Theorem unitss 19406

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 19405	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3919	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1538   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  Unitcui 19385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-dvdsr 19387  df-unit 19388

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  19412  unitgrpid  19415  unitsubm  19416  invrpropd  19444  issubdrg  19553  fidomndrng  20073  znunithash  20256  dvrcn  22789  nmdvr  23276  nrginvrcnlem  23297  nrginvrcn  23298  dchrelbasd  25823  dchrinvcl  25837  dchrghm  25840  dchr1  25841  dchreq  25842  dchrresb  25843  dchrabs  25844  dchrinv  25845  dchrptlem1  25848  dchrptlem2  25849  dchrpt  25851  dchrsum2  25852  dchrsum  25853  sum2dchr  25858  lgsdchr  25939  rpvmasum2  26096  dvrdir  30912  rdivmuldivd  30913  dvrcan5  30915  elrhmunit  30944  rhmunitinv  30946  idomodle  40140