MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrcan1 20223
Description: A cancellation law for division. (divcan1 11881 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrass.o π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrass.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrass.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcan1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑋)
Proof of Theorem dvrcan1
StepHypRef Expression
1 dvrass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 dvrass.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3 dvrass.o . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
4 eqid 2733 . . . . 5 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
5 dvrass.d . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
61, 2, 3, 4, 5dvrval 20217 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
763adant1 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
87oveq1d 7424 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· π‘Œ) = ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ))
9 simp1 1137 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 simp2 1138 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
113, 4, 1ringinvcl 20206 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
12113adant2 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
131, 3unitcl 20189 . . . . 5 (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14133ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
151, 2ringass 20076 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)))
169, 10, 12, 14, 15syl13anc 1373 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)))
17 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
183, 4, 2, 17unitlinv 20207 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
19183adant2 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
2019oveq2d 7425 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)) = (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)))
211, 2, 17ringridm 20087 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
22213adant3 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
2320, 22eqtrd 2773 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) Β· π‘Œ)) = 𝑋)
2416, 23eqtrd 2773 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) Β· π‘Œ) = 𝑋)
258, 24eqtrd 2773 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 / π‘Œ) Β· π‘Œ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  1rcur 20004  Ringcrg 20056  Unitcui 20169  invrcinvr 20201  /rcdvr 20214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215
This theorem is referenced by:  dvreq1  20225  irredrmul  20241  lringuplu  20314  isdrng2  20371  cnflddiv  20975  isarchiofld  32435
  Copyright terms: Public domain W3C validator