Theorem dchrelbas3 27565

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem dchrelbas3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas2 27564	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
8		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑥))
9	8	neeq1d 3015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑥) ≠ 0))
10		eleq1 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
11	9, 10	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	11	cbvralvw 3241	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
13	5	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	2	zncrng 21850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
16		crngring 20472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
18		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
19	18	ringmgp 20465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
20	17, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
21		cnring 21700	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
22		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	22	ringmgp 20465	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
25	18, 3	mgpbas 20365	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
26		cnfldbas 21682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
27	22, 26	mgpbas 20365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
28		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
29	18, 28	mgpplusg 20364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
30		cnfldmul 21686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	22, 30	mgpplusg 20364	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
32		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
33	18, 32	ringidval 20409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
34		cnfld1 21703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
35	22, 34	ringidval 20409	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
36	25, 27, 29, 31, 33, 35	ismhm 18980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
37	36	baib 545	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
38	20, 24, 37	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
39	38	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
40		biimt 363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
42		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)))
43	42	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0))
44		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
45	43, 44	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)))
46		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈))
47	17	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ Ring)
48		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	3, 28	ringcl 20477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
52	45, 46, 51	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
53	15	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ CRing)
54	4, 28, 3	unitmulclb 20611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑍 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
55	53, 48, 49, 54	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
56	52, 55	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
57	56	necon1bd 2974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = 0))
58	57	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = 0)
59	11, 46, 48	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
60		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑦))
61	60	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
62		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
63	61, 62	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ 𝑈)))
64	63, 46, 49	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ 𝑈))
65	59, 64	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
66	65	con3dimp 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ¬ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
67		neanior 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0) ↔ ¬ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0))
68	67	con2bii 360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0) ↔ ¬ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
69	66, 68	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0))
70		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
71	70, 48	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
72	70, 49	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
73	71, 72	mul0ord 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0)))
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0)))
75	69, 74	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0)
76	58, 75	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
77	76	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
78	76, 77	2thd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
79	41, 78	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
80	79	pm5.74da 816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))))
81	3, 4	unitcl 20605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
82	3, 4	unitcl 20605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ 𝐵)
83	81, 82	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
84	83	pm4.71ri 570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
85	84	imbi1i 352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
86		impexp 456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
87	85, 86	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
88	80, 87	bitr4di 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
89	88	2albidv 1956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
90		r2al 3199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
91		r2al 3199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
92	89, 90, 91	3bitr4g 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
93	92	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
94	93	pm5.32da 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
95		3anan32 1113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
96		an31 661	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
97	94, 95, 96	3bitr4g 317	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
98	39, 97	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
99	12, 98	sylan2br 607	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
100	99	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ))))
101		ancom 466	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))))
102		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
103	102	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
104		an13 660	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
105	103, 104	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
106	100, 101, 105	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))
107	7, 106	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Mndcmnd 18923   MndHom cmhm 18976  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  Unitcui 20585  ℂ_fldccnfld 21678  ℤ/nℤczn 21808  DChrcdchr 27559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-2idl 21543  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zn 21812  df-dchr 27560

This theorem is used by:  dchrelbasd  27566  dchrf  27569  dchrmulcl  27576  dchrinv  27588  lgsdchr  27682