MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrcan1 20308
Description: A cancellation law for division. (divcan1 11882 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrass.o π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrass.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrass.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcan1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑋)
Proof of Theorem dvrcan1
StepHypRef Expression
1 dvrass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 dvrass.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3 dvrass.o . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
4 eqid 2726 . . . . 5 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
5 dvrass.d . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
61, 2, 3, 4, 5dvrval 20302 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
763adant1 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
87oveq1d 7419 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· π‘Œ) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ))
9 simp1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 simp2 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
113, 4, 1ringinvcl 20291 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
12113adant2 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
131, 3unitcl 20274 . . . . 5 (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14133ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
151, 2ringass 20155 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)))
169, 10, 12, 14, 15syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)))
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
183, 4, 2, 17unitlinv 20292 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
19183adant2 1128 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
2019oveq2d 7420 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)) = (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)))
211, 2, 17ringridm 20166 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
22213adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
2320, 22eqtrd 2766 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)) = 𝑋)
2416, 23eqtrd 2766 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ) = 𝑋)
258, 24eqtrd 2766 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  1rcur 20083  Ringcrg 20135  Unitcui 20254  invrcinvr 20286  /rcdvr 20299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300
This theorem is referenced by:  dvreq1  20310  irredrmul  20326  lringuplu  20441  isdrng2  20598  cnflddiv  21284  cnflddivOLD  21285  isarchiofld  32937
  Copyright terms: Public domain W3C validator