Theorem ringunitnzdiv 20447

Description: In a unitary ring, a unit is not a zero divisor. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringunitnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringunitnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringunitnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringunitnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringunitnzdiv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringunitnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringunitnzdiv	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem ringunitnzdiv

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringunitnzdiv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringunitnzdiv.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		ringunitnzdiv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		ringunitnzdiv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringunitnzdiv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	1, 7	unitcl 20424	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
11	7, 10, 1	ringinvcl 20441	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	5, 6, 11	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → (𝑒 · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋))
14	13	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
15	14	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋)) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
16	7, 10, 2, 3	unitlinv 20442	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
17	5, 6, 16	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
18	12, 15, 17	rspcedvd 3583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅))
19		ringunitnzdiv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 18, 19	ringinvnzdiv 20351	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  0_gc0g 17468  1_rcur 20231  Ringcrg 20283  Unitcui 20404  inv_rcinvr 20436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437

This theorem is referenced by:  ring1nzdiv  20448