Theorem dvdsruasso2 33414

Description: A reformulation of dvdsruasso 33413. (Proposed by Gerard Lang, 28-May-2025.) (Contributed by Thiery Arnoux, 29-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
dvdsruasso2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruasso2	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢, ∥   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢   𝑣, 1   𝑣, · ,𝑢   𝑣,𝑅   𝑣,𝑈   𝑣,𝑋   𝑣,𝑌   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   ∥ (𝑣)   1 (𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
3		dvdsrspss.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		dvdsrspss.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		dvdsrspss.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		dvdsruassoi.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7		dvdsruassoi.2	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		dvdsruasso.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dvdsruasso 33413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
10		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (𝑣 · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌))
11	10	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → ((𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋))
12		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)))
13	12	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → ((𝑢 · 𝑣) = 1 ↔ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 ))
14	11, 13	3anbi23d 1441	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 ) ↔ ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )))
15	8	idomringd 20728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑈)
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19	6, 18	unitinvcl 20390	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈)
20	16, 17, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈)
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
22	21	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌))
23	8	idomcringd 20727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
25	1, 6	unitcl 20375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈 → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝐵)
26	20, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝐵)
27	1, 6	unitcl 20375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑈 → 𝑢 ∈ 𝐵)
28	17, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝐵)
29	1, 7, 24, 26, 28	crngcomd 20252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) = (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)))
30		dvdsruasso2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
31	6, 18, 7, 30	unitrinv 20394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )
32	16, 17, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )
33	29, 32	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) = 1 )
34	33	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) · 𝑋) = ( 1 · 𝑋))
35	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	1, 7, 16, 26, 28, 35	ringassd 20254	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)))
37	1, 7, 30, 16, 35	ringlidmd 20269	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
38	34, 36, 37	3eqtr3d 2785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)) = 𝑋)
39	22, 38	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋)
40	21, 39, 32	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 ))
41	14, 20, 40	rspcedvdw 3625	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 ))
42		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
43	42	r19.29an 3158	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
44	41, 43	impbida 801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))
45	44	rexbidva 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))
46	9, 45	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  ∥_rcdsr 20354  Unitcui 20355  inv_rcinvr 20387  IDomncidom 20693  RSpancrsp 21217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-domn 20695  df-idom 20696

This theorem is referenced by: (None)