Theorem dchrelbas3 27368

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem dchrelbas3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas2 27367	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
8		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑥))
9	8	neeq1d 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑥) ≠ 0))
10		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
11	9, 10	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	11	cbvralvw 3249	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
13	5	nnnn0d 12565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	2	zncrng 21663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
16		crngring 20327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
18		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
19	18	ringmgp 20321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
20	17, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
21		cnring 21513	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
22		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	22	ringmgp 20321	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
25	18, 3	mgpbas 20221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
26		cnfldbas 21495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
27	22, 26	mgpbas 20221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
28		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
29	18, 28	mgpplusg 20220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
30		cnfldmul 21499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	22, 30	mgpplusg 20220	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
32		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
33	18, 32	ringidval 20265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
34		cnfld1 21516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
35	22, 34	ringidval 20265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
36	25, 27, 29, 31, 33, 35	ismhm 18843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
37	36	baib 544	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
38	20, 24, 37	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
39	38	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
40		biimt 363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
41	40	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
42		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)))
43	42	neeq1d 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0))
44		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
45	43, 44	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)))
46		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈))
47	17	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ Ring)
48		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50	3, 28	ringcl 20332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
52	45, 46, 51	rspcdva 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
53	15	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ CRing)
54	4, 28, 3	unitmulclb 20463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑍 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
55	53, 48, 49, 54	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
56	52, 55	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
57	56	necon1bd 2982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = 0))
58	57	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = 0)
59	11, 46, 48	rspcdva 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
60		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑦))
61	60	neeq1d 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
62		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
63	61, 62	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ 𝑈)))
64	63, 46, 49	rspcdva 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ 𝑈))
65	59, 64	anim12d 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
66	65	con3dimp 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ¬ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
67		neanior 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0) ↔ ¬ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0))
68	67	con2bii 360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0) ↔ ¬ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
69	66, 68	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0))
70		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
71	70, 48	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
72	70, 49	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
73	71, 72	mul0ord 11862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0)))
74	73	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0)))
75	69, 74	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0)
76	58, 75	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
77	76	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
78	76, 77	2thd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
79	41, 78	pm2.61dan 824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
80	79	pm5.74da 815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))))
81	3, 4	unitcl 20457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
82	3, 4	unitcl 20457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ 𝐵)
83	81, 82	anim12i 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
84	83	pm4.71ri 569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
85	84	imbi1i 352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
86		impexp 455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
87	85, 86	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
88	80, 87	bitr4di 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
89	88	2albidv 1950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
90		r2al 3207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
91		r2al 3207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
92	89, 90, 91	3bitr4g 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
93	92	adantrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
94	93	pm5.32da 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
95		3anan32 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
96		an31 660	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
97	94, 95, 96	3bitr4g 317	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
98	39, 97	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
99	12, 98	sylan2br 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
100	99	pm5.32da 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ))))
101		ancom 465	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))))
102		df-3an 1103	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
103	102	anbi2i 634	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
104		an13 659	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
105	103, 104	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
106	100, 101, 105	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))
107	7, 106	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101  ∀wal 1565   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  Mndcmnd 18792   MndHom cmhm 18839  mulGrpcmgp 20216  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316  Unitcui 20437  ℂ_fldccnfld 21491  ℤ/nℤczn 21621  DChrcdchr 27362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-imas 17562  df-qus 17563  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-nsg 19190  df-eqg 19191  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-rsp 21311  df-2idl 21360  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zn 21625  df-dchr 27363

This theorem is referenced by:  dchrelbasd  27369  dchrf  27372  dchrmulcl  27379  dchrinv  27391  lgsdchr  27485