Theorem unitss 20304

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3982	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1534   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6542  Basecbs 17171  Unitcui 20283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-dvdsr 20285  df-unit 20286

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20310  unitgrpid  20313  unitsubm  20314  dvrdir  20340  rdivmuldivd  20341  invrpropd  20346  elrhmunit  20438  rhmunitinv  20439  issubdrg  20657  imadrhmcl  20674  fidomndrng  21248  znunithash  21485  dvrcn  24075  nmdvr  24574  nrginvrcnlem  24595  nrginvrcn  24596  dchrelbasd  27159  dchrinvcl  27173  dchrghm  27176  dchr1  27177  dchreq  27178  dchrresb  27179  dchrabs  27180  dchrinv  27181  dchrptlem1  27184  dchrptlem2  27185  dchrpt  27187  dchrsum2  27188  dchrsum  27189  sum2dchr  27194  lgsdchr  27275  rpvmasum2  27432  dvrcan5  32921  isdrng4  32932  dvdsruassoi  33028  lidlunitel  33074  idomodle  42541