Theorem kerunit 33297

Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then 0 = 1, i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
kerunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
kerunit.2	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
kerunit.3	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
kerunit	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Proof of Theorem kerunit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
2	1	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
4	3	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
5		rhmrcl1 20396	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
6		kerunit.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
8		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	6, 7, 8, 9	unitlinv 20313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
11	10	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
12	5, 11	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
13	4, 12	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
15	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	6, 7, 16	ringinvcl 20312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	15, 4, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
19	16, 6	unitcl 20295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
20	4, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
21		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
22	16, 8, 21	rhmmul 20405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
23	14, 18, 20, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
24	3	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
25		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
26	16, 25	rhmf 20404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
27		ffn 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
28		elpreima 6997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
30	29	simplbda 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
31	24, 30	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
32		fvex 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
33	32	elsn 4590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
34	31, 33	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
35	34	oveq2d 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ))
36		rhmrcl2 20397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑆 ∈ Ring)
38	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
39	38, 18	ffvelcdmd 7024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆))
40		kerunit.2	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
41	25, 21, 40	ringrz 20214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
42	37, 39, 41	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
43	23, 35, 42	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = 0 )
44		kerunit.3	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
45	9, 44	rhm1 20408	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
47	13, 43, 46	3eqtr3rd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 1 = 0 )
48	47	reximdva0 4304	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 )
49		id 22	. . 3 ⊢ ( 1 = 0 → 1 = 0 )
50	49	rexlimivw 3130	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 → 1 = 0 )
51	48, 50	syl 17	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  {csn 4575  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  Unitcui 20275  inv_rcinvr 20307   RingHom crh 20389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-ghm 19127  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-rhm 20392

This theorem is referenced by: (None)