MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitmulcl 19904
Description: The product of units is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitmulcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitmulcl
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
3 eqid 2740 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 unitmulcl.1 . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑅)
53, 4unitcl 19899 . . . . . 6 (𝑌𝑈𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
7 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → 𝑋𝑈)
8 eqid 2740 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
9 eqid 2740 . . . . . . . 8 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
10 eqid 2740 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
11 eqid 2740 . . . . . . . 8 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
124, 8, 9, 10, 11isunit 19897 . . . . . . 7 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
137, 12sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
1413simpld 495 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → 𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅))
15 unitmulcl.2 . . . . . 6 · = (.r𝑅)
163, 9, 15dvdsrmul1 19893 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r𝑅)((1r𝑅) · 𝑌))
171, 6, 14, 16syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r𝑅)((1r𝑅) · 𝑌))
183, 15, 8ringlidm 19808 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
191, 6, 18syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
2017, 19breqtrd 5105 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r𝑅)𝑌)
214, 8, 9, 10, 11isunit 19897 . . . . 5 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
222, 21sylib 217 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑌(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
2322simpld 495 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → 𝑌(∥r𝑅)(1r𝑅))
243, 9dvdsrtr 19892 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r𝑅)𝑌𝑌(∥r𝑅)(1r𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r𝑅)(1r𝑅))
251, 20, 23, 24syl3anc 1370 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r𝑅)(1r𝑅))
2610opprring 19871 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
271, 26syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (oppr𝑅) ∈ Ring)
28 eqid 2740 . . . . 5 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
293, 15, 10, 28opprmul 19863 . . . 4 (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
303, 4unitcl 19899 . . . . . . 7 (𝑋𝑈𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
317, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
3222simprd 496 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → 𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
3310, 3opprbas 19867 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
3433, 11, 28dvdsrmul1 19893 . . . . . 6 (((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)) → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))((1r𝑅)(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
3527, 31, 32, 34syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))((1r𝑅)(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
363, 15, 10, 28opprmul 19863 . . . . . 6 ((1r𝑅)(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r𝑅))
373, 15, 8ringridm 19809 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
381, 31, 37syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
3936, 38eqtrid 2792 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → ((1r𝑅)(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 𝑋)
4035, 39breqtrd 5105 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))𝑋)
4129, 40eqbrtrrid 5115 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr𝑅))𝑋)
4213simprd 496 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
4333, 11dvdsrtr 19892 . . 3 (((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr𝑅))𝑋𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
4427, 41, 42, 43syl3anc 1370 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
454, 8, 9, 10, 11isunit 19897 . 2 ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
4625, 44, 45sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  .rcmulr 16961  1rcur 19735  Ringcrg 19781  opprcoppr 19859  rcdsr 19878  Unitcui 19879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882
This theorem is referenced by:  unitmulclb  19905  unitgrp  19907  unitdvcl  19927  irredrmul  19947  subrgugrp  20041  dchrelbasd  26385  dchrptlem2  26411  rdivmuldivd  31484  dvrcan5  31486  qqhghm  31934  qqhrhm  31935
  Copyright terms: Public domain W3C validator