Theorem unitss 19412

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 19411	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3973	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1537   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  Unitcui 19391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-dvdsr 19393  df-unit 19394

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  19418  unitgrpid  19421  unitsubm  19422  invrpropd  19450  issubdrg  19562  fidomndrng  20082  znunithash  20713  dvrcn  22794  nmdvr  23281  nrginvrcnlem  23302  nrginvrcn  23303  dchrelbasd  25817  dchrinvcl  25831  dchrghm  25834  dchr1  25835  dchreq  25836  dchrresb  25837  dchrabs  25838  dchrinv  25839  dchrptlem1  25842  dchrptlem2  25843  dchrpt  25845  dchrsum2  25846  dchrsum  25847  sum2dchr  25852  lgsdchr  25933  rpvmasum2  26090  dvrdir  30863  rdivmuldivd  30864  dvrcan5  30866  elrhmunit  30895  rhmunitinv  30897  idomodle  39803