Theorem 1unit 20457

Description: The multiplicative identity is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
1unit	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem 1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unit.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20349	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5	1, 4	dvdsrid 20450	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
6	3, 5	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
8	7	opprring 20430	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
9	7, 1	opprbas 20426	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
11	9, 10	dvdsrid 20450	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
12	8, 3, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
13		unit.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
14	13, 2, 4, 7, 10	isunit 20456	. 2 ⊢ ( 1 ∈ 𝑈 ↔ ( 1 (∥r‘𝑅) 1 ∧ 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
15	6, 12, 14	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  opp_rcoppr 20419  ∥_rcdsr 20437  Unitcui 20438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441

This theorem is referenced by:  unitgrp  20466  unitgrpid  20468  unitsubm  20469  1rinv  20478  0unit  20479  ring1nzdiv  20482  dvr1  20490  irredn1  20509  irredneg  20513  subrgugrp  20677  isdrng4  20826  isdrng2  20830  drngunz  20834  deg1invg  26244  mon1puc1p  26289  dchrelbasd  27381  dchrabs  27402  dchrptlem2  27407  dchrisum0re  27655  1rrg  33581  dvdsruasso  33676  unitprodclb  33680  unitpidl1  33710  mxidlirredi  33732  dflring2  33761  dflringlem2  33763  dflringlem3  33764  dflring3  33765  dflring4  33766  rsprprmprmidl  33790  1arithidomlem1  33803  1arithidom  33805  1arithufdlem3  33814  dfufd2lem  33817  matunitlindf  38247  unitscyglem5  42944  mon1psubm  43906  nzrneg1ne0  48972