Theorem m1pmeq 33545

Description: If two monic polynomials 𝐼 and 𝐽 differ by a unit factor 𝐾, then they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
m1pmeq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
m1pmeq.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
m1pmeq.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
m1pmeq.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
m1pmeq.r	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
m1pmeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
m1pmeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
m1pmeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
m1pmeq.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
m1pmeq	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Proof of Theorem m1pmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1pmeq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))
2		m1pmeq.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
3	2	flddrngd 20657	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4	3	drngringd 20653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		m1pmeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
6		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		m1pmeq.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
8	6, 7	unitcl 20294	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
10	5, 7	eleqtrdi 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Unit‘𝑃))
11		m1pmeq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
12		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
15		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (deg1‘𝐹) = (deg1‘𝐹)
16	11, 12, 13, 14, 2, 15, 9	ply1unit 33536	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) = 0))
17	10, 16	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) = 0)
18		0le0 12226	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
19	17, 18	eqbrtrdi 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0)
20	15, 11, 6, 12	deg1le0 26044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0 ↔ 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0))))
21	20	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0) → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
22	4, 9, 19, 21	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
23		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
24		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	17	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
26		0nn0 12396	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	17, 26	eqeltrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0)
28		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
29	28, 6, 11, 13	coe1fvalcl 22126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
30	9, 27, 29	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
31	25, 30	eqeltrrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ∈ (Base‘𝐹))
32	13, 23, 24, 4, 31	ringridmd 20192	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
33	1	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐼) = (coe1‘(𝐾 · 𝐽)))
34	1	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐼) = ((deg1‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)))
35		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
36		m1pmeq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑃)
37		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
38		drngnzr 20664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
39	3, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NzRing)
40	11	ply1nz 26055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
42	7, 37, 41, 5	unitnz 33204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
43		fldidom 20687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ IDomn)
44	2, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ IDomn)
45	44	idomdomd 20642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
46	15, 11, 14, 6, 37, 4, 9, 19	deg1le0eq0 33534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) = (0g‘𝐹)))
47	46	necon3bid 2972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹)))
48	42, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹))
49	25, 48	eqnetrd 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹))
50	13, 35, 14	domnrrg 20629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹)) → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
51	45, 30, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
52		m1pmeq.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
53		m1pmeq.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
54	11, 6, 53	mon1pcl 26078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
56	11, 37, 53	mon1pn0 26080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
57	52, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
58	15, 11, 35, 6, 36, 37, 4, 9, 42, 51, 55, 57	deg1mul2 26047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)) = (((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽)))
59	34, 58	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐼) = (((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽)))
60	33, 59	fveq12d 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))))
61		m1pmeq.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
62	15, 24, 53	mon1pldg 26083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
64	11, 36, 23, 6, 15, 37, 4, 9, 42, 55, 57	coe1mul4 26033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽))))
65	15, 24, 53	mon1pldg 26083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
66	52, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
67	25, 66	oveq12d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
68	64, 67	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
69	60, 63, 68	3eqtr3rd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
70	32, 69	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) = (1r‘𝐹))
71	70	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)))
72		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
73	11, 12, 24, 72, 4	ply1ascl1 22169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑃))
74	22, 71, 73	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (1r‘𝑃))
75	74	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐽) = ((1r‘𝑃) · 𝐽))
76	11	ply1ring 22161	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
77	4, 76	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
78	6, 36, 72, 77, 55	ringlidmd 20191	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑃) · 𝐽) = 𝐽)
79	1, 75, 78	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006   + caddc 11009   ≤ cle 11147  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  1_rcur 20100  Ringcrg 20152  Unitcui 20274  NzRingcnzr 20428  RLRegcrlreg 20607  Domncdomn 20608  IDomncidom 20609  DivRingcdr 20645  Fieldcfield 20646  algSccascl 21790  Poly₁cpl1 22090  coe₁cco1 22091  deg₁cdg1 25987  Monic_1pcmn1 26059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-cring 20155  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307  df-rhm 20391  df-nzr 20429  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-rlreg 20610  df-domn 20611  df-idom 20612  df-drng 20647  df-field 20648  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-cnfld 21293  df-assa 21791  df-ascl 21793  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-mdeg 25988  df-deg1 25989  df-mon1 26064

This theorem is referenced by:  irredminply  33727