Theorem dchrelbas3 27300

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem dchrelbas3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas2 27299	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
8		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑥))
9	8	neeq1d 3006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑥) ≠ 0))
10		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
11	9, 10	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	11	cbvralvw 3243	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
13	5	nnnn0d 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	2	zncrng 21586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
16		crngring 20272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
18		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
19	18	ringmgp 20266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
21		cnring 21426	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
22		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	22	ringmgp 20266	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
25	18, 3	mgpbas 20167	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
26		cnfldbas 21391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
27	22, 26	mgpbas 20167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
28		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
29	18, 28	mgpplusg 20165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
30		cnfldmul 21395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	22, 30	mgpplusg 20165	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
32		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
33	18, 32	ringidval 20210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
34		cnfld1 21429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
35	22, 34	ringidval 20210	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
36	25, 27, 29, 31, 33, 35	ismhm 18820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
37	36	baib 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
38	20, 24, 37	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
40		biimt 360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
42		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)))
43	42	neeq1d 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0))
44		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
45	43, 44	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)))
46		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈))
47	17	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ Ring)
48		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	3, 28	ringcl 20277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
52	45, 46, 51	rspcdva 3636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
53	15	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ CRing)
54	4, 28, 3	unitmulclb 20407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑍 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
55	53, 48, 49, 54	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
56	52, 55	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
57	56	necon1bd 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = 0))
58	57	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = 0)
59	11, 46, 48	rspcdva 3636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
60		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑦))
61	60	neeq1d 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
62		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
63	61, 62	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ 𝑈)))
64	63, 46, 49	rspcdva 3636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ 𝑈))
65	59, 64	anim12d 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
66	65	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ¬ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
67		neanior 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0) ↔ ¬ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0))
68	67	con2bii 357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0) ↔ ¬ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
69	66, 68	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0))
70		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
71	70, 48	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
72	70, 49	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
73	71, 72	mul0ord 11940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0)))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0)))
75	69, 74	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0)
76	58, 75	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
77	76	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
78	76, 77	2thd 265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
79	41, 78	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
80	79	pm5.74da 803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))))
81	3, 4	unitcl 20401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
82	3, 4	unitcl 20401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ 𝐵)
83	81, 82	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
84	83	pm4.71ri 560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
85	84	imbi1i 349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
86		impexp 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
87	85, 86	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
88	80, 87	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
89	88	2albidv 1922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
90		r2al 3201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
91		r2al 3201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
92	89, 90, 91	3bitr4g 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
93	92	adantrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
94	93	pm5.32da 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
95		3anan32 1097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
96		an31 647	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
97	94, 95, 96	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
98	39, 97	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
99	12, 98	sylan2br 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
100	99	pm5.32da 578	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ))))
101		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))))
102		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
103	102	anbi2i 622	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
104		an13 646	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
105	103, 104	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
106	100, 101, 105	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))
107	7, 106	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Mndcmnd 18772   MndHom cmhm 18816  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  Unitcui 20381  ℂ_fldccnfld 21387  ℤ/nℤczn 21536  DChrcdchr 27294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zn 21540  df-dchr 27295

This theorem is referenced by:  dchrelbasd  27301  dchrf  27304  dchrmulcl  27311  dchrinv  27323  lgsdchr  27417