Theorem unitss 20320

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20319	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3981	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1533   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6547  Basecbs 17180  Unitcui 20299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fv 6555  df-ov 7420  df-dvdsr 20301  df-unit 20302

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20326  unitgrpid  20329  unitsubm  20330  dvrdir  20356  rdivmuldivd  20357  invrpropd  20362  elrhmunit  20454  rhmunitinv  20455  issubdrg  20673  imadrhmcl  20690  fidomndrng  21266  znunithash  21503  dvrcn  24119  nmdvr  24618  nrginvrcnlem  24639  nrginvrcn  24640  dchrelbasd  27203  dchrinvcl  27217  dchrghm  27220  dchr1  27221  dchreq  27222  dchrresb  27223  dchrabs  27224  dchrinv  27225  dchrptlem1  27228  dchrptlem2  27229  dchrpt  27231  dchrsum2  27232  dchrsum  27233  sum2dchr  27238  lgsdchr  27319  rpvmasum2  27476  dvrcan5  33011  isdrng4  33055  dvdsruassoi  33167  lidlunitel  33212  idomodle  42701