Theorem unitss 20190

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20189	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3987	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  Unitcui 20169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-dvdsr 20171  df-unit 20172

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20196  unitgrpid  20199  unitsubm  20200  dvrdir  20226  rdivmuldivd  20227  invrpropd  20232  elrhmunit  20289  rhmunitinv  20290  issubdrg  20401  imadrhmcl  20413  fidomndrng  20926  znunithash  21120  dvrcn  23688  nmdvr  24187  nrginvrcnlem  24208  nrginvrcn  24209  dchrelbasd  26742  dchrinvcl  26756  dchrghm  26759  dchr1  26760  dchreq  26761  dchrresb  26762  dchrabs  26763  dchrinv  26764  dchrptlem1  26767  dchrptlem2  26768  dchrpt  26770  dchrsum2  26771  dchrsum  26772  sum2dchr  26777  lgsdchr  26858  rpvmasum2  27015  dvrcan5  32416  isdrng4  32426  dvdsruassoi  32520  lidlunitel  32572  idomodle  41986