Theorem unitss 20376

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20375	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3987	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  Unitcui 20355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-dvdsr 20357  df-unit 20358

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20382  unitgrpid  20385  unitsubm  20386  dvrdir  20412  rdivmuldivd  20413  invrpropd  20418  elrhmunit  20510  rhmunitinv  20511  fidomndrng  20774  issubdrg  20781  imadrhmcl  20798  znunithash  21583  dvrcn  24192  nmdvr  24691  nrginvrcnlem  24712  nrginvrcn  24713  dchrelbasd  27283  dchrinvcl  27297  dchrghm  27300  dchr1  27301  dchreq  27302  dchrresb  27303  dchrabs  27304  dchrinv  27305  dchrptlem1  27308  dchrptlem2  27309  dchrpt  27311  dchrsum2  27312  dchrsum  27313  sum2dchr  27318  lgsdchr  27399  rpvmasum2  27556  dvrcan5  33240  isdrng4  33298  dvdsruassoi  33412  lidlunitel  33451  assafld  33688  unitscyglem5  42200  aks5lem7  42201  idomodle  43203