Theorem unitss 20300

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20299	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3933	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  Unitcui 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fv 6495  df-ov 7355  df-dvdsr 20281  df-unit 20282

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20306  unitgrpid  20309  unitsubm  20310  dvrdir  20336  rdivmuldivd  20337  invrpropd  20342  elrhmunit  20431  rhmunitinv  20432  fidomndrng  20694  issubdrg  20701  imadrhmcl  20718  znunithash  21507  dvrcn  24105  nmdvr  24591  nrginvrcnlem  24612  nrginvrcn  24613  dchrelbasd  27183  dchrinvcl  27197  dchrghm  27200  dchr1  27201  dchreq  27202  dchrresb  27203  dchrabs  27204  dchrinv  27205  dchrptlem1  27208  dchrptlem2  27209  dchrpt  27211  dchrsum2  27212  dchrsum  27213  sum2dchr  27218  lgsdchr  27299  rpvmasum2  27456  dvrcan5  33210  isdrng4  33268  dvdsruassoi  33356  lidlunitel  33395  assafld  33657  unitscyglem5  42298  aks5lem7  42299  idomodle  43289