MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringunitnzdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringunitnzdiv 20331
Description: In a unitary ring, a unit is not a zero divisor. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ringunitnzdiv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringunitnzdiv.z 0 = (0g𝑅)
ringunitnzdiv.t · = (.r𝑅)
ringunitnzdiv.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringunitnzdiv.y (𝜑𝑌𝐵)
ringunitnzdiv.x (𝜑𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
ringunitnzdiv (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem ringunitnzdiv
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringunitnzdiv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ringunitnzdiv.t . 2 · = (.r𝑅)
3 eqid 2728 . 2 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4 ringunitnzdiv.z . 2 0 = (0g𝑅)
5 ringunitnzdiv.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 ringunitnzdiv.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
7 eqid 2728 . . . 4 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
81, 7unitcl 20308 . . 3 (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋𝐵)
96, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
10 eqid 2728 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
117, 10, 1ringinvcl 20325 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
125, 6, 11syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13 oveq1 7422 . . . . 5 (𝑒 = ((invr𝑅)‘𝑋) → (𝑒 · 𝑋) = (((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋))
1413eqeq1d 2730 . . . 4 (𝑒 = ((invr𝑅)‘𝑋) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r𝑅) ↔ (((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r𝑅)))
1514adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑒 = ((invr𝑅)‘𝑋)) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r𝑅) ↔ (((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r𝑅)))
167, 10, 2, 3unitlinv 20326 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r𝑅))
175, 6, 16syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r𝑅))
1812, 15, 17rspcedvd 3610 . 2 (𝜑 → ∃𝑒𝐵 (𝑒 · 𝑋) = (1r𝑅))
19 ringunitnzdiv.y . 2 (𝜑𝑌𝐵)
201, 2, 3, 4, 5, 9, 18, 19ringinvnzdiv 20231 1 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  0gc0g 17415  1rcur 20115  Ringcrg 20167  Unitcui 20288  invrcinvr 20320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321
This theorem is referenced by:  ring1nzdiv  20332
  Copyright terms: Public domain W3C validator