Theorem unitss 20287

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20286	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3936	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6477  Basecbs 17112  Unitcui 20266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fv 6485  df-ov 7344  df-dvdsr 20268  df-unit 20269

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20293  unitgrpid  20296  unitsubm  20297  dvrdir  20323  rdivmuldivd  20324  invrpropd  20329  elrhmunit  20418  rhmunitinv  20419  fidomndrng  20681  issubdrg  20688  imadrhmcl  20705  znunithash  21494  dvrcn  24092  nmdvr  24578  nrginvrcnlem  24599  nrginvrcn  24600  dchrelbasd  27170  dchrinvcl  27184  dchrghm  27187  dchr1  27188  dchreq  27189  dchrresb  27190  dchrabs  27191  dchrinv  27192  dchrptlem1  27195  dchrptlem2  27196  dchrpt  27198  dchrsum2  27199  dchrsum  27200  sum2dchr  27205  lgsdchr  27286  rpvmasum2  27443  dvrcan5  33193  isdrng4  33251  dvdsruassoi  33339  lidlunitel  33378  assafld  33640  unitscyglem5  42211  aks5lem7  42212  idomodle  43203