MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrelbas3 27158
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/n to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas3 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem dchrelbas3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrval.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrval.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrbas.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas2 27157 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
8 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑋𝑧) = (𝑋𝑥))
98neeq1d 2995 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑋𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑥) ≠ 0))
10 eleq1 2816 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑈𝑥𝑈))
119, 10imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈) ↔ ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
1211cbvralvw 3229 . . . . 5 (∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
135nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
142zncrng 21465 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
16 crngring 20176 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
18 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
1918ringmgp 20170 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
2017, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
21 cnring 21305 . . . . . . . . 9 fld ∈ Ring
22 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2322ringmgp 20170 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
2518, 3mgpbas 20071 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
26 cnfldbas 21270 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
2722, 26mgpbas 20071 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
28 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑍) = (.r𝑍)
2918, 28mgpplusg 20069 . . . . . . . . . 10 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
30 cnfldmul 21274 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℂfld)
3122, 30mgpplusg 20069 . . . . . . . . . 10 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
32 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑍) = (1r𝑍)
3318, 32ringidval 20114 . . . . . . . . . 10 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
34 cnfld1 21308 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
3522, 34ringidval 20114 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
3625, 27, 29, 31, 33, 35ismhm 18733 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)))
3736baib 535 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)))
3820, 24, 37sylancl 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)))
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)))
40 biimt 360 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))))
42 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋𝑧) = (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)))
4342neeq1d 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → ((𝑋𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) ≠ 0))
44 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑧𝑈 ↔ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
4543, 44imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈) ↔ ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)))
46 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈))
4717ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑍 ∈ Ring)
48 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
49 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
503, 28ringcl 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
5147, 48, 49, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
5245, 46, 51rspcdva 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
5315ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑍 ∈ CRing)
544, 28, 3unitmulclb 20309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑍 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥𝑈𝑦𝑈)))
5553, 48, 49, 54syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥𝑈𝑦𝑈)))
5652, 55sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥𝑈𝑦𝑈)))
5756necon1bd 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (¬ (𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = 0))
5857imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = 0)
5911, 46, 48rspcdva 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
60 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → (𝑋𝑧) = (𝑋𝑦))
6160neeq1d 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋𝑦) ≠ 0))
62 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑈𝑦𝑈))
6361, 62imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑦 → (((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈) ↔ ((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦𝑈)))
6463, 46, 49rspcdva 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑋𝑦) ≠ 0 → 𝑦𝑈))
6559, 64anim12d 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((𝑋𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋𝑦) ≠ 0) → (𝑥𝑈𝑦𝑈)))
6665con3dimp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ¬ ((𝑋𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋𝑦) ≠ 0))
67 neanior 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋𝑦) ≠ 0) ↔ ¬ ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑋𝑦) = 0))
6867con2bii 357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑋𝑦) = 0) ↔ ¬ ((𝑋𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋𝑦) ≠ 0))
6966, 68sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑋𝑦) = 0))
70 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
7170, 48ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
7270, 49ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
7371, 72mul0ord 11886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑋𝑦) = 0)))
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑋𝑦) = 0)))
7569, 74mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = 0)
7658, 75eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
7776a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7876, 772thd 265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ ¬ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))))
7941, 78pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))))
8079pm5.74da 803 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))))
813, 4unitcl 20303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑈𝑥𝐵)
823, 4unitcl 20303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑈𝑦𝐵)
8381, 82anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
8483pm4.71ri 560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑈𝑦𝑈) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)))
8584imbi1i 349 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) ↔ (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
86 impexp 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))))
8785, 86bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))))
8880, 87bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) ↔ ((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))))
89882albidv 1919 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))))
90 r2al 3189 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
91 r2al 3189 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
9289, 90, 913bitr4g 314 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
9392adantrr 716 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
9493pm5.32da 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) → (((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))))
95 3anan32 1095 . . . . . . 7 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
96 an31 647 . . . . . . 7 (((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
9794, 95, 963bitr4g 314 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) → ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ↔ ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
9839, 97bitrd 279 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
9912, 98sylan2br 594 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
10099pm5.32da 578 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ↔ (∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ∧ ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ))))
101 ancom 460 . . 3 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)) ↔ (∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))))
102 df-3an 1087 . . . . 5 ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)) ↔ ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
103102anbi2i 622 . . . 4 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
104 an13 646 . . . 4 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))) ↔ (∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ∧ ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
105103, 104bitri 275 . . 3 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))) ↔ (∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ∧ ((∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
106100, 101, 1053bitr4g 314 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))))
1077, 106bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   · cmul 11135  cn 12234  0cn0 12494  Basecbs 17171  .rcmulr 17225  Mndcmnd 18685   MndHom cmhm 18729  mulGrpcmgp 20065  1rcur 20112  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  Unitcui 20283  fldccnfld 21266  ℤ/nczn 21415  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-0g 17414  df-imas 17481  df-qus 17482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zn 21419  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  dchrelbasd  27159  dchrf  27162  dchrmulcl  27169  dchrinv  27181  lgsdchr  27275
  Copyright terms: Public domain W3C validator