Theorem unitss 19902

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 19901	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3925	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1539   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Unitcui 19881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-dvdsr 19883  df-unit 19884

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  19908  unitgrpid  19911  unitsubm  19912  invrpropd  19940  issubdrg  20049  fidomndrng  20579  znunithash  20772  dvrcn  23335  nmdvr  23834  nrginvrcnlem  23855  nrginvrcn  23856  dchrelbasd  26387  dchrinvcl  26401  dchrghm  26404  dchr1  26405  dchreq  26406  dchrresb  26407  dchrabs  26408  dchrinv  26409  dchrptlem1  26412  dchrptlem2  26413  dchrpt  26415  dchrsum2  26416  dchrsum  26417  sum2dchr  26422  lgsdchr  26503  rpvmasum2  26660  dvrdir  31487  rdivmuldivd  31488  dvrcan5  31490  elrhmunit  31519  rhmunitinv  31521  idomodle  41021