Theorem dvdsruasso2 33357

Description: A reformulation of dvdsruasso 33356. (Proposed by Gerard Lang, 28-May-2025.) (Contributed by Thiery Arnoux, 29-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
dvdsruasso2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruasso2	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢, ∥   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢   𝑣, 1   𝑣, · ,𝑢   𝑣,𝑅   𝑣,𝑈   𝑣,𝑋   𝑣,𝑌   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   ∥ (𝑣)   1 (𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
3		dvdsrspss.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		dvdsrspss.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		dvdsrspss.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		dvdsruassoi.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7		dvdsruassoi.2	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		dvdsruasso.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dvdsruasso 33356	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
10		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (𝑣 · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌))
11	10	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → ((𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋))
12		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)))
13	12	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → ((𝑢 · 𝑣) = 1 ↔ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 ))
14	11, 13	3anbi23d 1441	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 ) ↔ ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )))
15	8	idomringd 20637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑈)
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19	6, 18	unitinvcl 20299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈)
20	16, 17, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈)
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
22	21	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌))
23	8	idomcringd 20636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
25	1, 6	unitcl 20284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈 → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝐵)
26	20, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝐵)
27	1, 6	unitcl 20284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑈 → 𝑢 ∈ 𝐵)
28	17, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝐵)
29	1, 7, 24, 26, 28	crngcomd 20164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) = (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)))
30		dvdsruasso2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
31	6, 18, 7, 30	unitrinv 20303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )
32	16, 17, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )
33	29, 32	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) = 1 )
34	33	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) · 𝑋) = ( 1 · 𝑋))
35	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	1, 7, 16, 26, 28, 35	ringassd 20166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)))
37	1, 7, 30, 16, 35	ringlidmd 20181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
38	34, 36, 37	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)) = 𝑋)
39	22, 38	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋)
40	21, 39, 32	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 ))
41	14, 20, 40	rspcedvdw 3591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 ))
42		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
43	42	r19.29an 3137	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
44	41, 43	impbida 800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))
45	44	rexbidva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))
46	9, 45	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  ∥_rcdsr 20263  Unitcui 20264  inv_rcinvr 20296  IDomncidom 20602  RSpancrsp 21117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-nzr 20422  df-domn 20604  df-idom 20605

This theorem is referenced by: (None)