Theorem m1pmeq 33660

Description: If two monic polynomials 𝐼 and 𝐽 differ by a unit factor 𝐾, then they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
m1pmeq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
m1pmeq.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
m1pmeq.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
m1pmeq.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
m1pmeq.r	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
m1pmeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
m1pmeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
m1pmeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
m1pmeq.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
m1pmeq	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Proof of Theorem m1pmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1pmeq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))
2		m1pmeq.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
3	2	flddrngd 20709	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4	3	drngringd 20705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		m1pmeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		m1pmeq.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
8	6, 7	unitcl 20346	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
10	5, 7	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Unit‘𝑃))
11		m1pmeq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
15		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (deg1‘𝐹) = (deg1‘𝐹)
16	11, 12, 13, 14, 2, 15, 9	ply1unit 33650	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) = 0))
17	10, 16	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) = 0)
18		0le0 12273	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
19	17, 18	eqbrtrdi 5125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0)
20	15, 11, 6, 12	deg1le0 26086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0 ↔ 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0))))
21	20	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0) → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
22	4, 9, 19, 21	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	17	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
26		0nn0 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	17, 26	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0)
28		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
29	28, 6, 11, 13	coe1fvalcl 22186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
30	9, 27, 29	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
31	25, 30	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ∈ (Base‘𝐹))
32	13, 23, 24, 4, 31	ringridmd 20245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
33	1	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐼) = (coe1‘(𝐾 · 𝐽)))
34	1	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐼) = ((deg1‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
36		m1pmeq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑃)
37		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
38		drngnzr 20716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
39	3, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NzRing)
40	11	ply1nz 26097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
42	7, 37, 41, 5	unitnz 33315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
43		fldidom 20739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ IDomn)
44	2, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ IDomn)
45	44	idomdomd 20694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
46	15, 11, 14, 6, 37, 4, 9, 19	deg1le0eq0 33648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) = (0g‘𝐹)))
47	46	necon3bid 2977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹)))
48	42, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹))
49	25, 48	eqnetrd 3000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹))
50	13, 35, 14	domnrrg 20681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹)) → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
51	45, 30, 49, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
52		m1pmeq.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
53		m1pmeq.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
54	11, 6, 53	mon1pcl 26120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
56	11, 37, 53	mon1pn0 26122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
57	52, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
58	15, 11, 35, 6, 36, 37, 4, 9, 42, 51, 55, 57	deg1mul2 26089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)) = (((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽)))
59	34, 58	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐼) = (((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽)))
60	33, 59	fveq12d 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))))
61		m1pmeq.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
62	15, 24, 53	mon1pldg 26125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
64	11, 36, 23, 6, 15, 37, 4, 9, 42, 55, 57	coe1mul4 26075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽))))
65	15, 24, 53	mon1pldg 26125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
66	52, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
67	25, 66	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
68	64, 67	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
69	60, 63, 68	3eqtr3rd 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
70	32, 69	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) = (1r‘𝐹))
71	70	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)))
72		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
73	11, 12, 24, 72, 4	ply1ascl1 22229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑃))
74	22, 71, 73	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (1r‘𝑃))
75	74	oveq1d 7375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐽) = ((1r‘𝑃) · 𝐽))
76	11	ply1ring 22221	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
77	4, 76	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
78	6, 36, 72, 77, 55	ringlidmd 20244	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑃) · 𝐽) = 𝐽)
79	1, 75, 78	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029   + caddc 11032   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  Unitcui 20326  NzRingcnzr 20480  RLRegcrlreg 20659  Domncdomn 20660  IDomncidom 20661  DivRingcdr 20697  Fieldcfield 20698  algSccascl 21842  Poly₁cpl1 22150  coe₁cco1 22151  deg₁cdg1 26029  Monic_1pcmn1 26101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-rhm 20443  df-nzr 20481  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-idom 20664  df-drng 20699  df-field 20700  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-cnfld 21345  df-assa 21843  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-psr1 22153  df-vr1 22154  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-mdeg 26030  df-deg1 26031  df-mon1 26106

This theorem is referenced by:  irredminply  33876