Theorem ringunitnzdiv 20528

Description: In a unitary ring, a unit is not a zero divisor. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringunitnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringunitnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringunitnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringunitnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringunitnzdiv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringunitnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringunitnzdiv	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem ringunitnzdiv

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringunitnzdiv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringunitnzdiv.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		ringunitnzdiv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		ringunitnzdiv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringunitnzdiv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	1, 7	unitcl 20505	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
11	7, 10, 1	ringinvcl 20522	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	5, 6, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → (𝑒 · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋))
14	13	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
15	14	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋)) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
16	7, 10, 2, 3	unitlinv 20523	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
17	5, 6, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
18	12, 15, 17	rspcedvd 3585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅))
19		ringunitnzdiv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 18, 19	ringinvnzdiv 20432	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  ._rcmulr 17335  0_gc0g 17516  1_rcur 20309  Ringcrg 20361  Unitcui 20485  inv_rcinvr 20517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518

This theorem is used by:  ring1nzdiv  20529