MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitmulcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitmulcl 20323
Description: The product of units is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitmulcl.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitmulcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem unitmulcl
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
3 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 unitmulcl.1 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
53, 4unitcl 20318 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
8 eqid 2725 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
9 eqid 2725 . . . . . . . 8 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
10 eqid 2725 . . . . . . . 8 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
11 eqid 2725 . . . . . . . 8 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
124, 8, 9, 10, 11isunit 20316 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
137, 12sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
1413simpld 493 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
15 unitmulcl.2 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
163, 9, 15dvdsrmul1 20312 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
171, 6, 14, 16syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
183, 15, 8ringlidm 20209 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
191, 6, 18syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
2017, 19breqtrd 5169 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘Œ)
214, 8, 9, 10, 11isunit 20316 . . . . 5 (π‘Œ ∈ π‘ˆ ↔ (π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
222, 21sylib 217 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
2322simpld 493 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
243, 9dvdsrtr 20311 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘Œ ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
251, 20, 23, 24syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
2610opprring 20290 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
271, 26syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
28 eqid 2725 . . . . 5 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
293, 15, 10, 28opprmul 20280 . . . 4 (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· π‘Œ)
303, 4unitcl 20318 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
317, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3222simprd 494 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
3310, 3opprbas 20284 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3433, 11, 28dvdsrmul1 20312 . . . . . 6 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
3527, 31, 32, 34syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
363, 15, 10, 28opprmul 20280 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…))
373, 15, 8ringridm 20210 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
381, 31, 37syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
3936, 38eqtrid 2777 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = 𝑋)
4035, 39breqtrd 5169 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)
4129, 40eqbrtrrid 5179 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)
4213simprd 494 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
4333, 11dvdsrtr 20311 . . 3 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
4427, 41, 42, 43syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
454, 8, 9, 10, 11isunit 20316 . 2 ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
4625, 44, 45sylanbrc 581 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  1rcur 20125  Ringcrg 20177  opprcoppr 20276  βˆ₯rcdsr 20297  Unitcui 20298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301
This theorem is referenced by:  unitmulclb  20324  unitgrp  20326  unitdvcl  20348  rdivmuldivd  20356  irredrmul  20370  lringuplu  20485  subrgugrp  20534  dchrelbasd  27190  dchrptlem2  27216  dvrcan5  32988  qqhghm  33646  qqhrhm  33647
  Copyright terms: Public domain W3C validator