Theorem m1pmeq 33608

Description: If two monic polynomials 𝐼 and 𝐽 differ by a unit factor 𝐾, then they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
m1pmeq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
m1pmeq.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
m1pmeq.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
m1pmeq.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
m1pmeq.r	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
m1pmeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
m1pmeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
m1pmeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
m1pmeq.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
m1pmeq	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Proof of Theorem m1pmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1pmeq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))
2		m1pmeq.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
3	2	flddrngd 20741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4	3	drngringd 20737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		m1pmeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		m1pmeq.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
8	6, 7	unitcl 20375	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
10	5, 7	eleqtrdi 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Unit‘𝑃))
11		m1pmeq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
15		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (deg1‘𝐹) = (deg1‘𝐹)
16	11, 12, 13, 14, 2, 15, 9	ply1unit 33600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) = 0))
17	10, 16	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) = 0)
18		0le0 12367	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
19	17, 18	eqbrtrdi 5182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0)
20	15, 11, 6, 12	deg1le0 26150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0 ↔ 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0))))
21	20	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0) → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
22	4, 9, 19, 21	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	17	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
26		0nn0 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	17, 26	eqeltrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0)
28		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
29	28, 6, 11, 13	coe1fvalcl 22214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
30	9, 27, 29	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
31	25, 30	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ∈ (Base‘𝐹))
32	13, 23, 24, 4, 31	ringridmd 20270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
33	1	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐼) = (coe1‘(𝐾 · 𝐽)))
34	1	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐼) = ((deg1‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
36		m1pmeq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑃)
37		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
38		drngnzr 20748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
39	3, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NzRing)
40	11	ply1nz 26161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
42	7, 37, 41, 5	unitnz 33243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
43		fldidom 20771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ IDomn)
44	2, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ IDomn)
45	44	idomdomd 20726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
46	15, 11, 14, 6, 37, 4, 9, 19	deg1le0eq0 33598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) = (0g‘𝐹)))
47	46	necon3bid 2985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹)))
48	42, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹))
49	25, 48	eqnetrd 3008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹))
50	13, 35, 14	domnrrg 20713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹)) → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
51	45, 30, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
52		m1pmeq.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
53		m1pmeq.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
54	11, 6, 53	mon1pcl 26184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
56	11, 37, 53	mon1pn0 26186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
57	52, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
58	15, 11, 35, 6, 36, 37, 4, 9, 42, 51, 55, 57	deg1mul2 26153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)) = (((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽)))
59	34, 58	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐼) = (((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽)))
60	33, 59	fveq12d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))))
61		m1pmeq.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
62	15, 24, 53	mon1pldg 26189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
64	11, 36, 23, 6, 15, 37, 4, 9, 42, 55, 57	coe1mul4 26139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽))))
65	15, 24, 53	mon1pldg 26189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
66	52, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
67	25, 66	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
68	64, 67	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
69	60, 63, 68	3eqtr3rd 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
70	32, 69	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) = (1r‘𝐹))
71	70	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)))
72		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
73	11, 12, 24, 72, 4	ply1ascl1 22257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑃))
74	22, 71, 73	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (1r‘𝑃))
75	74	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐽) = ((1r‘𝑃) · 𝐽))
76	11	ply1ring 22249	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
77	4, 76	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
78	6, 36, 72, 77, 55	ringlidmd 20269	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑃) · 𝐽) = 𝐽)
79	1, 75, 78	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158   ≤ cle 11296  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  Unitcui 20355  NzRingcnzr 20512  RLRegcrlreg 20691  Domncdomn 20692  IDomncidom 20693  DivRingcdr 20729  Fieldcfield 20730  algSccascl 21872  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179  deg₁cdg1 26093  Monic_1pcmn1 26165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-assa 21873  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170

This theorem is referenced by:  irredminply  33757