Theorem dvdsruasso2 33819

Description: A reformulation of dvdsruasso 33818. (Proposed by Gerard Lang, 28-May-2025.) (Contributed by Thiery Arnoux, 29-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
dvdsruasso2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruasso2	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢, ∥   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢   𝑣, 1   𝑣, · ,𝑢   𝑣,𝑅   𝑣,𝑈   𝑣,𝑋   𝑣,𝑌   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   ∥ (𝑣)   1 (𝑢)   𝐾(𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
3		dvdsrspss.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		dvdsrspss.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		dvdsrspss.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		dvdsruassoi.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7		dvdsruassoi.2	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		dvdsruasso.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dvdsruasso 33818	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
10		oveq1 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (𝑣 · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌))
11	10	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → ((𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋))
12		oveq2 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)))
13	12	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → ((𝑢 · 𝑣) = 1 ↔ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 ))
14	11, 13	3anbi23d 1467	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = ((invr‘𝑅)‘𝑢) → (((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 ) ↔ ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )))
15	8	idomringd 20889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑈)
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19	6, 18	unitinvcl 20531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈)
20	16, 17, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈)
21		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
22	21	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌))
23	8	idomcringd 20888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
25	1, 6	unitcl 20516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝑈 → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝐵)
26	20, 25	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((invr‘𝑅)‘𝑢) ∈ 𝐵)
27	1, 6	unitcl 20516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑈 → 𝑢 ∈ 𝐵)
28	17, 27	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝐵)
29	1, 7, 24, 26, 28	crngcomd 20394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) = (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)))
30		dvdsruasso2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
31	6, 18, 7, 30	unitrinv 20535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )
32	16, 17, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 )
33	29, 32	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) = 1 )
34	33	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) · 𝑋) = ( 1 · 𝑋))
35	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	1, 7, 16, 26, 28, 35	ringassd 20397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑢) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)))
37	1, 7, 30, 16, 35	ringlidmd 20413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
38	34, 36, 37	3eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · (𝑢 · 𝑋)) = 𝑋)
39	22, 38	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋)
40	21, 39, 32	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑢) · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · ((invr‘𝑅)‘𝑢)) = 1 ))
41	14, 20, 40	rspcedvdw 3579	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 ))
42		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
43	42	r19.29an 3166	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
44	41, 43	impbida 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))
45	44	rexbidva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))
46	9, 45	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ∧ (𝑣 · 𝑌) = 𝑋 ∧ (𝑢 · 𝑣) = 1 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343  1_rcur 20320  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373  ∥_rcdsr 20495  Unitcui 20496  inv_rcinvr 20528  IDomncidom 20855  RSpancrsp 21394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-nzr 20673  df-domn 20857  df-idom 20858

This theorem is used by: (None)