Theorem unitss 20285

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20284	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3950	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  Unitcui 20264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-dvdsr 20266  df-unit 20267

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20291  unitgrpid  20294  unitsubm  20295  dvrdir  20321  rdivmuldivd  20322  invrpropd  20327  elrhmunit  20419  rhmunitinv  20420  fidomndrng  20682  issubdrg  20689  imadrhmcl  20706  znunithash  21474  dvrcn  24071  nmdvr  24558  nrginvrcnlem  24579  nrginvrcn  24580  dchrelbasd  27150  dchrinvcl  27164  dchrghm  27167  dchr1  27168  dchreq  27169  dchrresb  27170  dchrabs  27171  dchrinv  27172  dchrptlem1  27175  dchrptlem2  27176  dchrpt  27178  dchrsum2  27179  dchrsum  27180  sum2dchr  27185  lgsdchr  27266  rpvmasum2  27423  dvrcan5  33187  isdrng4  33245  dvdsruassoi  33355  lidlunitel  33394  assafld  33633  unitscyglem5  42187  aks5lem7  42188  idomodle  43180