Theorem zringunit 21494

Description: The units of ℤ are the integers with norm 1, i.e. 1 and -1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringunit	⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem zringunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21481	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
3	1, 2	unitcl 20391	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zsubrg 21455	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		zgz 16966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ[i])
6	5	ssriv 3998	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ[i]
7		gzsubrg 21456	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ↾s ℤ[i]) = (ℂfld ↾s ℤ[i])
9	8	subsubrg 20614	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i])))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]))
11	4, 6, 10	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
12		df-zring 21475	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
13		ressabs 17294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]) → ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ))
14	7, 6, 13	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ)
15	12, 14	eqtr4i 2765	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ)
16		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) = (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
17	15, 16, 2	subrguss 20603	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
18	11, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
19	18	sseli 3990	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
20	8	gzrngunit 21468	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ (abs‘𝐴) = 1))
21	20	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (abs‘𝐴) = 1)
22	19, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (abs‘𝐴) = 1)
23	3, 22	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))
24		zcn 12615	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) = 1)
27		ax-1ne0 11221	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ≠ 0)
29	26, 28	eqnetrd 3005	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
30		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
31		abs0 15320	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘0) = 0
32	30, 31	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
33	32	necon3i 2970	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
35		eldifsn 4790	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
36	25, 34, 35	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
37		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
38		cnfldinv 21432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
39	25, 34, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40		zre 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		absresq 15337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
44	26	oveq1d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2))
45		sq1 14230	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
46	44, 45	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = 1)
47	25	sqvald 14179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
48	43, 46, 47	3eqtr3rd 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴 · 𝐴) = 1)
49		1cnd 11253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ∈ ℂ)
50	49, 25, 25, 34	divmuld 12062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 1))
51	48, 50	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (1 / 𝐴) = 𝐴)
52	39, 51	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = 𝐴)
53	52, 37	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)
54		cnfldbas 21385	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
55		cnfld0 21422	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
56		cndrng 21428	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
57	54, 55, 56	drngui 20751	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
58		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
59	12, 57, 2, 58	subrgunit 20606	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)))
60	4, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ))
61	36, 37, 53, 60	syl3anbrc 1342	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (Unit‘ℤring))
62	23, 61	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962  {csn 4630  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   / cdiv 11917  2c2 12318  ℤcz 12610  ↑cexp 14098  abscabs 15269  ℤ[i]cgz 16962   ↾_s cress 17273  Unitcui 20371  inv_rcinvr 20403  SubRingcsubrg 20585  ℂ_fldccnfld 21381  ℤ_ringczring 21474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-gz 16963  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-subg 19153  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-cnfld 21382  df-zring 21475

This theorem is referenced by:  zringndrg  21496  prmirredlem  21500  qqhval2lem  33943