Theorem unitss 20291

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20290	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3952	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3916  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  Unitcui 20270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-ov 7392  df-dvdsr 20272  df-unit 20273

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20297  unitgrpid  20300  unitsubm  20301  dvrdir  20327  rdivmuldivd  20328  invrpropd  20333  elrhmunit  20425  rhmunitinv  20426  fidomndrng  20688  issubdrg  20695  imadrhmcl  20712  znunithash  21480  dvrcn  24077  nmdvr  24564  nrginvrcnlem  24585  nrginvrcn  24586  dchrelbasd  27156  dchrinvcl  27170  dchrghm  27173  dchr1  27174  dchreq  27175  dchrresb  27176  dchrabs  27177  dchrinv  27178  dchrptlem1  27181  dchrptlem2  27182  dchrpt  27184  dchrsum2  27185  dchrsum  27186  sum2dchr  27191  lgsdchr  27272  rpvmasum2  27429  dvrcan5  33193  isdrng4  33251  dvdsruassoi  33361  lidlunitel  33400  assafld  33639  unitscyglem5  42182  aks5lem7  42183  idomodle  43173