Theorem unitss 20316

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20315	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3938	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  Unitcui 20295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-dvdsr 20297  df-unit 20298

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20322  unitgrpid  20325  unitsubm  20326  dvrdir  20352  rdivmuldivd  20353  invrpropd  20358  elrhmunit  20447  rhmunitinv  20448  fidomndrng  20710  issubdrg  20717  imadrhmcl  20734  znunithash  21523  dvrcn  24132  nmdvr  24618  nrginvrcnlem  24639  nrginvrcn  24640  dchrelbasd  27210  dchrinvcl  27224  dchrghm  27227  dchr1  27228  dchreq  27229  dchrresb  27230  dchrabs  27231  dchrinv  27232  dchrptlem1  27235  dchrptlem2  27236  dchrpt  27238  dchrsum2  27239  dchrsum  27240  sum2dchr  27245  lgsdchr  27326  rpvmasum2  27483  dvrcan5  33299  isdrng4  33358  dvdsruassoi  33446  lidlunitel  33485  assafld  33775  unitscyglem5  42490  aks5lem7  42491  idomodle  43469