Theorem dvreq1 20359

Description: Equality in terms of ratio equal to ring unity. (diveq1 11838 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvreq1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvreq1.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvreq1.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvreq1.t	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvreq1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dvreq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7375	. . 3 ⊢ ((𝑋 / 𝑌) = 1 → ((𝑋 / 𝑌)(.r‘𝑅)𝑌) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌))
2		dvreq1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		dvreq1.o	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		dvreq1.d	. . . . 5 ⊢ / = (/r‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	dvrcan1 20357	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
7	2, 3	unitcl 20323	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		dvreq1.t	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	2, 5, 8	ringlidm 20216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
10	7, 9	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
11	10	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
12	6, 11	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑋 / 𝑌)(.r‘𝑅)𝑌) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
13	1, 12	imbitrid 244	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1 → 𝑋 = 𝑌))
14	3, 4, 8	dvrid 20354	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = 1 )
15	14	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = 1 )
16		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑌 / 𝑌))
17	16	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ (𝑌 / 𝑌) = 1 ))
18	15, 17	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑌) = 1 ))
19	13, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  Unitcui 20303  /_rcdvr 20348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349

This theorem is referenced by:  lringuplu  20489  sum2dchr  27253