Theorem kerunit 33415

Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then 0 = 1, i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
kerunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
kerunit.2	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
kerunit.3	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
kerunit	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Proof of Theorem kerunit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
2	1	bilani 505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
3	2	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
4		rhmrcl1 20454	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5		kerunit.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	unitlinv 20371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
10	9	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
11	4, 10	sylan 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
12	3, 11	syldan 597	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
13		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
14	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	5, 6, 15	ringinvcl 20370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17	14, 3, 16	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	15, 5	unitcl 20353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19	3, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
20		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
21	15, 7, 20	rhmmul 20464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
22	13, 17, 19, 21	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
23	2	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
24		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
25	15, 24	rhmf 20462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
26		ffn 6662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
27		elpreima 7006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
29	28	simplbda 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
30	23, 29	syldan 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
31		fvex 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
32	31	elsn 4577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
33	30, 32	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
34	33	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ))
35		rhmrcl2 20455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
36	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑆 ∈ Ring)
37	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
38	37, 17	ffvelcdmd 7033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆))
39		kerunit.2	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
40	24, 20, 39	ringrz 20273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
41	36, 38, 40	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
42	22, 34, 41	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = 0 )
43		kerunit.3	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
44	8, 43	rhm1 20467	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
45	44	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
46	12, 42, 45	3eqtr3rd 2784	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 1 = 0 )
47	46	reximdva0 4290	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 )
48		id 22	. . 3 ⊢ ( 1 = 0 → 1 = 0 )
49	48	rexlimivw 3137	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 → 1 = 0 )
50	47, 49	syl 17	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ∩ cin 3889  ∅c0 4268  {csn 4562  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  Unitcui 20333  inv_rcinvr 20365   RingHom crh 20447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-rhm 20450

This theorem is referenced by: (None)