Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvreq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvreq1 19443
 Description: A cancellation law for division. (diveq1 11323 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvreq1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvreq1.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvreq1.d / = (/r𝑅)
dvreq1.t 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvreq1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dvreq1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7143 . . 3 ((𝑋 / 𝑌) = 1 → ((𝑋 / 𝑌)(.r𝑅)𝑌) = ( 1 (.r𝑅)𝑌))
2 dvreq1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 dvreq1.o . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 dvreq1.d . . . . 5 / = (/r𝑅)
5 eqid 2798 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
62, 3, 4, 5dvrcan1 19441 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌)(.r𝑅)𝑌) = 𝑋)
72, 3unitcl 19409 . . . . . 6 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
8 dvreq1.t . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
92, 5, 8ringlidm 19321 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
107, 9sylan2 595 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
11103adant2 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
126, 11eqeq12d 2814 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (((𝑋 / 𝑌)(.r𝑅)𝑌) = ( 1 (.r𝑅)𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
131, 12syl5ib 247 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1𝑋 = 𝑌))
143, 4, 8dvrid 19438 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = 1 )
15143adant2 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑌 / 𝑌) = 1 )
16 oveq1 7143 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑌 / 𝑌))
1716eqeq1d 2800 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → ((𝑋 / 𝑌) = 1 ↔ (𝑌 / 𝑌) = 1 ))
1815, 17syl5ibrcom 250 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑌) = 1 ))
1913, 18impbid 215 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) = 1𝑋 = 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  1rcur 19248  Ringcrg 19294  Unitcui 19389  /rcdvr 19432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433 This theorem is referenced by:  sum2dchr  25868
 Copyright terms: Public domain W3C validator