Theorem zringunit 21383

Description: The units of ℤ are the integers with norm 1, i.e. 1 and -1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringunit	⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem zringunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21370	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
3	1, 2	unitcl 20291	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zsubrg 21344	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		zgz 16911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ[i])
6	5	ssriv 3953	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ[i]
7		gzsubrg 21345	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ↾s ℤ[i]) = (ℂfld ↾s ℤ[i])
9	8	subsubrg 20514	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i])))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]))
11	4, 6, 10	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
12		df-zring 21364	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
13		ressabs 17225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]) → ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ))
14	7, 6, 13	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ)
15	12, 14	eqtr4i 2756	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ)
16		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) = (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
17	15, 16, 2	subrguss 20503	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
18	11, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
19	18	sseli 3945	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
20	8	gzrngunit 21357	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ (abs‘𝐴) = 1))
21	20	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (abs‘𝐴) = 1)
22	19, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (abs‘𝐴) = 1)
23	3, 22	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))
24		zcn 12541	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) = 1)
27		ax-1ne0 11144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ≠ 0)
29	26, 28	eqnetrd 2993	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
30		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
31		abs0 15258	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘0) = 0
32	30, 31	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
33	32	necon3i 2958	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
35		eldifsn 4753	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
36	25, 34, 35	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
37		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
38		cnfldinv 21321	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
39	25, 34, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40		zre 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		absresq 15275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
44	26	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2))
45		sq1 14167	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
46	44, 45	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = 1)
47	25	sqvald 14115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
48	43, 46, 47	3eqtr3rd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴 · 𝐴) = 1)
49		1cnd 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ∈ ℂ)
50	49, 25, 25, 34	divmuld 11987	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 1))
51	48, 50	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (1 / 𝐴) = 𝐴)
52	39, 51	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = 𝐴)
53	52, 37	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)
54		cnfldbas 21275	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
55		cnfld0 21311	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
56		cndrng 21317	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
57	54, 55, 56	drngui 20651	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
58		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
59	12, 57, 2, 58	subrgunit 20506	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)))
60	4, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ))
61	36, 37, 53, 60	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (Unit‘ℤring))
62	23, 61	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842  2c2 12248  ℤcz 12536  ↑cexp 14033  abscabs 15207  ℤ[i]cgz 16907   ↾_s cress 17207  Unitcui 20271  inv_rcinvr 20303  SubRingcsubrg 20485  ℂ_fldccnfld 21271  ℤ_ringczring 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-gz 16908  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-cnfld 21272  df-zring 21364

This theorem is referenced by:  zringndrg  21385  prmirredlem  21389  qqhval2lem  33978