MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitnegcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitnegcl 20203
Description: The negative of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitnegcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitnegcl.2 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitnegcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem unitnegcl
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 ringgrp 20054 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 unitnegcl.1 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
53, 4unitcl 20181 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6 unitnegcl.2 . . . . . . 7 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
73, 6grpinvcl 18868 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
82, 5, 7syl2an 596 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9 eqid 2732 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
103, 9, 6dvdsrneg 20176 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
118, 10syldan 591 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
123, 6grpinvinv 18886 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = 𝑋)
132, 5, 12syl2an 596 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = 𝑋)
1411, 13breqtrd 5173 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)𝑋)
15 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
16 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
17 eqid 2732 . . . . . 6 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
18 eqid 2732 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
194, 16, 9, 17, 18isunit 20179 . . . . 5 (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
2015, 19sylib 217 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
2120simpld 495 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
223, 9dvdsrtr 20174 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
231, 14, 21, 22syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
2417opprring 20153 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
2524adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
2617, 3opprbas 20149 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
2717, 6opprneg 20157 . . . . . 6 𝑁 = (invgβ€˜(opprβ€˜π‘…))
2826, 18, 27dvdsrneg 20176 . . . . 5 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
2925, 8, 28syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
3029, 13breqtrd 5173 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)
3120simprd 496 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
3226, 18dvdsrtr 20174 . . 3 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
3325, 30, 31, 32syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
344, 16, 9, 17, 18isunit 20179 . 2 ((π‘β€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ↔ ((π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
3523, 33, 34sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  1rcur 19998  Ringcrg 20049  opprcoppr 20141  βˆ₯rcdsr 20160  Unitcui 20161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164
This theorem is referenced by:  irredneg  20236  deg1invg  25615  nzrneg1ne0  46629  invginvrid  46996  lincresunit3lem3  47108  lincresunitlem1  47109
  Copyright terms: Public domain W3C validator