Theorem unitss 20279

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20278	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3941	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  Unitcui 20258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-dvdsr 20260  df-unit 20261

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20285  unitgrpid  20288  unitsubm  20289  dvrdir  20315  rdivmuldivd  20316  invrpropd  20321  elrhmunit  20413  rhmunitinv  20414  fidomndrng  20676  issubdrg  20683  imadrhmcl  20700  znunithash  21489  dvrcn  24087  nmdvr  24574  nrginvrcnlem  24595  nrginvrcn  24596  dchrelbasd  27166  dchrinvcl  27180  dchrghm  27183  dchr1  27184  dchreq  27185  dchrresb  27186  dchrabs  27187  dchrinv  27188  dchrptlem1  27191  dchrptlem2  27192  dchrpt  27194  dchrsum2  27195  dchrsum  27196  sum2dchr  27201  lgsdchr  27282  rpvmasum2  27439  dvrcan5  33186  isdrng4  33244  dvdsruassoi  33331  lidlunitel  33370  assafld  33609  unitscyglem5  42172  aks5lem7  42173  idomodle  43164