Theorem unitss 18858

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 18857	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3802	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1637   ⊆ wss 3769  ‘cfv 6097  Basecbs 16064  Unitcui 18837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-ov 6873  df-dvdsr 18839  df-unit 18840

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  18864  unitgrpid  18867  unitsubm  18868  invrpropd  18896  issubdrg  19005  fidomndrng  19512  znunithash  20116  dvrcn  22197  nmdvr  22684  nrginvrcnlem  22705  nrginvrcn  22706  dchrelbasd  25177  dchrinvcl  25191  dchrghm  25194  dchr1  25195  dchreq  25196  dchrresb  25197  dchrabs  25198  dchrinv  25199  dchrptlem1  25202  dchrptlem2  25203  dchrpt  25205  dchrsum2  25206  dchrsum  25207  sum2dchr  25212  lgsdchr  25293  rpvmasum2  25414  dvrdir  30114  rdivmuldivd  30115  dvrcan5  30117  elrhmunit  30144  rhmunitinv  30146  idomodle  38272