqtrd 2777 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = 𝑋)
258, 24eqtrd 2777 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  .rcmulr 17093  1rcur 19871  Ringcrg 19917  Unitcui 20020  invrcinvr 20052  /rcdvr 20063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-0g 17282  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-ring 19919  df-oppr 20001  df-dvdsr 20022  df-unit 20023  df-invr 20053  df-dvr 20064
This theorem is referenced by:  dvreq1  20074  irredrmul  20088  isdrng2  20150  cnflddiv  20779  isarchiofld  31935
  Copyright terms: Public domain W3C validator