Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kerunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kerunit 31062
 Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then 0 = 1, i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
kerunit.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
kerunit.2 0 = (0g𝑆)
kerunit.3 1 = (1r𝑆)
Assertion
Ref Expression
kerunit ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Proof of Theorem kerunit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3877 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })))
21biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })))
32adantl 485 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })))
43simpld 498 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥𝑈)
5 rhmrcl1 19557 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
6 kerunit.1 . . . . . . . 8 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2759 . . . . . . . 8 (invr𝑅) = (invr𝑅)
8 eqid 2759 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9 eqid 2759 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
106, 7, 8, 9unitlinv 19513 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))
1110fveq2d 6668 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
125, 11sylan 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
134, 12syldan 594 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
14 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
155adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2759 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
176, 7, 16ringinvcl 19512 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1815, 4, 17syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1916, 6unitcl 19495 . . . . . . 7 (𝑥𝑈𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
204, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
21 eqid 2759 . . . . . . 7 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2216, 8, 21rhmmul 19565 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆)(𝐹𝑥)))
2314, 18, 20, 22syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆)(𝐹𝑥)))
243simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }))
25 eqid 2759 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2616, 25rhmf 19564 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
27 ffn 6504 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
28 elpreima 6825 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑥) ∈ { 0 })))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑥) ∈ { 0 })))
3029simplbda 503 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })) → (𝐹𝑥) ∈ { 0 })
3124, 30syldan 594 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹𝑥) ∈ { 0 })
32 fvex 6677 . . . . . . . 8 (𝐹𝑥) ∈ V
3332elsn 4541 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
3431, 33sylib 221 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹𝑥) = 0 )
3534oveq2d 7173 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆)(𝐹𝑥)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆) 0 ))
36 rhmrcl2 19558 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
3736adantr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝑆 ∈ Ring)
3826adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
3938, 18ffvelrnd 6850 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆))
40 kerunit.2 . . . . . . 7 0 = (0g𝑆)
4125, 21, 40ringrz 19424 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆) 0 ) = 0 )
4237, 39, 41syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝑥))(.r𝑆) 0 ) = 0 )
4323, 35, 423eqtrd 2798 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥)) = 0 )
44 kerunit.3 . . . . . 6 1 = (1r𝑆)
459, 44rhm1 19568 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1 )
4645adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1 )
4713, 43, 463eqtr3rd 2803 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 }))) → 1 = 0 )
4847reximdva0 4253 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 )
49 id 22 . . 3 ( 1 = 01 = 0 )
5049rexlimivw 3207 . 2 (∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) 1 = 01 = 0 )
5148, 50syl 17 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∃wrex 3072   ∩ cin 3860  ∅c0 4228  {csn 4526  ◡ccnv 5528   “ cima 5532   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Basecbs 16556  .rcmulr 16639  0gc0g 16786  1rcur 19334  Ringcrg 19380  Unitcui 19475  invrcinvr 19507   RingHom crh 19550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-tpos 7909  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-0g 16788  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-mhm 18037  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-ghm 18438  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-oppr 19459  df-dvdsr 19477  df-unit 19478  df-invr 19508  df-rnghom 19553 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator