Theorem unitss 20458

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20457	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3949	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1567   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  Unitcui 20437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7414  df-dvdsr 20439  df-unit 20440

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20464  unitgrpid  20467  unitsubm  20468  dvrdir  20494  rdivmuldivd  20495  invrpropd  20500  elrhmunit  20593  rhmunitinv  20594  fidomndrng  20855  issubdrg  20861  imadrhmcl  20878  znunithash  21683  dvrcn  24310  nmdvr  24796  nrginvrcnlem  24817  nrginvrcn  24818  dchrelbasd  27369  dchrinvcl  27383  dchrghm  27386  dchr1  27387  dchreq  27388  dchrresb  27389  dchrabs  27390  dchrinv  27391  dchrptlem1  27394  dchrptlem2  27395  dchrpt  27397  dchrsum2  27398  dchrsum  27399  sum2dchr  27404  lgsdchr  27485  rpvmasum2  27642  dvrcan5  33496  isdrng4  33559  dvdsruassoi  33641  lidlunitel  33675  assafld  33972  unitscyglem5  42856  aks5lem7  42857  idomodle  43810