Theorem unitss 20392

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20391	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3998	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1536   ⊆ wss 3962  ‘cfv 6562  Basecbs 17244  Unitcui 20371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-ov 7433  df-dvdsr 20373  df-unit 20374

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  20398  unitgrpid  20401  unitsubm  20402  dvrdir  20428  rdivmuldivd  20429  invrpropd  20434  elrhmunit  20526  rhmunitinv  20527  fidomndrng  20790  issubdrg  20797  imadrhmcl  20814  znunithash  21600  dvrcn  24207  nmdvr  24706  nrginvrcnlem  24727  nrginvrcn  24728  dchrelbasd  27297  dchrinvcl  27311  dchrghm  27314  dchr1  27315  dchreq  27316  dchrresb  27317  dchrabs  27318  dchrinv  27319  dchrptlem1  27322  dchrptlem2  27323  dchrpt  27325  dchrsum2  27326  dchrsum  27327  sum2dchr  27332  lgsdchr  27413  rpvmasum2  27570  dvrcan5  33225  isdrng4  33278  dvdsruassoi  33391  lidlunitel  33430  assafld  33664  unitscyglem5  42180  aks5lem7  42181  idomodle  43179