Theorem ringinvcl 20283

Description: The inverse of a unit is an element of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
ringinvcl.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringinvcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		unitinvcl.2	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
3	1, 2	unitinvcl 20281	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑈)
4		ringinvcl.3	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	unitcl 20266	. 2 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝑈 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
6	3, 5	syl 17	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  Basecbs 17142  Ringcrg 20127  Unitcui 20246  inv_rcinvr 20278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-0g 17385  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279

This theorem is referenced by:  1rinv  20286  0unit  20287  ringunitnzdiv  20289  dvrcl  20295  dvrass  20299  dvrcan1  20300  ringinvdv  20305  subrguss  20478  subrginv  20479  subrgunit  20481  drnginvrcl  20598  issubdrg  20620  unitrrg  21192  matinv  22500  matunit  22501  slesolinv  22503  slesolinvbi  22504  slesolex  22505  nminvr  24507  nmdvr  24508  nrginvrcnlem  24529  ply1divalg  25994  uc1pmon1p  26008  dchrn0  27098  ornglmullt  32857  kerunit  32869  dvdsruassoi  32924  invginvrid  47198  lincresunit3lem3  47309  lincresunitlem1  47310