Theorem unitss 20334

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20333	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3962	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6530  Basecbs 17226  Unitcui 20313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fv 6538  df-ov 7406  df-dvdsr 20315  df-unit 20316

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20340  unitgrpid  20343  unitsubm  20344  dvrdir  20370  rdivmuldivd  20371  invrpropd  20376  elrhmunit  20468  rhmunitinv  20469  fidomndrng  20731  issubdrg  20738  imadrhmcl  20755  znunithash  21523  dvrcn  24120  nmdvr  24607  nrginvrcnlem  24628  nrginvrcn  24629  dchrelbasd  27200  dchrinvcl  27214  dchrghm  27217  dchr1  27218  dchreq  27219  dchrresb  27220  dchrabs  27221  dchrinv  27222  dchrptlem1  27225  dchrptlem2  27226  dchrpt  27228  dchrsum2  27229  dchrsum  27230  sum2dchr  27235  lgsdchr  27316  rpvmasum2  27473  dvrcan5  33177  isdrng4  33235  dvdsruassoi  33345  lidlunitel  33384  assafld  33623  unitscyglem5  42158  aks5lem7  42159  idomodle  43162