Theorem unitmulcl 20397

Description: The product of units is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitmulcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1145	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp3 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
3		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		unitmulcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 20392	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
7		simp2 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
8		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
10		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
12	4, 8, 9, 10, 11	isunit 20390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
13	7, 12	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
14	13	simpld 497	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
15		unitmulcl.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	3, 9, 15	dvdsrmul1 20386	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
17	1, 6, 14, 16	syl3anc 1382	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
18	3, 15, 8	ringlidm 20287	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
19	1, 6, 18	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
20	17, 19	breqtrd 5116	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌)
21	4, 8, 9, 10, 11	isunit 20390	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
22	2, 21	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
23	22	simpld 497	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
24	3, 9	dvdsrtr 20385	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌 ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
25	1, 20, 23, 24	syl3anc 1382	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
26	10	opprring 20364	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
27	1, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
28		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
29	3, 15, 10, 28	opprmul 20357	. . . 4 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
30	3, 4	unitcl 20392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
31	7, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
32	22	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
33	10, 3	opprbas 20360	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
34	33, 11, 28	dvdsrmul1 20386	. . . . . 6 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
35	27, 31, 32, 34	syl3anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
36	3, 15, 10, 28	opprmul 20357	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r‘𝑅))
37	3, 15, 8	ringridm 20288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
38	1, 31, 37	syl2anc 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
39	36, 38	eqtrid 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 𝑋)
40	35, 39	breqtrd 5116	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
41	29, 40	eqbrtrrid 5126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
42	13	simprd 498	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
43	33, 11	dvdsrtr 20385	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
44	27, 41, 42, 43	syl3anc 1382	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
45	4, 8, 9, 10, 11	isunit 20390	. 2 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
46	25, 44, 45	sylanbrc 591	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  ._rcmulr 17259  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  opp_rcoppr 20353  ∥_rcdsr 20371  Unitcui 20372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375

This theorem is referenced by:  unitmulclb  20398  unitgrp  20400  unitdvcl  20422  rdivmuldivd  20430  irredrmul  20444  lringuplu  20562  subrgugrp  20609  dchrelbasd  27269  dchrptlem2  27295  dvrcan5  33366  1arithidomlem1  33675  qqhghm  34229  qqhrhm  34230