MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitnegcl 20111
Description: The negative of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitnegcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitnegcl.2 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitnegcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)

Proof of Theorem unitnegcl
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 ringgrp 19970 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 unitnegcl.1 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
53, 4unitcl 20089 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6 unitnegcl.2 . . . . . . 7 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
73, 6grpinvcl 18799 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
82, 5, 7syl2an 597 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9 eqid 2737 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
103, 9, 6dvdsrneg 20084 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
118, 10syldan 592 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
123, 6grpinvinv 18815 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = 𝑋)
132, 5, 12syl2an 597 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)) = 𝑋)
1411, 13breqtrd 5132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)𝑋)
15 simpr 486 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
16 eqid 2737 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
17 eqid 2737 . . . . . 6 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
18 eqid 2737 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
194, 16, 9, 17, 18isunit 20087 . . . . 5 (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
2015, 19sylib 217 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
2120simpld 496 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
223, 9dvdsrtr 20082 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
231, 14, 21, 22syl3anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
2417opprring 20061 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
2524adantr 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
2617, 3opprbas 20057 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
2717, 6opprneg 20065 . . . . . 6 𝑁 = (invgβ€˜(opprβ€˜π‘…))
2826, 18, 27dvdsrneg 20084 . . . . 5 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
2925, 8, 28syl2anc 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(π‘β€˜(π‘β€˜π‘‹)))
3029, 13breqtrd 5132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)
3120simprd 497 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
3226, 18dvdsrtr 20082 . . 3 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
3325, 30, 31, 32syl3anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
344, 16, 9, 17, 18isunit 20087 . 2 ((π‘β€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ↔ ((π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ (π‘β€˜π‘‹)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
3523, 33, 34sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  Grpcgrp 18749  invgcminusg 18750  1rcur 19914  Ringcrg 19965  opprcoppr 20049  βˆ₯rcdsr 20068  Unitcui 20069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072
This theorem is referenced by:  irredneg  20140  deg1invg  25474  nzrneg1ne0  46174  invginvrid  46450  lincresunit3lem3  46562  lincresunitlem1  46563
  Copyright terms: Public domain W3C validator