Theorem kerunit 33886

Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then 0 = 1, i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
kerunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
kerunit.2	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
kerunit.3	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
kerunit	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Proof of Theorem kerunit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
2	1	bilani 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
3	2	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
4		rhmrcl1 20707	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5		kerunit.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	unitlinv 20623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
10	9	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
11	4, 10	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
12	3, 11	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
13		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
14	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	5, 6, 15	ringinvcl 20622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17	14, 3, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	15, 5	unitcl 20605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19	3, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
20		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
21	15, 7, 20	rhmmul 20720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
22	13, 17, 19, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
23	2	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
24		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
25	15, 24	rhmf 20715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
26		ffn 6709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
27		elpreima 7057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
28	25, 26, 27	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
29	28	simplbda 505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
30	23, 29	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
31		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
32	31	elsn 4599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
33	30, 32	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
34	33	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ))
35		rhmrcl2 20708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
36	35	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑆 ∈ Ring)
37	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
38	37, 17	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆))
39		kerunit.2	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
40	24, 20, 39	ringrz 20525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
41	36, 38, 40	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
42	22, 34, 41	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = 0 )
43		kerunit.3	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
44	8, 43	rhm1 20724	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
45	44	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
46	12, 42, 45	3eqtr3rd 2805	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 1 = 0 )
47	46	reximdva0 4303	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 )
48		id 23	. . 3 ⊢ ( 1 = 0 → 1 = 0 )
49	48	rexlimivw 3160	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 → 1 = 0 )
50	47, 49	syl 18	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  Unitcui 20585  inv_rcinvr 20617   RingHom crh 20699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-ghm 19428  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-rhm 20702

This theorem is used by: (None)