Theorem m1pmeq 33675

Description: If two monic polynomials 𝐼 and 𝐽 differ by a unit factor 𝐾, then they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
m1pmeq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
m1pmeq.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
m1pmeq.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
m1pmeq.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
m1pmeq.r	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
m1pmeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
m1pmeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
m1pmeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
m1pmeq.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
m1pmeq	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Proof of Theorem m1pmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1pmeq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐾 · 𝐽))
2		m1pmeq.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
3	2	flddrngd 20720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4	3	drngringd 20716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		m1pmeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
6		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		m1pmeq.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑃)
8	6, 7	unitcl 20353	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
10	5, 7	eleqtrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Unit‘𝑃))
11		m1pmeq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
15		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (deg1‘𝐹) = (deg1‘𝐹)
16	11, 12, 13, 14, 2, 15, 9	ply1unit 33665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) = 0))
17	10, 16	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) = 0)
18		0le0 12280	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
19	17, 18	eqbrtrdi 5118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0)
20	15, 11, 6, 12	deg1le0 26101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0 ↔ 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0))))
21	20	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ≤ 0) → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
22	4, 9, 19, 21	syl21anc 843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)))
23		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
24		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
25	17	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
26		0nn0 12450	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	17, 26	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0)
28		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
29	28, 6, 11, 13	coe1fvalcl 22204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((deg1‘𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
30	9, 27, 29	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹))
31	25, 30	eqeltrrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ∈ (Base‘𝐹))
32	13, 23, 24, 4, 31	ringridmd 20252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = ((coe1‘𝐾)‘0))
33	1	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐼) = (coe1‘(𝐾 · 𝐽)))
34	1	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐼) = ((deg1‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)))
35		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
36		m1pmeq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑃)
37		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
38		drngnzr 20727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
39	3, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NzRing)
40	11	ply1nz 26112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
42	7, 37, 41, 5	unitnz 33327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
43		fldidom 20750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ IDomn)
44	2, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ IDomn)
45	44	idomdomd 20705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
46	15, 11, 14, 6, 37, 4, 9, 19	deg1le0eq0 33663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) = (0g‘𝐹)))
47	46	necon3bid 2979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹)))
48	42, 47	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) ≠ (0g‘𝐹))
49	25, 48	eqnetrd 3002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹))
50	13, 35, 14	domnrrg 20692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ≠ (0g‘𝐹)) → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
51	45, 30, 49, 50	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾)) ∈ (RLReg‘𝐹))
52		m1pmeq.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑀)
53		m1pmeq.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝐹)
54	11, 6, 53	mon1pcl 26135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
56	11, 37, 53	mon1pn0 26137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
57	52, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ (0g‘𝑃))
58	15, 11, 35, 6, 36, 37, 4, 9, 42, 51, 55, 57	deg1mul2 26104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘(𝐾 · 𝐽)) = (((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽)))
59	34, 58	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐹)‘𝐼) = (((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽)))
60	33, 59	fveq12d 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))))
61		m1pmeq.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑀)
62	15, 24, 53	mon1pldg 26140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐼)‘((deg1‘𝐹)‘𝐼)) = (1r‘𝐹))
64	11, 36, 23, 6, 15, 37, 4, 9, 42, 55, 57	coe1mul4 26090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽))))
65	15, 24, 53	mon1pldg 26140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
66	52, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽)) = (1r‘𝐹))
67	25, 66	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘((deg1‘𝐹)‘𝐾))(.r‘𝐹)((coe1‘𝐽)‘((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
68	64, 67	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐾 · 𝐽))‘(((deg1‘𝐹)‘𝐾) + ((deg1‘𝐹)‘𝐽))) = (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)))
69	60, 63, 68	3eqtr3rd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐾)‘0)(.r‘𝐹)(1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
70	32, 69	eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐾)‘0) = (1r‘𝐹))
71	70	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐾)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)))
72		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
73	11, 12, 24, 72, 4	ply1ascl1 22247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑃))
74	22, 71, 73	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (1r‘𝑃))
75	74	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐽) = ((1r‘𝑃) · 𝐽))
76	11	ply1ring 22239	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
77	4, 76	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
78	6, 36, 72, 77, 55	ringlidmd 20251	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑃) · 𝐽) = 𝐽)
79	1, 75, 78	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036   + caddc 11039   ≤ cle 11178  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  Unitcui 20333  NzRingcnzr 20491  RLRegcrlreg 20670  Domncdomn 20671  IDomncidom 20672  DivRingcdr 20708  Fieldcfield 20709  algSccascl 21834  Poly₁cpl1 22169  coe₁cco1 22170  deg₁cdg1 26044  Monic_1pcmn1 26116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-rhm 20450  df-nzr 20492  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-rlreg 20673  df-domn 20674  df-idom 20675  df-drng 20710  df-field 20711  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-cnfld 21355  df-assa 21835  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-vr1 22173  df-ply1 22174  df-coe1 22175  df-mdeg 26045  df-deg1 26046  df-mon1 26121

This theorem is referenced by:  irredminply  33907