Theorem zringunit 21412

Description: The units of ℤ are the integers with norm 1, i.e. 1 and -1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringunit	⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem zringunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21399	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
3	1, 2	unitcl 20302	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zsubrg 21366	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		zgz 16852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ[i])
6	5	ssriv 3934	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ[i]
7		gzsubrg 21367	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ↾s ℤ[i]) = (ℂfld ↾s ℤ[i])
9	8	subsubrg 20522	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i])))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]))
11	4, 6, 10	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
12		df-zring 21393	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
13		ressabs 17166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]) → ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ))
14	7, 6, 13	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ)
15	12, 14	eqtr4i 2759	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ)
16		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) = (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
17	15, 16, 2	subrguss 20511	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
18	11, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
19	18	sseli 3926	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
20	8	gzrngunit 21379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ (abs‘𝐴) = 1))
21	20	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (abs‘𝐴) = 1)
22	19, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (abs‘𝐴) = 1)
23	3, 22	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))
24		zcn 12484	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) = 1)
27		ax-1ne0 11086	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ≠ 0)
29	26, 28	eqnetrd 2996	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
30		fveq2 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
31		abs0 15199	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘0) = 0
32	30, 31	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
33	32	necon3i 2961	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
35		eldifsn 4739	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
36	25, 34, 35	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
37		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
38		cnfldinv 21348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
39	25, 34, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40		zre 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		absresq 15216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
44	26	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2))
45		sq1 14109	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
46	44, 45	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = 1)
47	25	sqvald 14057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
48	43, 46, 47	3eqtr3rd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴 · 𝐴) = 1)
49		1cnd 11118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ∈ ℂ)
50	49, 25, 25, 34	divmuld 11930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 1))
51	48, 50	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (1 / 𝐴) = 𝐴)
52	39, 51	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = 𝐴)
53	52, 37	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)
54		cnfldbas 21304	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
55		cnfld0 21338	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
56		cndrng 21344	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
57	54, 55, 56	drngui 20659	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
58		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
59	12, 57, 2, 58	subrgunit 20514	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)))
60	4, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ))
61	36, 37, 53, 60	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (Unit‘ℤring))
62	23, 61	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   · cmul 11022   / cdiv 11785  2c2 12191  ℤcz 12479  ↑cexp 13975  abscabs 15148  ℤ[i]cgz 16848   ↾_s cress 17148  Unitcui 20282  inv_rcinvr 20314  SubRingcsubrg 20493  ℂ_fldccnfld 21300  ℤ_ringczring 21392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-gz 16849  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-subg 19044  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-dvr 20328  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-drng 20655  df-cnfld 21301  df-zring 21393

This theorem is referenced by:  zringndrg  21414  prmirredlem  21418  qqhval2lem  34066