Theorem unitss 20465

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20464	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3940	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  Unitcui 20444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7415  df-dvdsr 20446  df-unit 20447

This theorem is used by:  unitgrpbas  20471  unitgrpid  20474  unitsubm  20475  dvrdir  20501  rdivmuldivd  20502  invrpropd  20507  elrhmunit  20618  rhmunitinv  20619  isdrng4  20850  fidomndrng  20888  issubdrg  20894  imadrhmcl  20911  znunithash  21725  dvrcn  24352  nmdvr  24838  nrginvrcnlem  24859  nrginvrcn  24860  dchrelbasd  27414  dchrinvcl  27428  dchrghm  27431  dchr1  27432  dchreq  27433  dchrresb  27434  dchrabs  27435  dchrinv  27436  dchrptlem1  27439  dchrptlem2  27440  dchrpt  27442  dchrsum2  27443  dchrsum  27444  sum2dchr  27449  lgsdchr  27530  rpvmasum2  27687  dvrcan5  33564  dvdsruassoi  33706  lidlunitel  33740  assafld  34036  unitscyglem5  42994  aks5lem7  42995  idomodle  43946