Theorem ringunitnzdiv 20302

Description: In a unitary ring, a unit is not a zero divisor. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringunitnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringunitnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringunitnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringunitnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringunitnzdiv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringunitnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringunitnzdiv	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem ringunitnzdiv

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringunitnzdiv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringunitnzdiv.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		ringunitnzdiv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		ringunitnzdiv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringunitnzdiv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	1, 7	unitcl 20279	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
11	7, 10, 1	ringinvcl 20296	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	5, 6, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → (𝑒 · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋))
14	13	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋)) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
16	7, 10, 2, 3	unitlinv 20297	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
17	5, 6, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
18	12, 15, 17	rspcedvd 3581	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅))
19		ringunitnzdiv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 18, 19	ringinvnzdiv 20205	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  ._rcmulr 17181  0_gc0g 17362  1_rcur 20085  Ringcrg 20137  Unitcui 20259  inv_rcinvr 20291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292

This theorem is referenced by:  ring1nzdiv  20303