MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringunit 20064
Description: The units of are the integers with norm 1, i.e. 1 and -1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringunit (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem zringunit
StepHypRef Expression
1 zringbas 20052 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2817 . . . 4 (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
31, 2unitcl 18881 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 zsubrg 20027 . . . . . . 7 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5 zgz 15874 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ[i])
65ssriv 3813 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ[i]
7 gzsubrg 20028 . . . . . . . 8 ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
8 eqid 2817 . . . . . . . . 9 (ℂflds ℤ[i]) = (ℂflds ℤ[i])
98subsubrg 19030 . . . . . . . 8 (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂflds ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i])))
107, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂflds ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]))
114, 6, 10mpbir2an 693 . . . . . 6 ℤ ∈ (SubRing‘(ℂflds ℤ[i]))
12 df-zring 20047 . . . . . . . 8 ring = (ℂflds ℤ)
13 ressabs 16171 . . . . . . . . 9 ((ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]) → ((ℂflds ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂflds ℤ))
147, 6, 13mp2an 675 . . . . . . . 8 ((ℂflds ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂflds ℤ)
1512, 14eqtr4i 2842 . . . . . . 7 ring = ((ℂflds ℤ[i]) ↾s ℤ)
16 eqid 2817 . . . . . . 7 (Unit‘(ℂflds ℤ[i])) = (Unit‘(ℂflds ℤ[i]))
1715, 16, 2subrguss 19019 . . . . . 6 (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂflds ℤ[i])) → (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂflds ℤ[i])))
1811, 17ax-mp 5 . . . . 5 (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂflds ℤ[i]))
1918sseli 3805 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ (Unit‘(ℂflds ℤ[i])))
208gzrngunit 20040 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂflds ℤ[i])) ↔ (𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ (abs‘𝐴) = 1))
2120simprbi 486 . . . 4 (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂflds ℤ[i])) → (abs‘𝐴) = 1)
2219, 21syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (abs‘𝐴) = 1)
233, 22jca 503 . 2 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))
24 zcn 11668 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2524adantr 468 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
26 simpr 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) = 1)
27 ax-1ne0 10300 . . . . . . 7 1 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ≠ 0)
2926, 28eqnetrd 3056 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
30 fveq2 6418 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
31 abs0 14268 . . . . . . 7 (abs‘0) = 0
3230, 31syl6eq 2867 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
3332necon3i 3021 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
3429, 33syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
35 eldifsn 4519 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
3625, 34, 35sylanbrc 574 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
37 simpl 470 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
38 cnfldinv 20005 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
3925, 34, 38syl2anc 575 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40 zre 11667 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4140adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 absresq 14285 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
4426oveq1d 6899 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2))
45 sq1 13201 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4644, 45syl6eq 2867 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = 1)
4725sqvald 13248 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4843, 46, 473eqtr3rd 2860 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴 · 𝐴) = 1)
49 1cnd 10330 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ∈ ℂ)
5049, 25, 25, 34divmuld 11118 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 1))
5148, 50mpbird 248 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (1 / 𝐴) = 𝐴)
5239, 51eqtrd 2851 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = 𝐴)
5352, 37eqeltrd 2896 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)
54 cnfldbas 19978 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
55 cnfld0 19998 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
56 cndrng 20003 . . . . . 6 fld ∈ DivRing
5754, 55, 56drngui 18977 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
58 eqid 2817 . . . . 5 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
5912, 57, 2, 58subrgunit 19022 . . . 4 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)))
604, 59ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ))
6136, 37, 53, 60syl3anbrc 1436 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (Unit‘ℤring))
6223, 61impbii 200 1 (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  cdif 3777  wss 3780  {csn 4381  cfv 6111  (class class class)co 6884  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231  1c1 10232   · cmul 10236   / cdiv 10979  2c2 11368  cz 11663  cexp 13103  abscabs 14217  ℤ[i]cgz 15870  s cress 16089  Unitcui 18861  invrcinvr 18893  SubRingcsubrg 19000  fldccnfld 19974  ringzring 20046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-tpos 7597  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fz 12570  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-gz 15871  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-0g 16327  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-grp 17650  df-minusg 17651  df-subg 17813  df-cmn 18416  df-mgp 18712  df-ur 18724  df-ring 18771  df-cring 18772  df-oppr 18845  df-dvdsr 18863  df-unit 18864  df-invr 18894  df-dvr 18905  df-drng 18973  df-subrg 19002  df-cnfld 19975  df-zring 20047
This theorem is referenced by:  zringndrg  20066  prmirredlem  20069  qqhval2lem  30373
  Copyright terms: Public domain W3C validator