Theorem unitss 20356

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20355	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3926	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6499  Basecbs 17179  Unitcui 20335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7370  df-dvdsr 20337  df-unit 20338

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20362  unitgrpid  20365  unitsubm  20366  dvrdir  20392  rdivmuldivd  20393  invrpropd  20398  elrhmunit  20487  rhmunitinv  20488  fidomndrng  20750  issubdrg  20757  imadrhmcl  20774  znunithash  21544  dvrcn  24149  nmdvr  24635  nrginvrcnlem  24656  nrginvrcn  24657  dchrelbasd  27202  dchrinvcl  27216  dchrghm  27219  dchr1  27220  dchreq  27221  dchrresb  27222  dchrabs  27223  dchrinv  27224  dchrptlem1  27227  dchrptlem2  27228  dchrpt  27230  dchrsum2  27231  dchrsum  27232  sum2dchr  27237  lgsdchr  27318  rpvmasum2  27475  dvrcan5  33297  isdrng4  33356  dvdsruassoi  33444  lidlunitel  33483  assafld  33781  unitscyglem5  42638  aks5lem7  42639  idomodle  43619