Theorem unitss 19145

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 19144	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3864	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1508   ⊆ wss 3831  ‘cfv 6193  Basecbs 16345  Unitcui 19124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-id 5316  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-ov 6985  df-dvdsr 19126  df-unit 19127

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  19151  unitgrpid  19154  unitsubm  19155  invrpropd  19183  issubdrg  19295  fidomndrng  19813  znunithash  20428  dvrcn  22510  nmdvr  22997  nrginvrcnlem  23018  nrginvrcn  23019  dchrelbasd  25532  dchrinvcl  25546  dchrghm  25549  dchr1  25550  dchreq  25551  dchrresb  25552  dchrabs  25553  dchrinv  25554  dchrptlem1  25557  dchrptlem2  25558  dchrpt  25560  dchrsum2  25561  dchrsum  25562  sum2dchr  25567  lgsdchr  25648  rpvmasum2  25805  dvrdir  30572  rdivmuldivd  30573  dvrcan5  30575  elrhmunit  30604  rhmunitinv  30606  idomodle  39233