Theorem unitss 20317

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20316	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3938	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  Basecbs 17141  Unitcui 20296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7364  df-dvdsr 20298  df-unit 20299

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20323  unitgrpid  20326  unitsubm  20327  dvrdir  20353  rdivmuldivd  20354  invrpropd  20359  elrhmunit  20448  rhmunitinv  20449  fidomndrng  20711  issubdrg  20718  imadrhmcl  20735  znunithash  21524  dvrcn  24133  nmdvr  24619  nrginvrcnlem  24640  nrginvrcn  24641  dchrelbasd  27211  dchrinvcl  27225  dchrghm  27228  dchr1  27229  dchreq  27230  dchrresb  27231  dchrabs  27232  dchrinv  27233  dchrptlem1  27236  dchrptlem2  27237  dchrpt  27239  dchrsum2  27240  dchrsum  27241  sum2dchr  27246  lgsdchr  27327  rpvmasum2  27484  dvrcan5  33322  isdrng4  33381  dvdsruassoi  33469  lidlunitel  33508  assafld  33807  unitscyglem5  42532  aks5lem7  42533  idomodle  43511