MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitnegcl 19035
Description: The negative of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitnegcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitnegcl.2 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitnegcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitnegcl
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2 ringgrp 18906 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 unitnegcl.1 . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑅)
53, 4unitcl 19013 . . . . . 6 (𝑋𝑈𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
6 unitnegcl.2 . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
73, 6grpinvcl 17821 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
82, 5, 7syl2an 589 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
9 eqid 2825 . . . . . 6 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
103, 9, 6dvdsrneg 19008 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)(𝑁‘(𝑁𝑋)))
118, 10syldan 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)(𝑁‘(𝑁𝑋)))
123, 6grpinvinv 17836 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
132, 5, 12syl2an 589 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
1411, 13breqtrd 4899 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)𝑋)
15 simpr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
16 eqid 2825 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
17 eqid 2825 . . . . . 6 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
18 eqid 2825 . . . . . 6 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
194, 16, 9, 17, 18isunit 19011 . . . . 5 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
2015, 19sylib 210 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
2120simpld 490 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅))
223, 9dvdsrtr 19006 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋)(∥r𝑅)𝑋𝑋(∥r𝑅)(1r𝑅)) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)(1r𝑅))
231, 14, 21, 22syl3anc 1494 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r𝑅)(1r𝑅))
2417opprring 18985 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
2524adantr 474 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (oppr𝑅) ∈ Ring)
2617, 3opprbas 18983 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
2717, 6opprneg 18989 . . . . . 6 𝑁 = (invg‘(oppr𝑅))
2826, 18, 27dvdsrneg 19008 . . . . 5 (((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(𝑁‘(𝑁𝑋)))
2925, 8, 28syl2anc 579 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(𝑁‘(𝑁𝑋)))
3029, 13breqtrd 4899 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))𝑋)
3120simprd 491 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
3226, 18dvdsrtr 19006 . . 3 (((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))𝑋𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
3325, 30, 31, 32syl3anc 1494 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
344, 16, 9, 17, 18isunit 19011 . 2 ((𝑁𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁𝑋)(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ (𝑁𝑋)(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
3523, 33, 34sylanbrc 578 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4873  cfv 6123  Basecbs 16222  Grpcgrp 17776  invgcminusg 17777  1rcur 18855  Ringcrg 18901  opprcoppr 18976  rcdsr 18992  Unitcui 18993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996
This theorem is referenced by:  irredneg  19064  deg1invg  24265  nzrneg1ne0  42709  invginvrid  42988  lincresunit3lem3  43103  lincresunitlem1  43104
  Copyright terms: Public domain W3C validator