Theorem unitnegcl 20340

Description: The negative of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitnegcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitnegcl.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitnegcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 20182	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		unitnegcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 20318	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
6		unitnegcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
7	3, 6	grpinvcl 18948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
8	2, 5, 7	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
9		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
10	3, 9, 6	dvdsrneg 20313	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
11	8, 10	syldan 589	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
12	3, 6	grpinvinv 18966	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
13	2, 5, 12	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
14	11, 13	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)𝑋)
15		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
16		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
18		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
19	4, 16, 9, 17, 18	isunit 20316	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
20	15, 19	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
21	20	simpld 493	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
22	3, 9	dvdsrtr 20311	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
23	1, 14, 21, 22	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
24	17	opprring 20290	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
25	24	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
26	17, 3	opprbas 20284	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
27	17, 6	opprneg 20294	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑅))
28	26, 18, 27	dvdsrneg 20313	. . . . 5 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
29	25, 8, 28	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
30	29, 13	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
31	20	simprd 494	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
32	26, 18	dvdsrtr 20311	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
33	25, 30, 31, 32	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
34	4, 16, 9, 17, 18	isunit 20316	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
35	23, 33, 34	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  Basecbs 17179  Grpcgrp 18894  inv_gcminusg 18895  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  opp_rcoppr 20276  ∥_rcdsr 20297  Unitcui 20298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301

This theorem is referenced by:  irredneg  20373  deg1invg  26060  nzrneg1ne0  47404  invginvrid  47543  lincresunit3lem3  47654  lincresunitlem1  47655