MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan1 20391
Description: A cancellation law for division. (divcan1 11932 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d / = (/r𝑅)
dvrass.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dvrcan1
StepHypRef Expression
1 dvrass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvrass.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3 dvrass.o . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2726 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrass.d . . . . 5 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrval 20385 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
763adant1 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
87oveq1d 7439 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌))
9 simp1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simp2 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑋𝐵)
113, 4, 1ringinvcl 20374 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12113adant2 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
131, 3unitcl 20357 . . . . 5 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
14133ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑌𝐵)
151, 2ringass 20236 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
169, 10, 12, 14, 15syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
183, 4, 2, 17unitlinv 20375 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r𝑅))
19183adant2 1128 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r𝑅))
2019oveq2d 7440 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = (𝑋 · (1r𝑅)))
211, 2, 17ringridm 20249 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
22213adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
2320, 22eqtrd 2766 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = 𝑋)
2416, 23eqtrd 2766 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = 𝑋)
258, 24eqtrd 2766 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  .rcmulr 17267  1rcur 20164  Ringcrg 20216  Unitcui 20337  invrcinvr 20369  /rcdvr 20382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383
This theorem is referenced by:  dvreq1  20393  irredrmul  20409  lringuplu  20526  isdrng2  20721  cnflddiv  21392  cnflddivOLD  21393  isarchiofld  33195  ply1dg1rt  33451
  Copyright terms: Public domain W3C validator