Theorem unitss 20606

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20605	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3912	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  Unitcui 20585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-dvdsr 20587  df-unit 20588

This theorem is used by:  unitgrpbas  20612  unitgrpid  20615  unitsubm  20616  dvrdir  20642  rdivmuldivd  20643  invrpropd  20648  elrhmunit  20760  rhmunitinv  20761  isdrng4  20992  fidomndrng  21031  issubdrg  21037  imadrhmcl  21054  znunithash  21870  dvrcn  24503  nmdvr  24989  nrginvrcnlem  25010  nrginvrcn  25011  dchrelbasd  27566  dchrinvcl  27580  dchrghm  27583  dchr1  27584  dchreq  27585  dchrresb  27586  dchrabs  27587  dchrinv  27588  dchrptlem1  27591  dchrptlem2  27592  dchrpt  27594  dchrsum2  27595  dchrsum  27596  sum2dchr  27601  lgsdchr  27682  rpvmasum2  27839  dvrcan5  33838  dvdsruassoi  33981  lidlunitel  34015  assafld  34311  unitscyglem5  43292  aks5lem7  43293  idomodle  44236