Theorem unitss 20567

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20566	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3934	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  Unitcui 20546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-ov 7411  df-dvdsr 20548  df-unit 20549

This theorem is used by:  unitgrpbas  20573  unitgrpid  20576  unitsubm  20577  dvrdir  20603  rdivmuldivd  20604  invrpropd  20609  elrhmunit  20721  rhmunitinv  20722  isdrng4  20953  fidomndrng  20992  issubdrg  20998  imadrhmcl  21015  znunithash  21831  dvrcn  24464  nmdvr  24950  nrginvrcnlem  24971  nrginvrcn  24972  dchrelbasd  27529  dchrinvcl  27543  dchrghm  27546  dchr1  27547  dchreq  27548  dchrresb  27549  dchrabs  27550  dchrinv  27551  dchrptlem1  27554  dchrptlem2  27555  dchrpt  27557  dchrsum2  27558  dchrsum  27559  sum2dchr  27564  lgsdchr  27645  rpvmasum2  27802  dvrcan5  33729  dvdsruassoi  33872  lidlunitel  33906  assafld  34202  unitscyglem5  43169  aks5lem7  43170  idomodle  44136