Theorem unitss 20636

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20635	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3917	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  Unitcui 20615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-ov 7446  df-dvdsr 20617  df-unit 20618

This theorem is used by:  unitgrpbas  20642  unitgrpid  20645  unitsubm  20646  dvrdir  20672  rdivmuldivd  20673  invrpropd  20678  elrhmunit  20790  rhmunitinv  20791  isdrng4  21022  fidomndrng  21061  issubdrg  21067  imadrhmcl  21084  znunithash  21900  dvrcn  24533  nmdvr  25019  nrginvrcnlem  25040  nrginvrcn  25041  dchrelbasd  27596  dchrinvcl  27610  dchrghm  27613  dchr1  27614  dchreq  27615  dchrresb  27616  dchrabs  27617  dchrinv  27618  dchrptlem1  27621  dchrptlem2  27622  dchrpt  27624  dchrsum2  27625  dchrsum  27626  sum2dchr  27631  lgsdchr  27712  rpvmasum2  27869  dvrcan5  33866  dvdsruassoi  34009  lidlunitel  34043  assafld  34339  unitscyglem5  43441  aks5lem7  43442  idomodle  44385