MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1unit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1unit 19523
Description: The multiplicative identity is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unit.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unit.2 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
1unit (𝑅 ∈ Ring → 1𝑈)

Proof of Theorem 1unit
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 unit.2 . . . 4 1 = (1r𝑅)
31, 2ringidcl 19433 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4 eqid 2738 . . . 4 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
51, 4dvdsrid 19516 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r𝑅) 1 )
63, 5mpdan 687 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r𝑅) 1 )
7 eqid 2738 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
87opprring 19496 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
97, 1opprbas 19494 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
10 eqid 2738 . . . 4 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
119, 10dvdsrid 19516 . . 3 (((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
128, 3, 11syl2anc 587 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
13 unit.1 . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1413, 2, 4, 7, 10isunit 19522 . 2 ( 1𝑈 ↔ ( 1 (∥r𝑅) 11 (∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
156, 12, 14sylanbrc 586 1 (𝑅 ∈ Ring → 1𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113   class class class wbr 5027  cfv 6333  Basecbs 16579  1rcur 19363  Ringcrg 19409  opprcoppr 19487  rcdsr 19503  Unitcui 19504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507
This theorem is referenced by:  unitgrp  19532  unitgrpid  19534  unitsubm  19535  1rinv  19544  0unit  19545  dvr1  19554  irredn1  19571  irredneg  19575  isdrng2  19624  drngunz  19629  subrgugrp  19666  deg1invg  24851  mon1puc1p  24895  dchrelbasd  25967  dchrabs  25988  dchrptlem2  25993  dchrisum0re  26241  matunitlindf  35387  mon1psubm  40587  nzrneg1ne0  44945
  Copyright terms: Public domain W3C validator