Theorem ringunitnzdiv 20204

Description: In a unitary ring, a unit is not a zero divisor. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringunitnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringunitnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringunitnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringunitnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringunitnzdiv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringunitnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringunitnzdiv	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem ringunitnzdiv

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringunitnzdiv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringunitnzdiv.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2732	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		ringunitnzdiv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		ringunitnzdiv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringunitnzdiv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
7		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	1, 7	unitcl 20181	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
11	7, 10, 1	ringinvcl 20198	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	5, 6, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → (𝑒 · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋))
14	13	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
15	14	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋)) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
16	7, 10, 2, 3	unitlinv 20199	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
17	5, 6, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
18	12, 15, 17	rspcedvd 3614	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅))
19		ringunitnzdiv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 18, 19	ringinvnzdiv 20106	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  0_gc0g 17381  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  inv_rcinvr 20193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194

This theorem is referenced by:  ring1nzdiv  20205