MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan3 19177
Description: A cancellation law for division. (divcan3 11131 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d / = (/r𝑅)
dvrass.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dvrcan3
StepHypRef Expression
1 simp1 1117 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simp2 1118 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑋𝐵)
3 dvrass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 dvrass.o . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
53, 4unitcl 19144 . . . 4 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
653ad2ant3 1116 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑌𝐵)
7 simp3 1119 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
8 dvrass.d . . . 4 / = (/r𝑅)
9 dvrass.t . . . 4 · = (.r𝑅)
103, 4, 8, 9dvrass 19175 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = (𝑋 · (𝑌 / 𝑌)))
111, 2, 6, 7, 10syl13anc 1353 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = (𝑋 · (𝑌 / 𝑌)))
12 eqid 2780 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
134, 8, 12dvrid 19173 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = (1r𝑅))
14133adant2 1112 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = (1r𝑅))
1514oveq2d 6998 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (𝑌 / 𝑌)) = (𝑋 · (1r𝑅)))
163, 9, 12ringridm 19057 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
17163adant3 1113 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
1811, 15, 173eqtrd 2820 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) / 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  cfv 6193  (class class class)co 6982  Basecbs 16345  .rcmulr 16428  1rcur 18986  Ringcrg 19032  Unitcui 19124  /rcdvr 19167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-tpos 7701  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-sets 16352  df-ress 16353  df-plusg 16440  df-mulr 16441  df-0g 16577  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168
This theorem is referenced by:  irredrmul  19192  cramerimp  21014  lgseisenlem3  25670  orngrmullt  30592
  Copyright terms: Public domain W3C validator