Theorem dvrcan3 19710

Description: A cancellation law for division. (divcan3 11516 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcan3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dvrcan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp2 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		dvrass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		dvrass.o	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 19677	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	5	3ad2ant3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		simp3 1140	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
8		dvrass.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
9		dvrass.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10	3, 4, 8, 9	dvrass 19708	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = (𝑋 · (𝑌 / 𝑌)))
11	1, 2, 6, 7, 10	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = (𝑋 · (𝑌 / 𝑌)))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	4, 8, 12	dvrid 19706	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = (1r‘𝑅))
14	13	3adant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = (1r‘𝑅))
15	14	oveq2d 7229	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝑌 / 𝑌)) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
16	3, 9, 12	ringridm 19590	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
17	16	3adant3 1134	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
18	11, 15, 17	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  ._rcmulr 16803  1_rcur 19516  Ringcrg 19562  Unitcui 19657  /_rcdvr 19700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701

This theorem is referenced by:  irredrmul  19725  cramerimp  21583  lgseisenlem3  26258  orngrmullt  31226