Theorem unitss 20182

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20181	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3985	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  Unitcui 20161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7408  df-dvdsr 20163  df-unit 20164

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20188  unitgrpid  20191  unitsubm  20192  dvrdir  20218  rdivmuldivd  20219  invrpropd  20224  elrhmunit  20281  rhmunitinv  20282  issubdrg  20381  imadrhmcl  20405  fidomndrng  20918  znunithash  21111  dvrcn  23679  nmdvr  24178  nrginvrcnlem  24199  nrginvrcn  24200  dchrelbasd  26731  dchrinvcl  26745  dchrghm  26748  dchr1  26749  dchreq  26750  dchrresb  26751  dchrabs  26752  dchrinv  26753  dchrptlem1  26756  dchrptlem2  26757  dchrpt  26759  dchrsum2  26760  dchrsum  26761  sum2dchr  26766  lgsdchr  26847  rpvmasum2  27004  dvrcan5  32373  isdrng4  32383  dvdsruassoi  32477  lidlunitel  32529  idomodle  41923