Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kerunit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kerunit 32468
Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then 0 = 1, i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
kerunit.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
kerunit.2 0 = (0gβ€˜π‘†)
kerunit.3 1 = (1rβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
kerunit ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β‰  βˆ…) β†’ 1 = 0 )
Proof of Theorem kerunit
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3965 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) ↔ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 })))
21biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 })))
32adantl 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 })))
43simpld 496 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
5 rhmrcl1 20255 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 kerunit.1 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
7 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
8 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
9 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
106, 7, 8, 9unitlinv 20207 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1110fveq2d 6896 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
125, 11sylan 581 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
134, 12syldan 592 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
14 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
155adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
176, 7, 16ringinvcl 20206 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1815, 4, 17syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1916, 6unitcl 20189 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
204, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2216, 8, 21rhmmul 20264 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)))
2314, 18, 20, 22syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)))
243simprd 497 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 }))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2616, 25rhmf 20263 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
27 ffn 6718 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘…))
28 elpreima 7060 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 })))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 })))
3029simplbda 501 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 })
3124, 30syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 })
32 fvex 6905 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
3332elsn 4644 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 } ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
3431, 33sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
3534oveq2d 7425 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†) 0 ))
36 rhmrcl2 20256 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
3736adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
3826adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
3938, 18ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
40 kerunit.2 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘†)
4125, 21, 40ringrz 20108 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†) 0 ) = 0 )
4237, 39, 41syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†) 0 ) = 0 )
4323, 35, 423eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = 0 )
44 kerunit.3 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π‘†)
459, 44rhm1 20267 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1 )
4645adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1 )
4713, 43, 463eqtr3rd 2782 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 1 = 0 )
4847reximdva0 4352 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) 1 = 0 )
49 id 22 . . 3 ( 1 = 0 β†’ 1 = 0 )
5049rexlimivw 3152 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) 1 = 0 β†’ 1 = 0 )
5148, 50syl 17 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β‰  βˆ…) β†’ 1 = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  {csn 4629  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  1rcur 20004  Ringcrg 20056  Unitcui 20169  invrcinvr 20201   RingHom crh 20248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-rnghom 20251
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator