Theorem unitss 20518

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20517	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3938	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  Unitcui 20497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-dvdsr 20499  df-unit 20500

This theorem is used by:  unitgrpbas  20524  unitgrpid  20527  unitsubm  20528  dvrdir  20554  rdivmuldivd  20555  invrpropd  20560  elrhmunit  20671  rhmunitinv  20672  isdrng4  20903  fidomndrng  20941  issubdrg  20947  imadrhmcl  20964  znunithash  21778  dvrcn  24411  nmdvr  24897  nrginvrcnlem  24918  nrginvrcn  24919  dchrelbasd  27473  dchrinvcl  27487  dchrghm  27490  dchr1  27491  dchreq  27492  dchrresb  27493  dchrabs  27494  dchrinv  27495  dchrptlem1  27498  dchrptlem2  27499  dchrpt  27501  dchrsum2  27502  dchrsum  27503  sum2dchr  27508  lgsdchr  27589  rpvmasum2  27746  dvrcan5  33662  dvdsruassoi  33804  lidlunitel  33838  assafld  34134  unitscyglem5  43052  aks5lem7  43053  idomodle  44019