Theorem unitss 20353

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20352	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3984	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1534   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6545  Basecbs 17207  Unitcui 20332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fv 6553  df-ov 7418  df-dvdsr 20334  df-unit 20335

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20359  unitgrpid  20362  unitsubm  20363  dvrdir  20389  rdivmuldivd  20390  invrpropd  20395  elrhmunit  20487  rhmunitinv  20488  fidomndrng  20747  issubdrg  20754  imadrhmcl  20771  znunithash  21557  dvrcn  24175  nmdvr  24674  nrginvrcnlem  24695  nrginvrcn  24696  dchrelbasd  27264  dchrinvcl  27278  dchrghm  27281  dchr1  27282  dchreq  27283  dchrresb  27284  dchrabs  27285  dchrinv  27286  dchrptlem1  27289  dchrptlem2  27290  dchrpt  27292  dchrsum2  27293  dchrsum  27294  sum2dchr  27299  lgsdchr  27380  rpvmasum2  27537  dvrcan5  33105  isdrng4  33151  dvdsruassoi  33264  lidlunitel  33303  idomodle  42892