Theorem unitnegcl 20397

Description: The negative of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitnegcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitnegcl.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitnegcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 20235	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		unitnegcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 20375	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
6		unitnegcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
7	3, 6	grpinvcl 19005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
8	2, 5, 7	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
10	3, 9, 6	dvdsrneg 20370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
11	8, 10	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
12	3, 6	grpinvinv 19023	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
13	2, 5, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
14	11, 13	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)𝑋)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
19	4, 16, 9, 17, 18	isunit 20373	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
20	15, 19	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
21	20	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
22	3, 9	dvdsrtr 20368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
23	1, 14, 21, 22	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
24	17	opprring 20347	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
26	17, 3	opprbas 20341	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
27	17, 6	opprneg 20351	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑅))
28	26, 18, 27	dvdsrneg 20370	. . . . 5 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
29	25, 8, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
30	29, 13	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
31	20	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
32	26, 18	dvdsrtr 20368	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
33	25, 30, 31, 32	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
34	4, 16, 9, 17, 18	isunit 20373	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
35	23, 33, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  opp_rcoppr 20333  ∥_rcdsr 20354  Unitcui 20355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358

This theorem is referenced by:  irredneg  20430  deg1invg  26145  nzrneg1ne0  48146  invginvrid  48283  lincresunit3lem3  48391  lincresunitlem1  48392