Theorem dvdsruasso2 33469

Description: A reformulation of dvdsruasso 33468. (Proposed by Gerard Lang, 28-May-2025.) (Contributed by Thiery Arnoux, 29-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
dvdsruasso2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruasso2	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢, ∥   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢   𝑣, 1   𝑣, · ,𝑢   𝑣,𝑅   𝑣,𝑈   𝑣,𝑋   𝑣,𝑌   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   ∥ (𝑣)   1 (𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
3		dvdsrspss.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		dvdsrspss.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		dvdsrspss.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		dvdsruassoi.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7		dvdsruassoi.2	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		dvdsruasso.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dvdsruasso 33468	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
10		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (𝑣 · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌))
11	10	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → ((𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋))
12		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)))
13	12	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → ((𝑢 · 𝑣) = 1 ↔ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 ))
14	11, 13	3anbi23d 1447	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 ) ↔ ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )))
15	8	idomringd 20700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	15	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑈)
18		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19	6, 18	unitinvcl 20361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈)
20	16, 17, 19	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈)
21		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
22	21	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌))
23	8	idomcringd 20699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24	23	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
25	1, 6	unitcl 20346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈 → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝐵)
26	20, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝐵)
27	1, 6	unitcl 20346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑈 → 𝑢 ∈ 𝐵)
28	17, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝐵)
29	1, 7, 24, 26, 28	crngcomd 20227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) = (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)))
30		dvdsruasso2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
31	6, 18, 7, 30	unitrinv 20365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )
32	16, 17, 31	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )
33	29, 32	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) = 1 )
34	33	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) · 𝑋) = ( 1 · 𝑋))
35	4	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	1, 7, 16, 26, 28, 35	ringassd 20229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)))
37	1, 7, 30, 16, 35	ringlidmd 20244	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
38	34, 36, 37	3eqtr3d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)) = 𝑋)
39	22, 38	eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋)
40	21, 39, 32	3jca 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 ))
41	14, 20, 40	rspcedvdw 3563	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 ))
42		simpr1 1201	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
43	42	r19.29an 3143	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
44	41, 43	impbida 806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))
45	44	rexbidva 3161	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))
46	9, 45	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  ∥_rcdsr 20325  Unitcui 20326  inv_rcinvr 20358  IDomncidom 20665  RSpancrsp 21200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-nzr 20485  df-domn 20667  df-idom 20668

This theorem is referenced by: (None)