Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kerunit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kerunit 32425
Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then 0 = 1, i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
kerunit.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
kerunit.2 0 = (0gβ€˜π‘†)
kerunit.3 1 = (1rβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
kerunit ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β‰  βˆ…) β†’ 1 = 0 )
Proof of Theorem kerunit
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) ↔ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 })))
21biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 })))
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 })))
43simpld 495 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
5 rhmrcl1 20247 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 kerunit.1 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
7 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
8 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
9 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
106, 7, 8, 9unitlinv 20199 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1110fveq2d 6892 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
125, 11sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
134, 12syldan 591 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
14 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
155adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
176, 7, 16ringinvcl 20198 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1815, 4, 17syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1916, 6unitcl 20181 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
204, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2216, 8, 21rhmmul 20256 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)))
2314, 18, 20, 22syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)))
243simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 }))
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2616, 25rhmf 20255 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
27 ffn 6714 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘…))
28 elpreima 7056 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 })))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 })))
3029simplbda 500 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 })
3124, 30syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 })
32 fvex 6901 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
3332elsn 4642 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ { 0 } ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
3431, 33sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
3534oveq2d 7421 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†) 0 ))
36 rhmrcl2 20248 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
3736adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
3826adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘†))
3938, 18ffvelcdmd 7084 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
40 kerunit.2 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘†)
4125, 21, 40ringrz 20101 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†) 0 ) = 0 )
4237, 39, 41syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ ((πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))(.rβ€˜π‘†) 0 ) = 0 )
4323, 35, 423eqtrd 2776 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜(((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = 0 )
44 kerunit.3 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π‘†)
459, 44rhm1 20259 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1 )
4645adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1 )
4713, 43, 463eqtr3rd 2781 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 }))) β†’ 1 = 0 )
4847reximdva0 4350 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) 1 = 0 )
49 id 22 . . 3 ( 1 = 0 β†’ 1 = 0 )
5049rexlimivw 3151 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) 1 = 0 β†’ 1 = 0 )
5148, 50syl 17 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (π‘ˆ ∩ (◑𝐹 β€œ { 0 })) β‰  βˆ…) β†’ 1 = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321  {csn 4627  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  1rcur 19998  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  invrcinvr 20193   RingHom crh 20240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-rnghom 20243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator