Theorem kerunit 30607

Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then 0 = 1, i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
kerunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
kerunit.2	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
kerunit.3	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
kerunit	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Proof of Theorem kerunit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
2	1	biimpi 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
3	2	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
4	3	simpld 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
5		rhmrcl1 19206	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
6		kerunit.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
8		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	6, 7, 8, 9	unitlinv 19162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
11	10	fveq2d 6500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
12	5, 11	sylan 572	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
13	4, 12	syldan 583	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
14		simpl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
15	5	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	6, 7, 16	ringinvcl 19161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	15, 4, 17	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
19	16, 6	unitcl 19144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
20	4, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
21		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
22	16, 8, 21	rhmmul 19214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
23	14, 18, 20, 22	syl3anc 1352	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
24	3	simprd 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
25		eqid 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
26	16, 25	rhmf 19213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
27		ffn 6341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
28		elpreima 6651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
30	29	simplbda 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
31	24, 30	syldan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
32		fvex 6509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
33	32	elsn 4450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
34	31, 33	sylib 210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
35	34	oveq2d 6990	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ))
36		rhmrcl2 19207	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
37	36	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑆 ∈ Ring)
38	26	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
39	38, 18	ffvelrnd 6675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆))
40		kerunit.2	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
41	25, 21, 40	ringrz 19073	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
42	37, 39, 41	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
43	23, 35, 42	3eqtrd 2811	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = 0 )
44		kerunit.3	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
45	9, 44	rhm1 19217	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
46	45	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
47	13, 43, 46	3eqtr3rd 2816	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 1 = 0 )
48	47	reximdva0 4192	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 )
49		id 22	. . 3 ⊢ ( 1 = 0 → 1 = 0 )
50	49	rexlimivw 3220	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 → 1 = 0 )
51	48, 50	syl 17	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ∃wrex 3082   ∩ cin 3821  ∅c0 4172  {csn 4435  ^◡ccnv 5402   “ cima 5406   Fn wfn 6180  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  ._rcmulr 16420  0_gc0g 16567  1_rcur 18986  Ringcrg 19032  Unitcui 19124  inv_rcinvr 19156   RingHom crh 19199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-ghm 18139  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-rnghom 19202

This theorem is referenced by: (None)