Theorem 1unit 20312

Description: The multiplicative identity is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
1unit	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem 1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unit.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20201	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5	1, 4	dvdsrid 20305	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
6	3, 5	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
8	7	opprring 20285	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
9	7, 1	opprbas 20279	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
11	9, 10	dvdsrid 20305	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
12	8, 3, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
13		unit.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
14	13, 2, 4, 7, 10	isunit 20311	. 2 ⊢ ( 1 ∈ 𝑈 ↔ ( 1 (∥r‘𝑅) 1 ∧ 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
15	6, 12, 14	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  Basecbs 17179  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  opp_rcoppr 20271  ∥_rcdsr 20292  Unitcui 20293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296

This theorem is referenced by:  unitgrp  20321  unitgrpid  20323  unitsubm  20324  1rinv  20333  0unit  20334  ring1nzdiv  20337  dvr1  20345  irredn1  20364  irredneg  20368  subrgugrp  20529  isdrng2  20637  drngunz  20642  deg1invg  26041  mon1puc1p  26085  dchrelbasd  27171  dchrabs  27192  dchrptlem2  27197  dchrisum0re  27445  1rrg  32950  isdrng4  32962  dvdsruasso  33089  unitpidl1  33139  mxidlirredi  33184  matunitlindf  37091  mon1psubm  42627  nzrneg1ne0  47292