MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrid 20344
Description: A ring element divided by itself is the ring unity. (divid 11931 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unitdvcl.o π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitdvcl.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrid.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / 𝑋) = 1 )
Proof of Theorem dvrid
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 unitdvcl.o . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2unitcl 20313 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
43adantl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 eqid 2728 . . . 4 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
7 unitdvcl.d . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
81, 5, 2, 6, 7dvrval 20341 . . 3 ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / 𝑋) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
94, 8sylancom 587 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / 𝑋) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
10 dvrid.o . . 3 1 = (1rβ€˜π‘…)
112, 6, 5, 10unitrinv 20332 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = 1 )
129, 11eqtrd 2768 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / 𝑋) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  1rcur 20120  Ringcrg 20172  Unitcui 20293  invrcinvr 20325  /rcdvr 20338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339
This theorem is referenced by:  dvrcan3  20348  dvreq1  20349  lgseisenlem3  27309
  Copyright terms: Public domain W3C validator