Theorem unitss 20457

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20456	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3940	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1568   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  Unitcui 20436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-dvdsr 20438  df-unit 20439

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20463  unitgrpid  20466  unitsubm  20467  dvrdir  20493  rdivmuldivd  20494  invrpropd  20499  elrhmunit  20592  rhmunitinv  20593  isdrng4  20824  fidomndrng  20856  issubdrg  20862  imadrhmcl  20879  znunithash  21693  dvrcn  24320  nmdvr  24806  nrginvrcnlem  24827  nrginvrcn  24828  dchrelbasd  27379  dchrinvcl  27393  dchrghm  27396  dchr1  27397  dchreq  27398  dchrresb  27399  dchrabs  27400  dchrinv  27401  dchrptlem1  27404  dchrptlem2  27405  dchrpt  27407  dchrsum2  27408  dchrsum  27409  sum2dchr  27414  lgsdchr  27495  rpvmasum2  27652  dvrcan5  33521  dvdsruassoi  33663  lidlunitel  33697  assafld  33993  unitscyglem5  42912  aks5lem7  42913  idomodle  43866