Theorem dvrcan1 20374

Description: A cancellation law for division. (divcan1 11910 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcan1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dvrcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvrass.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		dvrass.o	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
5		dvrass.d	. . . . 5 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvrval 20368	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
7	6	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)))
8	7	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑌))
9		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	3, 4, 1	ringinvcl 20357	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	11	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	1, 3	unitcl 20340	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	13	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 2	ringass 20218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
16	9, 10, 12, 14, 15	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	3, 4, 2, 17	unitlinv 20358	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r‘𝑅))
19	18	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r‘𝑅))
20	19	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
21	1, 2, 17	ringridm 20235	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
22	21	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
23	20, 22	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (((invr‘𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = 𝑋)
24	16, 23	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · ((invr‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = 𝑋)
25	8, 24	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  Unitcui 20320  inv_rcinvr 20352  /_rcdvr 20365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366

This theorem is referenced by:  dvreq1  20376  irredrmul  20392  lringuplu  20509  isdrng2  20708  cnflddiv  21368  cnflddivOLD  21369  isarchiofld  33344  ply1dg1rt  33597