MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitmulcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitmulcl 20282
Description: The product of units is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitmulcl.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitmulcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem unitmulcl
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
3 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 unitmulcl.1 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
53, 4unitcl 20277 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
8 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
9 eqid 2726 . . . . . . . 8 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
10 eqid 2726 . . . . . . . 8 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
124, 8, 9, 10, 11isunit 20275 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
137, 12sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
1413simpld 494 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
15 unitmulcl.2 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
163, 9, 15dvdsrmul1 20271 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
171, 6, 14, 16syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
183, 15, 8ringlidm 20168 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
191, 6, 18syl2anc 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
2017, 19breqtrd 5167 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘Œ)
214, 8, 9, 10, 11isunit 20275 . . . . 5 (π‘Œ ∈ π‘ˆ ↔ (π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
222, 21sylib 217 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
2322simpld 494 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
243, 9dvdsrtr 20270 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘Œ ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
251, 20, 23, 24syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
2610opprring 20249 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
271, 26syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
28 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
293, 15, 10, 28opprmul 20239 . . . 4 (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· π‘Œ)
303, 4unitcl 20277 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
317, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3222simprd 495 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
3310, 3opprbas 20243 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3433, 11, 28dvdsrmul1 20271 . . . . . 6 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
3527, 31, 32, 34syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
363, 15, 10, 28opprmul 20239 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…))
373, 15, 8ringridm 20169 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
381, 31, 37syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
3936, 38eqtrid 2778 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = 𝑋)
4035, 39breqtrd 5167 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)
4129, 40eqbrtrrid 5177 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)
4213simprd 495 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
4333, 11dvdsrtr 20270 . . 3 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
4427, 41, 42, 43syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
454, 8, 9, 10, 11isunit 20275 . 2 ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
4625, 44, 45sylanbrc 582 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  1rcur 20086  Ringcrg 20138  opprcoppr 20235  βˆ₯rcdsr 20256  Unitcui 20257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260
This theorem is referenced by:  unitmulclb  20283  unitgrp  20285  unitdvcl  20307  rdivmuldivd  20315  irredrmul  20329  lringuplu  20444  subrgugrp  20493  dchrelbasd  27127  dchrptlem2  27153  dvrcan5  32887  qqhghm  33498  qqhrhm  33499
  Copyright terms: Public domain W3C validator