Theorem ringunitnzdiv 20480

Description: In a unitary ring, a unit is not a zero divisor. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringunitnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringunitnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringunitnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringunitnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringunitnzdiv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringunitnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringunitnzdiv	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem ringunitnzdiv

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringunitnzdiv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringunitnzdiv.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2769	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		ringunitnzdiv.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		ringunitnzdiv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringunitnzdiv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	1, 7	unitcl 20457	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
11	7, 10, 1	ringinvcl 20474	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12	5, 6, 11	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → (𝑒 · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋))
14	13	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
15	14	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 = ((invr‘𝑅)‘𝑋)) → ((𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅)))
16	7, 10, 2, 3	unitlinv 20475	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
17	5, 6, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑋) · 𝑋) = (1r‘𝑅))
18	12, 15, 17	rspcedvd 3592	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 (𝑒 · 𝑋) = (1r‘𝑅))
19		ringunitnzdiv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 18, 19	ringinvnzdiv 20384	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  Unitcui 20437  inv_rcinvr 20469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470

This theorem is referenced by:  ring1nzdiv  20481