Theorem 1unit 20402

Description: The multiplicative identity is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
1unit	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem 1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unit.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20294	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5	1, 4	dvdsrid 20395	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
6	3, 5	mpdan 697	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
8	7	opprring 20375	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
9	7, 1	opprbas 20371	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
11	9, 10	dvdsrid 20395	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
12	8, 3, 11	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
13		unit.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
14	13, 2, 4, 7, 10	isunit 20401	. 2 ⊢ ( 1 ∈ 𝑈 ↔ ( 1 (∥r‘𝑅) 1 ∧ 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
15	6, 12, 14	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  opp_rcoppr 20364  ∥_rcdsr 20382  Unitcui 20383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386

This theorem is referenced by:  unitgrp  20411  unitgrpid  20413  unitsubm  20414  1rinv  20423  0unit  20424  ring1nzdiv  20427  dvr1  20435  irredn1  20454  irredneg  20458  subrgugrp  20620  isdrng2  20772  drngunz  20776  deg1invg  26146  mon1puc1p  26191  dchrelbasd  27280  dchrabs  27301  dchrptlem2  27306  dchrisum0re  27554  1rrg  33428  isdrng4  33443  dvdsruasso  33532  unitprodclb  33536  unitpidl1  33571  mxidlirredi  33620  dflring2  33650  dflringlem2  33652  dflringlem3  33653  dflring3  33654  dflring4  33655  rsprprmprmidl  33679  1arithidomlem1  33692  1arithidom  33694  1arithufdlem3  33703  dfufd2lem  33706  matunitlindf  38081  unitscyglem5  42780  mon1psubm  43740  nzrneg1ne0  48816